1 函数依赖

函数依赖(functional dependency，FD)是一种完整性约束，是现实世界事物属性之间的一种制约关系，它广泛地存在于现实世界之中。

1.1 函数依赖

定义：设 $r(R)$ 为关系模式，$\alpha \subseteq R，\beta \subseteq R$。对任意合法关系 $r$ 及其中任两个元组 $t_i，t_j，i\ne j$ ，若 $t_i[\alpha ]=t_j[\alpha ]$，则 $t_i[\beta ]=t_j[\beta ]$，则称 $\alpha$ 函数确定 $\beta$ ，或 $\beta$ 函数依赖于 $\alpha$，记作 $\alpha \to \beta$。

如图是满足满足函数依赖 $AB\to C$ 的关系模式 $r(A，B，C，D)$ 的一个关系实例。由图可知，对任意两个在属性集 { A ， B } \{A，B\} {A，B} 上取值相同的元组，它们在 $C$ 上的取值也相同。例如：对于第1个和第2个元组：$t_1[A，B]=t_2[A，B]=(a1，b1)，且t_1[C]=t_{2}C]=c1)$

1.2 平凡与非平凡函数依赖

定义：在关系模式 $r(R)$ 中，$\alpha \subseteq R，\beta \subseteq R$。若 $\alpha \to \beta$ 但 $\beta ⊈\alpha$，则称 $\alpha \to \beta$ 是非平凡函数依赖。否则，若 $\beta \subseteq \alpha$，则称 $\alpha \to \beta$ 是平凡函数依赖。

1.3 完全函数依赖和部分函数依赖

定义：在关系模式 $r(R)$ 中，$\alpha \subseteq R，\beta \subseteq R$。且 $\alpha \to \beta$ 是非平凡函数依赖。若对任意 $\gamma \subset \alpha ，\gamma \to \beta$ 都不成立，则称 $\alpha \to \beta$ 是完全函数依赖，简称完全依赖。否则，若存在非空的 $\gamma \subset \alpha 使\gamma \to \beta$ 成立 ，则称 $\alpha \to \beta$ 是部分函数依赖简称部分依赖。

示例说明：
α : { s t u d e n t N o ， c o u r s e N o } ， b e t a : { s c o r e } ， γ : { s t u d e n t N o } 、 { c o u r s e N o } \alpha:\{studentNo，courseNo\}，beta:\{score\}，\gamma:\{studentNo\}、\{courseNo\} α:{studentNo，courseNo}，beta:{score}，γ:{studentNo}、{courseNo}

• 完全依赖
  由学生学号、课程号可以唯一确定一门课程的分数：
  {studentNo，courseNo}—>score；
  由学生学号可以唯一确定一个学生姓名：
  studentNo—>studentName；
  由课程号可以唯一确定一个课程名：
  courseNo—>courseName。
  studentNo 、courseNo都是 {studentNo，courseNo}的子集，
  但studentNo / courseNo 都不能唯一确定score。
• 部分依赖
  {studentNo，courseNo}—>studentName;
  {studentNo，courseNo}—>courseName;
  studentNo 、courseNo都是 {studentNo，courseNo}的子集，
  studentNo—>studentName；
  courseNo—>courseName

1.4 传递函数依赖

定义：在关系模式 $r(R)中，\alpha \subseteq R,\beta \subseteq R,\gamma \subseteq R。若\alpha \to \beta ,\beta \to \gamma$ 则必存在函数依赖 $\alpha \to \gamma ;若\alpha \to \beta ,\beta \to \gamma 和\alpha \to \gamma$都是非平凡函数依赖，且 $\beta \nrightarrow \alpha$，则称 $\alpha \to \gamma$ 是传递函数依赖，简称传递依赖。

示例说明：

• 传递依赖
  由学生学号可以唯一确定一个班级编号、班级名称、学院名称：
  studentNo—>{classNo, className, institute};
  由班级编号可以唯一确定一个班级名称、学院名称:
  classNo—>{className, institute};
  且由classNo不能唯一确定studentNo。
  从上述两个函数依赖关系中可以得出：
  studentNo—>{className, institute}，故存在传递依赖。

2 范式(Normal Form)

  基于函数依赖理论，关系模式可分成第一范式(1NF)，第二范式(2NF)，第三范式(3NF)和 Boyce-Codd 范式(BCNF)。这几种范式的要求一个比一个严格，它们之间的联系为BCNF ⊂ 3NF ⊂ 2NF ⊂ 1NF。即满足 BCNF 范式的关系一定满足3NF范式，满足3NF 范式的关系一定满足2NF范式，满足2NF范式的关系一定满足1NF范式。

1NF	每个属性对应的域值都是不可分的
2NF	所有非主属性都完全依赖于候选码
3NF	非主属性必须完全依赖且直接依赖于候选码 (允许存在主属性对候选码的传递依赖和部分依赖)
BCNF	消除原关系中主属性对键的部分与传递依赖

2.1 第一范式(1NF)— 码

定义：如果一关系模式 $r(R)$ 的每个属性对应的域值都是不可分的，则称 $r(R)$ 属于第一范式，记为 $r(R)\in 1NF$。
第一范式的目标是：将基本数据划分成称为实体集或表的逻辑单元，当设计好每个实体后，需要为其指定主码。

2.2 第二范式(2NF)— 全部是码

定义1：设有一关系模式 $r(R)，\alpha \subseteq R$。若 $\alpha$ 包含在 $r(R)$ 的某个候选码中，则 $\alpha$ 称为主属性，否则 $\alpha$ 为非主属性。

定义2：如果一关系模式 $r(R)\in 1NF$，且所有非主属性都完全函数依赖于 $r(R)$ 的候选码，则称 $r(R)$ 属于第二范式，记为 $r(R)\in 2NF$。

也就是说，对于满足第一范式(1NF)的关系模式，如果有复合候选码(即多个属性共同构成的候选码)，那么非主属性不允许依赖于部分的候选码属性，必须依赖于全部的候选码属性—全部是码。

第二范式的目标是：将只部分依赖于候选码(即依赖于候选码的部分属性)的非主属性通过关系模式分解移到其他表中去。

2.3 第三范式(3NF)— 仅仅是码

定义：如果一关系模式 $r(R)\in 2NF$，且所有非主属性都直接函数依赖于 $r(R)$ 的候选码(即不存在非主属性传递依赖于候选码)，则称 $r(R)$ 属于第三范式，记为 $r(R)\in 3NF$。

也就是说，对于满足第二范式(2NF)的关系模式，非主属性不能依赖于另一个(组)非主属性(这样就形成了对候选码的传递依赖)，即非主属性只能直接依赖于候选码—仅仅是码。

第三范式的目标是：将不直接依赖于候选码(即传递依赖于候选码)的非主属性通过关系模式分解移到其他表中去。

总之，所有的非主属性应该直接依赖于(即不能存在传递依赖，这是3NF的要求)全部的候选码(即必须完全依赖，不能存在部分依赖，这是2NF的要求)。

例1： $r(R)=r(A，B，C，D)$，函数依赖集 $F=r(AB\to C，B\to D)$， $r(R)$ 的候选码为AB，则 $r(R)\notin 2NF$。因为非主属性D依赖于候选码B(即部分依赖于AB)。
解决： $r(R)$ 分解为 $r_1(R_1)=r_1(A，B，C),r_2(R_2)=r_2(B，D)$；此时 $r_1(R_1)\in 3NF、r_2(R_2)\in 3NF$，候选码分别为AB、B。

例2： $r(R)=r(A，B，C)$，函数依赖集 $F=r(A\to B，B\to C)$， $r(R)的候选码为A，r(R)\in 2NF$，但 $r(R)\notin 3NF$。因为C依赖于非主属性B。
解决： $r(R)分解为r_1(R_1)=r_1(A，B)，r_2(R_2)=r_2(B，C)$；此时$r_1(R_1)\in 3NF、r_2(R_2)\in 3NF$，候选码分别为A、B。

例3： $r(R)=r(A，B，C，D，E)$，函数依赖集 $F=r(AB\to C，B\to D，C\to E)$， $r(R)$ 的候选码为AB，则 $r(R)\notin 2NF$。因为非主属性D只依赖于候选码B(即部分依赖于AB)。
解决： $r(R)分解为r_1(R_1)=r_1(A，B，C)，r_2(R_2)=r_2(B，D)，r_3(R_3)=r_3(C，E)；此时r_1(R_1)\in 3NF、r_2(R_2)\in 3NF、r_3(R_3)\in 3NF$，候选码分别为AB、B、C。

例4： $r(R)=r(A，B，C)$，函数依赖集 $F=r(AB\to C，C\to A)，r(R)$的候选码为AB或BC， $r(R)\in 3NF$。因为关系模式 $r(R)$ 中没有非主属性，也就不可能有非主属性对候选码的部分/传递依赖。

总结：
1NF：每个属性对应的域值都是不可分的
2NF：非主属性都完全依赖于候选码
3NF：非主属性必须完全依赖且直接依赖于候选码

2.4 Boyce–Codd范式(BCNF)

BCNF范式：能排除所有部分依赖和传递依赖的BCNF范式。

定义：给定关系模式$r(R)\in 1NF$，函数依赖集 F，若 $F^{+}$ (表示F的闭包)中的所有函数依赖 $\alpha \to \beta (\alpha \subseteq R,\beta \subseteq R)$。至少满足下列条件之一：

1. $\alpha \to \beta$ 是平凡函数依赖(即 $\beta \subseteq \alpha$)；
2. $\alpha$ 是 $r(R)$ 的一个超码(即 $\alpha$中包含 $R$ 的候选码)

则称$r(R)$属于Boyce-Codd范式，记为$r(R)\in BCNF$。

换句话说，在关系模式 $r(R)$ 中，如果 $F^{+}$ 中的每一个非平凡函数依赖的决定属性集 $\alpha$ 都包含候选码，则$r(R)\in BCNF$。必须说明的是，为确定 $r(R)$ 是否满足BCNF.必须考虑 $F^{+}$ 而不是 $F$ 中的每个函数依赖。

满足BCNF条件有：

• 所有非主属性都完全函数依赖于每一个候选键；
• 所有主属性都完全函数依赖于每一个不包含它的候选键；
• 没有任何属性完全函数依赖于非候选键的任何一组属性。