函数依赖的公理系统

这一章，重要的是几个关系求解算法，这个要会去求。

每个算法做好整理记录。

基本定义

{ X → Y ， Y → Z } ⊨ X → Z \{X→Y，Y→Z\}⊨ X→Z {X→Y，Y→Z}⊨X→Z 其中: ⊨表示逻辑蕴涵。

定义6.6（逻辑蕴涵）：设F是由关系模式R(U)满足的一个函数依赖集，X→Y是R的一个函数依赖，且不包含在F，如果满足F中所有函数依赖的任一具体关系r，也满足$X\to Y$，则称函数依赖集F逻辑地蕴涵函数依赖X→Y，或称X→Y可从F推出。可表示为：$F\models X\to Y$

定义6.7：函数依赖集F所逻辑蕴涵的函数依赖的全体称为为F的闭包（Closure），记为$F^{+}$，即 F + ＝ { X → Y ｜ F ⊨ X → Y } F^+＝\{X→Y｜F⊨X→Y\} F+＝{X→Y｜F⊨X→Y}

Armstrong公理系统

基本规则

A1：自反律(Reflexivity) 如果Y X，则X→Y成立，这是一个平凡函数依赖。

根据A1可以推出X→Ф、U→X等平凡函数依赖（因为$\varphi \subseteq X\subseteq U$）。

A2：增广律(Augmentation)
如果X→Y，且$Z\subseteq W$，则XW→YZ成立。

A3：传递律(Transitivity)
如果X→Y且Y→Z，则X→Z成立。

推论

推论1：合并规则(The Union Rule)
$｛X\to Y，X\to Z｝\models X\to YZ$

推论2：分解规则(The Decomposition Rule)
$如果X\to Y，Z\subseteq Y，则X\to Z成立$

推论3：伪传递规则(The Pseudo Transitivity Rule)
$｛X→Y，WY→Z｝⊨ XW→Z $

定理6.1：若$A_i(i=1，2，\dots ,n)$是关系模式R的属性，则$X\to (A_1，A_2，\dots ,A_n)$成立的充分必要条件是X→Ai均成立。

属性集闭包

设有关系模式R(U),U={ A1，A2，…,An},X是U的子集,F是U上的一个函数依赖集，则属性集X关于函数依赖集F的闭包$X_F^{+}$定义为:

$ X_F^+＝｛Ai{｜}Ai∈U，且X→Ai可用Armstrong从F推出｝$

简而言之，就是一个属性集，在一个依赖集上，所能推导出的所有的属性，就是这个属性集在依赖集上的闭包。

求闭包

递推算法：

• (1) 令$X(0)=X，i＝0$

• (2) 求属性集KaTeX parse error: Undefined control sequence: \and at position 47: …)V \to W \in F \̲a̲n̲d̲ ̲V \subseteq X^{…

• (3) $X^{(i+1)}＝X^{(i)}\cup B$

• (4)判断$X^{(i+1)}=X^{(i)}$吗？

• (4)若$X^{(i+1)}\ne X^{(i)}$，则用$i+1replacei$,返回(2)

• (5)若$X^{(i+1)}=X^{(i)}$，则 $X_F^{+}=X^{(i)}$，结束

总结

实际上就是就是我们有个原始集$X$，对于原始集，我们在依赖集上找关于属性集能够推导的。

一次使用一个依赖，$X$扩充一点，直到完成。

函数依赖的等价与覆盖

最小依赖集合

引理6.1：设G是一个函数依赖集，且其中所有依赖的右部都只有一个属性，则G覆盖任一左部与G（左部）相同的函数依赖集。

一个函数依赖集F可能有若干个与其等价的函数依赖集，我们可以从中选择一个较好以便应用的函数依赖集。

标准至少是：

所有函数依赖均独立，即该函数依赖集中不存在这样的函数依赖，它可由这个集合中的别的函数依赖推导出来。

表示最简单，即每个函数依赖的右部为单个属性，左部最简单（必须完全依赖）。

定义6.10（最小函数依赖集）:函数依赖集F如果满足下列条件，则称F为最小函数覆盖，记为Fmin：

• (1) F中每一个函数依赖的右部都是单个属性。（右部最简单）

• (2) 对F中任一函数依赖X→A，F-{X→A}都不与F等价。

  • （A只能依赖于一整个属性集，也就是只有一个$X\to A$，没有冗余的函数依赖）

• (3) 对于F中的任一函数依赖X→A, ｛F－{X→A}}∪{Z→A}都不与F等价，其中Z为X的任一真子集。

  • （左部要最简单，左部的子集不能代替左部）

总结一下：

1. 右部最简单
2. 左部最简单
   1. 注意左右最简单的不同
3. 无冗余依赖

候选关键字的选取

先回忆一下什么是码：

$k{\to }^{abs}U$

属性元组完全依赖于码

---

给定一个关系模式R(U，F)，U={A1，A2，…An}，F是R的函数依赖集，那么，可以见属性分为如下四类：

• L：仅出现在函数依赖集F左部的属性
• R：仅出现在函数依赖集F右部的属性
• LR：在函数依赖集F左右部都出现的属性
• NLR：在函数依赖集 F左右部都未出现的属性

求候选码的规则

• （1）如果有属性不在函数依赖集中出现，那么它必须包含在候选码中
• （2）如果有属性不在函数依赖集中任何函数依赖的右边出现，那么它必须包含在候选码中
• （3）如果有属性只在函数依赖集的左边出现，则该属性一定包含在候选码中
• （4）如果有属性或属性组能唯一标识元组，则它就是候选码（检验结果）

结果为3NF的依赖保持分解

不用掌握？？？

回忆一下什么是保持依赖：

也就是分解之后，依赖没有减少

无损：

也就是拼接之后，可以还原

一个分解为两个，它的交集函数依赖（不是依赖于）它的差集，则无损。

思考一下，交集表示的是公共部分，如果公共部分能够决定各自私有部分，那么必定自然拼接后可以复原。

结果为3NF且具有依赖保持和连接不失真的分解