雅可比迭代法算法介绍

雅可比迭代法（Jacobi Iteration Method）是一种用于求解线性方程组的迭代算法，其命名来源于普鲁士著名数学家雅可比。该方法通过不断迭代更新方程组的解，直到满足一定的收敛条件为止。以下是雅可比迭代法的基本算法步骤：

1. 问题设定

考虑线性方程组 $Ax=b$，其中 𝐴 是系数矩阵，𝑥 是未知数向量，𝑏 是常数向量。

2. 矩阵分解

将系数矩阵 𝐴分解为三部分：$A=D+L+U$，其中

𝐷 是对角矩阵，其对角元素为 𝐴 的对角元素。
L 是下三角矩阵，其对角元素为0，其余元素为 𝐴 的下三角部分。
𝑈 是上三角矩阵，其对角元素为0，其余元素为 𝐴 的上三角部分。

3. 迭代公式

雅可比迭代法的迭代公式为：

$$[x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\left(b_i-\sum _{j=1,j\ne i}^n{a}_{ij}{x}_j^{(k)}\right)]$$

其中，$x_i^{(k+1)}$是第 $k+1$ 次迭代后 𝑥 的第 𝑖 个分量，$a_{ii}$是 𝐴 的第 𝑖 行第 𝑖 列元素，$b_i$是 𝑏的第 𝑖个分量，${\sum }_{j=1,j\ne i}^n{a}_{ij}{x}_j^{(k)}$表示除了第 𝑖个分量外，所有其他分量与对应系数乘积的和。

4. 初始迭代向量

选择一个初始迭代向量 $x^{(0)}$。

5. 迭代过程

使用迭代公式计算 $x^{(k+1)}$ 的每个分量。
重复迭代过程，直到满足收敛条件（例如，$\mid x^{(k+1)}-x^{(k)}\mid <ϵ$，其中 𝜖 是一个很小的正数）。

6. 收敛性

雅可比迭代法的收敛性取决于系数矩阵 𝐴 的性质。如果 𝐴 是严格对角占优的或者正定的，那么雅可比迭代法一定收敛。此外，迭代法的收敛速度也与系数矩阵 A 的条件数有关，条件数越小，收敛速度越快。

优缺点

优点：计算公式简单，每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法，且计算过程中原始矩阵 𝐴 始终不变，比较容易并行计算。
缺点：收敛速度较慢，且占据的存储空间较大，因此在实际工程中一般不直接用雅可比迭代法，而是用其改进方法。

示例

考虑线性方程组

$$[\{\begin{array}{l}4x_1+2x_2+x_3=11\\ x_1+4x_2+2x_3=18\\ 2x_1+x_2+5x_3=22\end{array}]$$

可以选择初始迭代向量 $x^{(0)}=[0,0,0{]}^T$，然后按照雅可比迭代法的步骤进行迭代计算，直到满足收敛条件。

雅可比迭代法算法python实现样例

雅可比迭代法（Jacobi Iteration）是一种迭代求解线性方程组的方法。下面是用 Python 实现雅可比迭代法算法的示例代码：

import numpy as np

def jacobi_iteration(A, b, x0, max_iter=100, tol=1e-6):
    n = len(b)
    x = x0.copy()
    x_new = np.zeros_like(x)
    for iter_count in range(max_iter):
        for i in range(n):
            x_new[i] = b[i]
            for j in range(n):
                if i != j:
                    x_new[i] -= A[i, j] * x[j]
            x_new[i] /= A[i, i]
        if np.linalg.norm(x_new - x) < tol:
            break
        x = x_new.copy()
    return x

# 示例用法
A = np.array([[4, 1, -1],
              [2, 7, 1],
              [1, -3, 12]])
b = np.array([3, 19, 31])
x0 = np.zeros_like(b)
x = jacobi_iteration(A, b, x0, max_iter=100, tol=1e-6)
print("Solution:", x)
print("Residual:", np.dot(A, x) - b)

上面的代码中，A 是线性方程组的系数矩阵，b 是右侧常数向量，x0 是初始解向量，max_iter 是最大迭代次数，tol 是收敛判据。函数 jacobi_iteration 返回求解得到的解向量 x。

在迭代过程中，对于每个未知数 x[i]，都计算一个新值 x_new[i]，然后更新 x，直到达到最大迭代次数或收敛。收敛的判断条件是新的解向量与上一次解向量的差的 2 范数小于给定的收敛判据。

以上是一个简单的雅可比迭代法实现示例，你可以根据自己的实际需求对代码进行修改和扩展。