第五节 反常积分的审敛法

在处理反常积分时，常常需要评估其收敛性。对于无界函数或积分区间无限的情况，我们无法直接使用基本的积分计算方法。本节讨论几种不依赖于被积函数原函数的反常积分审敛法。

一、无穷限反常积分的审敛法

定理1：单调有界定理

如果函数 𝑓(𝑥)f(x) 在区间 (𝑎,∞)(a,∞) 上连续且非负（𝑓(𝑥)≥0f(x)≥0），并且积分函数 𝐹(𝑥)=∫𝑎𝑥𝑓(𝑡) 𝑑𝑡F(x)=∫ax​f(t)dt 在 [𝑎,∞)[a,∞) 上有上界，那么反常积分 ∫𝑎∞𝑓(𝑥) 𝑑𝑥∫a∞​f(x)dx 收敛。

证明思路： 因为 𝑓(𝑥)≥0f(x)≥0，所以 𝐹(𝑥)F(x) 在 (𝑎,∞)(a,∞) 上单调增加。由于 𝐹(𝑥)F(x) 有上界，根据数学分析中单调有界定理，𝐹(𝑥)F(x) 必存在极限，从而导致反常积分收敛。

定理2：比较审敛原理

如果函数 𝑓(𝑥)f(x) 和 𝑔(𝑥)g(x) 在区间 (𝑎,∞)(a,∞) 上连续，并满足 0≤𝑓(𝑥)≤𝑔(𝑥)0≤f(x)≤g(x)：

• 如果 ∫𝑎∞𝑔(𝑥) 𝑑𝑥∫a∞​g(x)dx 收敛，则 ∫𝑎∞𝑓(𝑥) 𝑑𝑥∫a∞​f(x)dx 也收敛。
• 如果 ∫𝑎∞𝑔(𝑥) 𝑑𝑥∫a∞​g(x)dx 发散，则 ∫𝑎∞𝑓(𝑥) 𝑑𝑥∫a∞​f(x)dx 也发散。

证明思路： 由 0≤𝑓(𝑥)≤𝑔(𝑥)0≤f(x)≤g(x) 及 𝑔(𝑥)g(x) 的积分收敛性，可知 𝑓(𝑥)f(x) 的积分受到 𝑔(𝑥)g(x) 的积分的界限。因此，𝑓(𝑥)f(x) 的积分也收敛。反之，如果 𝑔(𝑥)g(x) 的积分发散，由于 𝑓(𝑥)f(x) 不小于 𝑔(𝑥)g(x)，其积分也必然发散。

定理3：比较审敛法1

如果函数 𝑓(𝑥)f(x) 在区间 (𝑎,∞)(a,∞) 上连续且非负，并且存在常数 𝑀>0M>0 和 𝑝>1p>1 使得 𝑓(𝑥)≤𝑀𝑥𝑝f(x)≤xpM​（对于所有 𝑥x 大于某个 𝑎a），那么 ∫𝑎∞𝑓(𝑥) 𝑑𝑥∫a∞​f(x)dx 收敛。

证明示例： 如果 𝑓(𝑥)=1𝑥2f(x)=x21​ 在 [1,∞)[1,∞) 上，由于 1𝑥2≤1𝑥2x21​≤x21​ 并且 𝑝=2>1p=2>1，反常积分 ∫1∞1𝑥2 𝑑𝑥∫1∞​x21​dx 收敛。

定理4：极限审敛法

如果存在 𝑝>1p>1 使得 lim⁡𝑥→∞𝑥𝑝𝑓(𝑥)=𝑐<∞limx→∞​xpf(x)=c<∞，则 ∫𝑎∞𝑓(𝑥) 𝑑𝑥∫a∞​f(x)dx 收敛。如果 lim⁡𝑥→∞𝑥𝑓(𝑥)=𝑑>0limx→∞​xf(x)=d>0（或为正无穷），则 ∫𝑎∞𝑓(𝑥) 𝑑𝑥∫a∞​f(x)dx 发散。

例子：审敛法的应用

例5： 判断反常积分 ∫1∞𝑒−𝑥sin⁡𝑏𝑥𝑥 𝑑𝑥∫1∞​xe−xsinbx​dx 的收敛性。 由于 ∣𝑒−𝑥sin⁡𝑏𝑥∣≤𝑒−𝑥∣e−xsinbx∣≤e−x，且 ∫1∞𝑒−𝑥 𝑑𝑥∫1∞​e−xdx（即 𝑒−𝑥e−x 从1到 ∞∞ 的积分）收敛，根据比较审敛原理，原积分收敛。

通过这些定理，我们可以有效地评估反常积分的收敛性，无需直接计算积分值。这些方法特别适用于处理复杂的或无法直接积分的函数。

二、无界函数的反常积分的审敛法

对于无界函数或其在某点具有瑕点的情形，审敛法提供了一种有效的方法来判断反常积分的收敛性而无需实际计算积分。下面详细介绍两种对于无界函数反常积分的审敛法。

定理6：比较审敛法2

此定理适用于判断具有瑕点 𝑥=𝑎x=a 的函数 𝑓(𝑥)f(x) 在区间 (𝑎,𝑏)(a,b) 上的反常积分 ∫𝑎𝑏𝑓(𝑥) 𝑑𝑥∫ab​f(x)dx 的收敛性。

条件和结论：

• 如果存在常数 𝑀>0M>0 和 𝑞<1q<1，使得在 (𝑎,𝑏)(a,b) 区间内有 𝑓(𝑥)≤𝑀(𝑥−𝑎)𝑞f(x)≤(x−a)qM​，则反常积分收敛。
• 如果存在常数 𝑁>0N>0，使得 𝑓(𝑥)≥𝑁(𝑥−𝑎)𝑞f(x)≥(x−a)qN​ （𝑞≥1q≥1），则反常积分发散。

定理7：极限审敛法2

此定理利用极限来判断瑕点处反常积分的收敛性。

条件和结论：

• 如果存在 0<𝑞<10<q<1，使得 lim⁡𝑥→𝑎+(𝑥−𝑎)𝑞𝑓(𝑥)limx→a+​(x−a)qf(x) 存在且有限，则反常积分 ∫𝑎𝑏𝑓(𝑥) 𝑑𝑥∫ab​f(x)dx 收敛。
• 如果 lim⁡𝑥→𝑎+(𝑥−𝑎)𝑓(𝑥)=𝑑>0limx→a+​(x−a)f(x)=d>0（或无穷大），则反常积分发散。

例子：判定反常积分的收敛性

例6： 考虑反常积分 ∫121(𝑥−1)1.5 𝑑𝑥∫12​(x−1)1.51​dx。

由于 𝑞=1.5≥1q=1.5≥1，根据定理6的第二部分，这个积分发散。

例7： 考虑椭圆积分 ∫01𝑑𝑥1−𝑥2∫01​1−x2​dx​。

这里 𝑥=1x=1 是被积函数的瑕点。由于函数在 𝑥→1−x→1− 时表现为 11−𝑥2≈12(1−𝑥)1−x2​1​≈2(1−x)​1​，对应 𝑞=0.5<1q=0.5<1，根据定理7，此反常积分收敛。

综合讨论

无界函数的反常积分审敛法为我们提供了一种强有力的工具，使我们能够在不直接计算积分的情况下评估积分的行为。这些方法尤其适用于函数在区间端点或内部点无界的情况，帮助我们判断这些积分是否有明确的、有限的结果。通过这些定理，我们可以更深入地理解和处理复杂的数学问题，特别是在物理和工程领域中遇到的问题。

三、Γ函数（Gamma Function）

Γ函数是阶乘概念在实数和复数上的推广。它在数学的多个领域中扮演着重要角色，特别是在概率论、组合数学和复变函数论中。

定义

Γ函数定义为：

这个积分涵盖了无穷区间，并且在 𝑥=0x=0 处的被积函数可能有瑕点，特别是当 𝑠−1<0s−1<0，即 𝑠<1s<1 时。

积分的收敛性

• 积分 𝐼1=∫01𝑥𝑠−1𝑒−𝑥 𝑑𝑥I1​=∫01​xs−1e−xdx: 当 𝑠≥1s≥1 时，此部分为定积分；当 0<𝑠<10<s<1 时，由于 𝑥𝑠−1xs−1 在 𝑥→0+x→0+ 时趋近于无穷，需要特别考虑收敛性。此时，利用比较审敛法，因为 𝑥𝑠−1xs−1 在 𝑥→0+x→0+ 的行为类似于 1𝑥1−𝑠x1−s1​，且 1−𝑠<11−s<1，根据比较审敛法2，此积分收敛。

• 积分 𝐼2=∫1∞𝑥𝑠−1𝑒−𝑥 𝑑𝑥I2​=∫1∞​xs−1e−xdx: 对于 𝑠>0s>0，由于 𝑒−𝑥e−x 的指数衰减足够快以至于超过了 𝑥𝑠−1xs−1 的多项式增长，这部分积分也收敛。

重要性质

1. 递推公式

Γ函数满足递推关系：

这可以通过分部积分来证明。因此，对于正整数 𝑛n，有：

这表明Γ函数是阶乘的自然推广。

2. Γ函数在 𝑠→0+s→0+ 时的行为

随着 𝑠s 趋近于0，Γ函数趋向于正无穷：

3. 余元公式（Reflection Formula）

这个公式在很多数学和物理问题中都非常有用。

4. 在概率论中的应用

在概率论中，Γ函数经常用来定义和计算连续随机变量的分布，如Γ分布和相关的贝塔分布。此外，Γ函数的性质也常常用于各种统计方法和理论的推导中。

总之，Γ函数不仅是一个数学上的抽象概念，它还在多个领域中有实际的、重要的应用，其性质和相关的函数关系极大地丰富了数学分析和应用数学的内容。