上一章学习，我们了解到对于矩量法来说，实际上就是对积分方程利用加权余数法来求解，而本章所学习的有限元法就是用加权余数法来求解差分方程。而加权余数法主要就是用伽辽金法来求解。

本章目录

1. 一维有限元分析
2. 拉普拉斯方程、泊松方程和波动方程（亥姆霍兹方程）的求解（实际上就是二维有限元分析）
3. 自动网格划分
4. 带宽处理
5. 高阶元问题
6. 三维有限元分析
7. 矢量有限元分析

引言

• 使用有限元法分析的步骤可以总结为：
  （1）首先将求解区域离散划分为有限个子区域或者元；
  （2）得出经典元的控制方程（实际上就是算子方程近似解的基函数表示式）；
  （3）求解域内所有元的总和（上一步求解得到我们单个有限元的控制方程，那么对所有元进行综合，得到总的矩阵也就是系统方程）；
  （4）求解得到的系统方程，得到最终的解
  经典的有限元划分：

1. 对于一维问题：
   带有两个节点的一个线段成为一个元
2. 对于二维问题，有不同的有限元划分方式：
   最经典的是三个结点组成的三角形网格划分，也有六个结点对应的网格划分，这种适用于高阶问题。
   还有其他两种不太常用的网格划分形式
3. 对于三维问题：
   一般划分为四个结点的四面体，也有八个结点的六面体

一维的有限元分析

• 边值问题
  因为有限元方程是对微分方程的应用，也就是加权残差法的计算，所以我们先给出一个典型的边值问题，给出一个典型微分问题。因为对于我们电磁场中的算子：例如泊松方程，亥姆霍兹方程都是微分算子的。
• 泛函公式
  通过边值问题可以得到我们微分问题的泛函形式
• 有限元分析
  得到我们的泛函形式后，就可以利用瑞丽瑞兹法或者伽辽金法进行分析

边界元方程

• 给出如下的边界元方程：α和β是常数，或者说是与位置有关的函数都可以，但是这个α和β肯定是和我们求解的问题的物理区域是相关的，对于不同的物理问题，这两个值是不一样的。g是已知的源，可以理解成电磁场问题中的激励源。Φ是未知函数，可以理解成电位。
  
  上述这个典型的边值问题方程，可以描述很多电磁问题。例如电磁场中的泊松方程、拉普拉斯方程、亥姆霍兹方程的一维场的方程都可以用这个边界元方程来描述
• 给出这个边界元方程的边界条件：
  左边界（x=0）是一个已知的电位q（也就是狄拉克边界条件）。右边界（x=L）是第三类边界条件，电位的导数+电位 =q；给出两种边界表示方式主要是为了表示边界存在多种可能性，哪种情况都是可能存在的。
  
• 对α和β做出要求：在这个问题的求解区域内，如果存在一些点不连续或者突变的话，例如在x_d这个位置存在不连续或者突变的话，那么要求这个边界元方程的解必须满足连续性条件，也就是满足如下的情况：
  

一维问题的分析

• 对于如下图所示的一维模型，用一维的有限元去离散化，这里的一维有限元e是一个由两个结点组成的线段表示。那么也就相当于这个一维模型被很N个结点离散化了。那么这些结点在一维模型上就有全局编号，也就是从左到右从1到N编号。而这些结点也有局部编号，对于每一个有限元e，局部编号都是1，2。
• 如果划分的元够多，那么对于每一个有限元上的函数Φ的值，可以用一个线性函数来表示。
  
• 其中a^e和b^e在每个元e内是常数：那么如果结点处的值都是已知的话，代入两个结点的值到上面的方程里，就可以得到a^e和b^e了。
  
• 定义插值函数N1和N2（或者说是基函数）
  
  插值函数对应的函数图像如下：
  
  l^e是每个有限元的长度
• 所以我们的控制函数可以表示成：
  

瑞利瑞兹法

有了单个元的控制方程后，我们可以得到所有元对应的，对应的接下来我们对之前的边值问题进行分析

• 为了便于理解，我们首先让边界条件变得简单一些，对于之前