第一单元用python学习微积分（五）隐函数微分法和逆函数导数（下）- 反函数

本文内容来自学习麻省理工学院公开课：单变量微积分-隐函数微分法和逆函数导数-网易公开课和麻省理工学院公开课：单变量微积分习题课-除法法则-网易公开课一、反函数1、定义通常这些就是反函数了例子：, 怎么知道?方法是，交换x和y的值。画出的图，两个不同的函数将通过x=y对称, 分别是from sympy import *import numpy as npimport matplotlib.pypl

Bullseye

1418人浏览 · 2021-12-09 00:15:09

Bullseye · 2021-12-09 00:15:09 发布

本文内容来自学习麻省理工学院公开课：单变量微积分-隐函数微分法和逆函数导数-网易公开课

和麻省理工学院公开课：单变量微积分习题课-除法法则-网易公开课

开发环境准备：CSDN

一、反函数

1、定义

2、例子：

二、只要有原函数的导数，用隐函数微分法可以求导任意反函数，

1、例子：

(1)

(2)

一、反函数

1、定义

$y = x^{1/2}, x>0, y^2 = x$

$f(x) = x^{1/2}, g(y) = x, g(y) = y^2$

通常 $y = f(x) , g(y) = x$

$g(f(x)) = x, g=f^{-1}， f= g^{-1}$ 这些就是反函数了

2、例子：

$y = x^{1/2}$ $g(y) = x$ , 怎么知道 $g(x)$ ?

方法是，交换x和y的值。画出的图，两个不同的函数将通过x=y对称, 分别是 $y = x^{1/2}, y = x^2$

from sympy import *
import numpy as np 
import matplotlib.pyplot as plt 

x= symbols('x')
y = x**0.5
yarr = []
xarr = np.linspace(0 , 3 , 100 ) 
for xval in xarr:
    yval = y.subs(x,xval)
    yarr.append(yval)

y_nparr = np.array(yarr) 

plt.plot(xarr, y_nparr, color='b', label='y = x^0.5')
plt.plot(y_nparr,xarr , color='r', label='inverse function of "y = x^0.5"')


plt.plot(xarr, xarr, color='b', label='symmetric line')
plt.legend(loc='upper right')
plt.show()

二、只要有原函数的导数，用隐函数微分法可以求导任意反函数，

1、例子：

(1) $y = tan^{-1}x ------ [arctan(x).... tan(y) = x]$

y = tan(x) (-pi/2 < x< pi/2 )

注意看绿色的曲线：( $\lim_{x \rightarrow \infty}{x}tan^{-1}x = \frac{\pi}{2}$ )

求导： $\frac{d}{dy}tan(y) = \frac{d}{dy}\frac{sin(y)}{cos(y)}= \frac{sin'(y)cos(y)-cos'(y)sin(y)}{(cos(y))^2}=\frac{(cos(y))^2 +(sin(y))^2}{(cos(y))^2}=\frac{1}{(cos(y))^2}$

(注：用到三角函数公式 $sin^2x +cos^2x = 1$ )

x = symbols('x')
z1 = sin(x)/cos(x)
derivative_f = z1.diff(x)

继续推导：

$\frac{d}{dx}(tan(y) = x)$

$(\frac{1}{cos^2(y)})y' = 1, y' = cos^2y$ .............. $\frac{d}{dx}tan^{-1}x = cos^2(tan^{-1}x)$ （太复杂了...）

简化：由于 $y = tan^{-1}(x)$ -> $x = tan(y)$

import numpy as np 
from sympy import *
import matplotlib.pyplot as plt
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(1, 1, 1)
ax.spines['left'].set_position('zero')
ax.spines['bottom'].set_position('zero')
ax.spines['right'].set_color('none')
ax.spines['top'].set_color('none')
ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')
ax.yaxis.set_ticks_position('left')
ax.set_aspect( 1 ) 
angle = np.linspace( 0 , 2 * np.pi , 150 ) 
y = 60/180 * np.pi

angleArc = np.linspace( 0 , y , 150 ) 
radius = (tan(y))**2 + 1
xArc = radius * np.cos( angleArc ) /20
yArc = radius * np.sin( angleArc ) /20

ax.plot( xArc, yArc,color='r') 
plt.text(tan(y)/10, tan(y)/10, 'y', fontsize=12)
ax.plot( [0,1,1,0], [0,tan(y),0,0],color='b',label='x=tany, y='+format(y)) 
plt.text(1.1, tan(y)/2, 'x', fontsize=12)
plt.text(0.3, tan(y)/13, 'bottom line length = 1', fontsize=12)

plt.text(-0.34, 0, 'A', fontsize=12)
plt.text(1.2, 0, 'B', fontsize=12)
plt.text(1.1,tan(y)+0.1 , 'C', fontsize=12)

plt.text(0.3, tan(y)/13, 'bottom line length = 1', fontsize=12)
plt.text(0.3, tan(y)/13+0.1, 'tany = x/1 (BC : AC)', fontsize=12)
plt.text(0.3, tan(y)/13+0.2, 'cosy = 1/(1-x^2)^{1/2}', fontsize=12)
plt.legend(loc='upper right')
plt.show()