一、函数依赖

1. 函数依赖

定义：设 R(U) 是属性集合 U={ A1, A2, … , An } 上的一个关系模式，X, Y 是 U 上的两个子集，若对 R(U) 的任意一个可能的关系 r ，r 中不可能有两个元组满足在 X 中的属性值相等而在 Y 中的属性值不等，则称 “ X 函数决定 Y ” 或 “ Y函数依赖于X ” ，记作 $X\to Y$ 。

白话：在一个关系 R 中，属性（组） Y 的值是由属性（组） X 的值所决定的 。又可以说，在关系 R 中，若两个元组的 X 属性值相同，那么这两个元组的 Y 属性值也相同。

为什么叫做函数依赖？
函数的定义：对于定义域中任意 x ，有且只有一个 y 与之对应。
属性之间的依赖：对于相同的 X 属性值，有且只有一个 Y 属性值与之对应。

本质：函数依赖的本质就是反应了 一个关系中属性之间的约束关系，或者依赖关系。函数依赖是一种数据依赖。

举例：

1. U = { 学号，姓名，年龄，专业 }

• {学号} $\to$ { 姓名，年龄，专业 }

2. 属性A	属性B	属性C
   1	2	7
   2	5	7
   1	2	7
   3	4	5

• { 属性 A， 属性B } $\to$ { 属性C }

函数依赖 分为 非平凡函数依赖 和 平凡函数依赖。
非平凡函数依赖：对 $X\to Y$ ，但 $Y\not\subset X$，则称 $X\to Y$ 为非平凡的函数依赖。也就是说 X 决定 Y，但是 Y 不在 X 中，这种叫做非平凡函数依赖。否则就是平凡函数依赖。

2. 完全函数依赖和部分函数依赖

定义：在关系 R(U) 中， 若 $X\to Y$，且对于 X 的任何真子集 X‘ 都有 X’ $\nrightarrow$ Y，则称 Y 完全函数依赖于 X，记为：$X\stackrel{f}{\to }Y$ 。否则称 Y函数部分依赖于 X，记为 $X\stackrel{p}{\to }Y$ 。

白话：完全函数依赖就是说 属性组 X 的所有属性一起（即完全）才能决定属性 Y，去掉任何一个属性都不行。相反的，部分函数依赖就是说 属性组 X 中的 部分属性就可以决定 Y ，用不着全部。

Insight：如果 属性（组）Y 部分函数依赖于 属性组 X，则说明属性组 X 中存在着对属性（组） Y 的非受控冗余。在设计数据库时应避免这种情况。（对应着 2NF ）。

举例：

U = {学号，姓名，年龄，班号，班长，课号，成绩 }

• {学号，课号} $\stackrel{f}{\to }$ U
• { 学号，课号 } $\stackrel{p}{\to }$ { 姓名，年龄 }
• { 学号，课号 } $\stackrel{p}{\to }$ { 成绩 }

解释：单个学号可以决定性别和年龄，单个学号就可以决定成绩。因此 $姓名，年龄$ 和 $成绩$ 对 $学号，课号$ 是部分函数依赖。

3. 传递函数依赖

定义：在 R(U) 中，若 $X\to Y，Y\to Z$ ，且 $Y\not\subset X，Z\not\subset Y，Z\not\subset X，Y\nrightarrow X$，则称 Z 传递函数依赖于 X 。

白话：如果 X 函数决定 Y，Y 函数决定Z，且 Y、Z 都不包含于 X，Z 不包含于 Y ，Y 不能决定 X，则称 Z 传递函数依赖于 X。
注意！：若 $X\to Y，Y\to Z$，可以得到$X\to Z$，但 不能说 Z 传递函数依赖于 X。

Insight：传递函数依赖存在着非受控冗余。

举例：

学生( 学号，姓名，系号，系主任 )

• {学号} $\to$ { 系号 }
• {系号} $\to$ { 系主任 }
• {学号} $\to$ { 系主任 }
  “系主任” 是传递依赖于 “学号” 的。

图示：

注：以上图片来自哈工大战德臣老师的PPT

4. 与函数依赖相关的概念

(1). 候选键

定义：设 K 为 R(U) 中的属性或属性组合，若 $K\stackrel{f}{\to }U$，则称 K 为 R(U) 上的候选键。

白话：对于关系 R(U) 中的属性（组）K，如果 U 完全函数依赖于 K，即 K 中的所有属性一起才能决定 U，则称 K 为 R(U) 的候选键。

(2). 主键

如果有多个候选键，则可以选择任一候选键作为主键。

(3). 主属性

包含在任一候选键中的属性称为主属性，其他属性称为非主属性。

(4). 外来键

若 R(U) 中的属性（组）X 不是 R 的候选键，却是另一关系 S(U) 的候选键，则称 X 为 R(U) 的外来键，简称外键。

白话：一个关系的外键是另一关系的候选键。

(5). 逻辑蕴含

定义：设 F 是关系 R(U) 中的一个函数依赖集合，X、Y 是 R 的属性子集，如果能从 F 这个函数依赖集合中推导出 $X\to Y$，则称 F 逻辑蕴含 $X\to Y$，或者说 $X\to Y$ 是 F 的逻辑蕴含。记作 $F\models X\to Y$。

(6). 闭包

定义 ：被 F 逻辑蕴含的所有函数依赖集合称为 F 的闭包，记作 $F^{+}$。

白话：也就是说，能从 函数依赖集 F 中推导出的所有函数依赖组成的集合，称为 F 的闭包。（学过泛函的话应该能感觉到有种完备的概念）。

如果 $F^{+}=F$，则称 F 是一个 全 函数依赖族。（函数依赖完备集）。

二、函数依赖的 Armstrong 公理及其引理

设 F 为 R(U) 的一组函数依赖，记为 R(U, F) 。

1. 函数依赖的 Armstrong 公理

(1). 自反律

若 $Y\subseteq X\subseteq U$，则 $X\to Y$ 被 F 逻辑蕴含。

白话：若 属性集 Y 包含于 X，X 包含于 U，则 $X\to Y$ ，则 $X\to Y$ 。也就是说 如果属性集 Y 属于 X，则 X 可以决定 Y，又可以说 属性集 X 可以决定 他的属性 子集。（平凡函数依赖）

(2). 增广律

若 $X\to Y\in F$，且 $Z\subseteq U$，则 $XZ\to YZ$ 被 F 逻辑蕴含。

白话：如果 $ X\rightarrow Y $ 在 F 这个函数依赖集合中，另一属性(组) Z 是属性集 U 中的元素，那么从 F 中可以推导出 XZ 函数决定 YZ。

(3). 传递律

若 $X\to Y\in F$，且 $Y\to Z$，则 $X\to Z$ 被 F 逻辑蕴含。

2. 函数依赖的 Armstrong 的引理

2.1 引理1

(1). 合并律

若 $X\to Y$ 且 $X\to Z$，则 $X\to YZ$。
证明：根据增广律可以得到 $X\to XY$， $XY\to YZ$，再根据传递律得到，$X\to YZ$。

(2). 伪传递律

若 $X\to Y$ 且 $WY\to Z$，则 $XW\to Z$。
证明：证明方法依然是 增广律 和 传递律。

(3). 分解律

若 $X\to Y$ 且 $Z\subseteq Y$，则 $X\to Z$。
证明：根据自反律可以得到 $Y\to Z$，再根据传递律，得证 $X\to Z$。

2.2 引理2

如果 A1，A2，… ，An是属性，则 $X\to A1....An$ 当且仅当对每个 Ai 有 $X\to Ai(1<=i<=n)$

2.3 属性(集)闭包 和 引理3

(1). 属性（集）闭包定义

对 R(U, F) ，$X\subseteq U,U=A1,A2,....,An$，令：
$X_F^{+}$ = {Ai | 用 armstrong 三个公理 可从 F 导出 $X\to Ai$ }，称 $X_F^{+}$ 为 X 关于 F 的属性（集）闭包。

区分 闭包和属性（集）闭包：
闭包指的是 F的闭包，该集合包含的元素是函数依赖。
属性集闭包是 X属性(集) 关于 F 的属性（集）闭包，该集合包含的元素是属性。

(2). 引理3

若 从 F 这个函数依赖集合中可以用 Armstrong 公理 导出 $X\to Y$，当且仅当 $Y\subseteq X_F^{+}$。

解释：如果 Y 这个属性 在 X 关于 F 的属性(集)闭包中，那么 $X\to Y$ 就在 F 中，若 F 中存在 X 决定 Y，那 Y 一定在 X 关于 F 的属性(集)闭包中。

2.4 覆盖 和 引理4、5

(1) 覆盖

定义：对 R(U) 上的两个函数依赖集合 F、G，如果 $F^{+}=G^{+}$，则称 F 和 G 也是等价的，也称作 F 覆盖 G 或者 G 覆盖 F。

(2) 引理4

$F^{+}=G^{+}\iff F\subseteq G^{+}\wedge G\subseteq F^{+}$

(3) 引理5

每个函数依赖集 F 可被一个 其右端至多有一个属性的函数依赖集 G 覆盖。

2.5 最小覆盖

(1). 最小覆盖

F 满足：

1. F 中每个函数依赖的右边部分都是单个属性；
2. 对任何 $X\to A\in F$，有 F - $X\to A$ 不等价于 F；
3. 对任何$X\to A\in F，Z\subset X$，( F- $X\to A)\cup Z\to A$ 不等价于F。

则 F 为 最小覆盖 或者 最小依赖集。

解释：
对于第 2 点，如果去掉 $X\to A$ 这个函数依赖，那么从 F 中不能推导出 $X\to A$ ，也就是说 F 中的每一个函数依赖都是必需的，一个不能少。
对于第 3 点，Z 是 函数依赖的 左边部分 的一个子集，如果去掉 $X\to A$ 这个函数依赖，加上 X 子集 $Z\to A$ 的依赖依然不等价于F，即 $X\to A$ 是不能由 $Z\to A$ 代替的。

(2). 定理

每个函数依赖集 F 都有等价的最小覆盖 F‘。