1、函数$f(x)$在点$x_0$极限存在的充要条件

f(x)在点$x_0$存在极限并不要求f(x)在该点有定义，只需要在点$x_0$存在左右极限且相等。

2、函数$f(x)$在点$x_0$连续的充要条件

需要函数$f(x)$在点$x_0$极限存在且等于$f(x_0)$

3、函数$f(x)$在点$x_0$可微

实际上，多元函数没有"可导"一说，因为多元函数在某一点$x_0$有多个变量，那么只能说对某个变量$x_0^i$可偏导。如果在这点的所有变量的偏导数都存在且连续，则说多元函数$f(x)$在点$x_0$可微，但是反过来，函数可微不一定能推出便导数连续。

3.1一元函数可导的充要条件

一元函数可导的充要条件左右导数存在且相等

对于一元函数来说，就一个（偏）导数，故而一元函数可微与可导是等价的。

3.2多元函数偏导的定义

若$f(x)$对$x_0$中第一个变量$x_0^1$求偏导，则将其他所有的变量都当成常数，这时候直接对$x_0^1$进行求导即可。

多元函数$f(x)$在点$x_0$可微的充分条件是$f(x)$在点$x_0$的$n$个偏导数都存在且连续。

4、函数$f(x)$在点$x_0$连续可微

令函数是在开区间上可微的，若函数的导函数是开区间上的连续函数，则称函数在开区间上连续可微，记作连续可微。
**因为偏导数连续能推出可微，然而可微并不能推出偏导数连续。**因为存在偏导数不连续也可微的函数，所以连续可微与可微的区别就是，连续可微函数的偏导数一定连续，而可微函数就不一定了。

有以下关系：

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