一、多目标优化的基本流程

        ·初始化N个个体(也就是N个解)

        ·计算适应值(也就是函数值，多目标也就是有多个函数值\适应值)

        ·利用旧的个体产生新的个体

                --各种策略：遗传算法、粒子群、模拟退火等等，只是这里是遗传算法GA

        ·通过对比选择得到新一轮的个体

                --Rank，非支配排序，得到一层一层的非支配解

                --对于同一个Rank内的排序，通过拥挤度来排序，拥挤度越大越好

        ·循环到你希望它循环的那个次数

二、代码实现

·Individual，定义了一个individual类，表示一个个体，包含了一些基本的属性和方法，用于表示解向量、目标函数、支配关系等

·fast_non_dominated_sort（P），对于种群P进行快速非支配排序

·crowding_distance_assignment(L)，为一层Rank中的个体计算拥挤度距离

·KUP（x），目标函数

"""
多目标进化算法——NSGA-II（python实现）
--解决的是多目标的数学函数，有两个不同的输出结果
"""
from collections import defaultdict
import numpy as np
import random
import matplotlib.pyplot as plt
import math

#note:定义了一个individual类，表示一个个体，包含了一些基本的属性和方法，用于表示解向量、目标函数、支配关系等
class Individual(object):
    def __init__(self):
        # 初始化一个个体的实例，有下面几个属性：
        self.solution = None  # 实际赋值中是一个 nparray 类型，方便进行四则运算，用于存储解向量
        self.objective = defaultdict()  # 属性用于存储目标函数值 在多目标优化问题中
        # 通常有多个目标函数需要优化self.objective 就是一个包含多个目标函数值的字典

        self.n = 0  # 解p被几个解所支配，是一个数值（左下部分点的个数）
        self.rank = 0  # 解所在第几层
        self.S = []  # 解p支配哪些解，是一个解集合（右上部分点的内容）
        self.distance = 0  # 拥挤度距离

    def bound_process(self, bound_min, bound_max):
        """
        对解向量 solution 中的每个分量进行定义域判断，超过最大值，将其赋值为最大值；小于最小值，赋值为最小值
        :param bound_min: 定义域下限
        :param bound_max:定义域上限
        :return:
        """
        for i, item in enumerate(self.solution):
            if item > bound_max:
                self.solution[i] = bound_max
            elif item < bound_min:
                self.solution[i] = bound_min

    def calculate_objective(self, objective_fun):
        # 这个方法的目的是将解向量转化为目标函数的值 objective_fun 可能是一个返回多个目标函数值的函数。
        # 调用 calculate_objective(objective_fun) 计算个体的目标函数值，并将结果存储在 self.objective 中，以便进一步使用。
        self.objective = objective_fun(self.solution)

    # 重载小于号“<”,支配关系比较
    def __lt__(self, other):
        # 获取两个个体的目标函数值，分别存储在 v1 和 v2 中
        v1 = list(self.objective.values())
        v2 = list(other.objective.values())
        # 逐个比较对应位置的值
        for i in range(len(v1)):
            if v1[i] > v2[i]:
                return 0  # 但凡有一个位置是 v1大于v2的 直接返回0,如果相等的话比较下一个目标值
        return 1
    # 如果目标函数是3个及以上呢    --目标函数是几个并没有什么影响
    # 如果比较的支配方向不是越小越好呢？  --可以加入一个变量 larger_is_better，用于表示目标函数越大越好的情况。在重载中分类讨论


def main():
    # 初始化/参数设置
    generations = 500  # 迭代次数
    popnum = 100  # 种群大小
    eta = 1  # 变异分布参数，该值越大则产生的后代个体逼近父代的概率越大。Deb建议设为 1

    # 问题定义
    # poplength = 30  # 单个个体解向量的维数
    # bound_min = 0  # 定义域
    # bound_max = 1
    # objective_fun = ZDT1

    poplength = 3  # 单个个体解向量的维数
    bound_min = -5  # 定义域
    bound_max = 5
    objective_fun = KUR  #  目标函数

    # 生成第一代种群
    P = [] # 创建一个空列表 P，用于存储个体对象
    for i in range(popnum):
        # 通过循环生成 popnum 个个体，并将它们添加到列表 P 中。
        P.append(Individual())
        P[i].solution = np.random.rand(poplength) * (bound_max - bound_min) + bound_min  # 随机生成个体可行解
        P[i].bound_process(bound_min, bound_max)  # 定义域越界处理
        P[i].calculate_objective(objective_fun)  # 计算目标函数值

    # 输入初始父代种群P -> 非支配排序
    fast_non_dominated_sort(P)

    # 生成子代种群Q
    Q = make_new_pop(P, eta, bound_min, bound_max, objective_fun)

    P_t = P  # 当前这一届的父代种群
    Q_t = Q  # 当前这一届的子代种群

    # note:循环迭代gen_cur次,每次都合并新旧种群-->排序后得到对应数量popnum新的父种群P_n-->通过交叉变异产生新的子代种群Q_n
    #      -->将新旧种群信息更新到变量中,准备下一次循环的迭代合并-->绘制这一次此时的父种群P_n在图上的位置
    for gen_cur in range(generations):
        R_t = P_t + Q_t  # 将当前父代种群和子代种群合并成一个总种群
        F = fast_non_dominated_sort(R_t) # 对合并后的总种群进行快速非支配排序，得到不同层的个体集合。

        P_n = []  # 即为P_t+1,表示下一届的父代
        i = 1
        while len(P_n) + len(F[i]) < popnum:  # until the parent population is filled
            crowding_distance_assignment(F[i])  # calculate crowding-distance in F_i
            P_n = P_n + F[i]  #  将第 i 层的个体加入下一代父代种群。
            i = i + 1  # 切换到下一层
        F[i].sort(key=lambda x: x.distance)  # 数量将要达到popnum时,对下一层的个体按照拥挤度距离排序
        P_n = P_n + F[i][:popnum - len(P_n)] # 将排序后的个体加入下一代父代种群，以保证种群大小不超过 popnum
        Q_n = make_new_pop(P_n, eta, bound_min, bound_max,
                           objective_fun)  # 使用选择、交叉和变异操作创建新的子代种群 Q_n。

        # 求得下一届的父代和子代成为当前届的父代和子代，，进入下一次迭代 《=》 t = t + 1
        P_t = P_n
        Q_t = Q_n

        # 绘图
        plt.clf()
        plt.title('current generation_P_t:' + str(gen_cur + 1))  # 绘制当前循环选出来的父代的图
        plot_P(P_t)
        plt.pause(0.1)

        # plt.title('current generation_Q_t:' + str(gen_cur + 1))  # 绘制当前循环生成的子代的图
        # plot_P(Q_t)
        # plt.pause(0.1)

    plt.show()

    return 0

#note 对种群p进行快速非支配排序
def fast_non_dominated_sort(P):
    """
    非支配排序
    :param P: 种群 P
    :return F: F=(F_1, F_2, ...) 将种群 P 分为了不同的层， 返回值类型是dict，键为层号，值为 List 类型，存放着该层的个体
    """
    F = defaultdict(list) # F 一个字典,键为非支配层的层号rank,值为一个列表--存储该层的个体

    for p in P:
        p.S = [] #  支配的集合
        p.n = 0 # 被支配的个数
        # 对于每个个体 p，遍历种群中的其他个体 q，根据 p 与 q 的支配关系，更新 p 的支配集合 S 和被支配计数器 n。
        for q in P:
            if p < q:  # if p dominate q
                p.S.append(q)  # Add q to the set of solutions dominated by p
            elif q < p:
                p.n += 1  # Increment the domination counter of p
        # 如果 n 为零，则表示 p 不被任何个体支配，将其分配到第一层 F[1] 中
        if p.n == 0:
            p.rank = 1
            F[1].append(p)
    # 接下来，对于每一层 F[i]，更新被当前层个体支配的个体被支配计数器，并将新的非支配个体添加到下一层 F[i+1]。
    i = 1
    while F[i]:
        Q = []
        for p in F[i]:
            for q in p.S:
                q.n = q.n - 1
                if q.n == 0:
                    q.rank = i + 1
                    Q.append(q)
        i = i + 1
        F[i] = Q

    return F


# todo 真想把 eta, bound_min, bound_max, objective_fun 设为全局变量-->走到哪带到那,一直往下传
# note 输入一个P種群,和四个主函数中的初始化参数,得到子代种群Q
def make_new_pop(P, eta, bound_min, bound_max, objective_fun):
    """
    use select,crossover and mutation to create a new population Q
    :param P: 父代种群
    :param eta: 变异分布参数，该值越大则产生的后代个体逼近父代的概率越大。Deb建议设为 1
    :param bound_min: 定义域下限
    :param bound_max: 定义域上限
    :param objective_fun: 目标函数
    :return Q : 子代种群
    """
    popnum = len(P)
    Q = []
    # binary tournament selection 二元锦标赛选择父代
    for i in range(int(popnum / 2)): # 让父代种群个数为双数 能避免不必要的麻烦
        # 从种群中随机选择两个个体，进行二元锦标赛，选择出一个 parent1
        i = random.randint(0, popnum - 1)
        j = random.randint(0, popnum - 1)
        parent1 = binary_tournament(P[i], P[j])

        # 从种群中随机选择两个个体，进行二元锦标赛，选择出一个 parent2
        i = random.randint(0, popnum - 1)
        j = random.randint(0, popnum - 1)
        parent2 = binary_tournament(P[i], P[j])

        while (parent1.solution == parent2.solution).all():  # 如果选择到的两个父代完全一样，则重选另一个
            # 上面的.all可能导致警告,因为如果 parent1.solution不是数组，而是单个布尔值，就不应该使用 .all() 方法
            # 但是我们知道解向量是单个布尔值，所以可以安全地忽略这个警告。
            i = random.randint(0, popnum - 1)
            j = random.randint(0, popnum - 1)
            parent2 = binary_tournament(P[i], P[j])

        # parent1 和 parent1 进行交叉，变异 产生 2 个子代
        Two_offspring = crossover_mutation(parent1, parent2, eta, bound_min, bound_max, objective_fun)

        # 产生的子代进入子代种群
        Q.append(Two_offspring[0])
        Q.append(Two_offspring[1])
    return Q

#note:为一层中的个体计算拥挤度距离
def crowding_distance_assignment(L):
    """ 传进来的参数应该是L = F(i)，类型是List,传进来的一层rank的一个list集合"""
    l = len(L)  # number of solution in F F层共有多少个个体

    for i in range(l):
        L[i].distance = 0  # initialize distance 初始化所有个体的拥挤度为0

    for m in L[0].objective.keys():  # 对每个目标距离进行拥挤度距离计算
        L.sort(key=lambda x: x.objective[m])  # sort using each objective value根据当前目标方向值对个体进行排序。
        # 将第一个和最后一个个体的拥挤度距离设为无穷大，确保它们总是被选择。
        L[0].distance = float('inf')
        L[l - 1].distance = float('inf')  # so that boundary points are always selected

        # 排序是由小到大的，所以最大值和最小值分别是 L[l-1] 和 L[0]
        f_max = L[l - 1].objective[m]
        f_min = L[0].objective[m]

        # 当某一个目标方向上的最大值和最小值相同时，此时会发生除零错，这里采用异常处理机制来解决
        try:
            for i in range(1, l - 1):  # for all other points
                L[i].distance = L[i].distance + (L[i + 1].objective[m] - L[i - 1].objective[m]) / (f_max - f_min)
        except Exception:
            print(str(m) + "目标方向上，最大值为" + str(f_max) + "最小值为" + str(f_min))

# note 二元锦标赛选择函数--选择出输入的两个个体中较优的个体
def binary_tournament(ind1, ind2):
    """
    二元锦标赛
    :param ind1:个体1号
    :param ind2: 个体2号
    :return:返回较优的个体
    """
    if ind1.rank != ind2.rank:  # 如果两个个体有支配关系，即在两个不同的rank中，选择rank小的
        return ind1 if ind1.rank < ind2.rank else ind2
    elif ind1.distance != ind2.distance:  # 如果两个个体rank相同，比较拥挤度距离，选择拥挤读距离大的
        # 如果是初代父种群P生成第一子代时,此时的每一个解决方案个体还没有distance的赋值,默认都是0
        return ind1 if ind1.distance > ind2.distance else ind2
    else:  # 如果rank和拥挤度都相同，返回任意一个都可以
        return ind1

# note:两个父代个体进行交叉-变异 返回两个子代个体
def crossover_mutation(parent1, parent2, eta, bound_min, bound_max, objective_fun):
    """
    交叉方式使用二进制交叉算子（SBX），变异方式采用多项式变异（PM）
    :param parent1: 父代1
    :param parent2: 父代2
    :param eta: 变异分布参数，该值越大则产生的后代个体逼近父代的概率越大。Deb建议设为 1
    :param bound_min: 定义域下限
    :param bound_max: 定义域上限
    :param objective_fun: 目标函数
    :return: 2 个子代
    """
    poplength = len(parent1.solution)  # 获得解向量的维度或者分量个数,表示解向量的维度

    offspring1 = Individual()
    offspring2 = Individual()
    # 创建一个指定长度的一维数组，该数组的元素值是未初始化的，即它们可能包含任意值。这个数组将被用来存储新生成的子代个体的解向量。
    # np.empty 仅仅分配了内存空间而不初始化数组元素的值
    offspring1.solution = np.empty(poplength)
    offspring2.solution = np.empty(poplength)

    # 二进制交叉
    for i in range(poplength):
        rand = random.random()  # 生成一个在 [0, 1) 范围内的随机数
        #  beta的计算采用了 SBX 的公式，其中 eta 是变异分布参数，用于调整交叉的程度。
        beta = (rand * 2) ** (1 / (eta + 1)) if rand < 0.5 else (1 / (2 * (1 - rand))) ** (1.0 / (eta + 1))
        offspring1.solution[i] = 0.5 * ((1 + beta) * parent1.solution[i] + (1 - beta) * parent2.solution[i])
        offspring2.solution[i] = 0.5 * ((1 - beta) * parent1.solution[i] + (1 + beta) * parent2.solution[i])

    # 多项式变异
    # TODO 变异的时候只变异一个，不要两个都变，不然要么出现早熟现象，要么收敛速度巨慢 why？
    # 通过只变异一个个体，可以确保种群中的每个个体都有机会经历一些变化，而不会太快地趋向于某个方向。这有助于维持多样性，促使算法更好地探索搜索空间。
    # 另一方面，如果每次都同时变异两个个体，可能导致整个种群在搜索空间中以较大的步伐移动，这可能使得算法更容易陷入局部最优解，而不太容易跳出这些局部最优解。
    for i in range(poplength):
        mu = random.random() # 生成一个在 [0, 1) 范围内的随机数
        # delta 的计算采用了 PM 的公式，其中 eta 是变异分布参数，用于调整变异的程度。
        delta = 2 * mu ** (1 / (eta + 1)) if mu < 0.5 else (1 - (2 * (1 - mu)) ** (1 / (eta + 1)))
        offspring1.solution[i] = offspring1.solution[i] + delta

    # 定义域越界处理
    offspring1.bound_process(bound_min, bound_max)
    offspring2.bound_process(bound_min, bound_max)

    # 计算目标函数值
    offspring1.calculate_objective(objective_fun)
    offspring2.calculate_objective(objective_fun)

    return [offspring1, offspring2]

#note 测试目标函数
def ZDT1(x):
    """
    测试函数——ZDT1
    :parameter
    :param x: 为 m 维向量，表示个体的具体解向量
    :return f: 为两个目标方向上的函数值
    """
    poplength = len(x)
    f = defaultdict(float)

    g = 1 + 9 * sum(x[1:poplength]) / (poplength - 1)
    f[1] = x[0]
    f[2] = g * (1 - pow(x[0] / g, 0.5))

    return f

#note 测试目标函数
def ZDT2(x):
    poplength = len(x)
    f = defaultdict(float)

    g = 1 + 9 * sum(x[1:poplength]) / (poplength - 1)
    f[1] = x[0]
    f[2] = g * (1 - (x[0] / g) ** 2)

    return f

#note:目标函数KUR，接受一个解向量x作为输入，计算并且返回一个包含两个目标函数值的字典f。
def KUR(x):
    f = defaultdict(float) # 定义这个字典f，存放后续的两个目标函数值
    poplength = len(x)

    f[1] = 0
    f[2] = 0
    # 第一个目标函数 f[1] 是一个累加项，涉及解向量中相邻两个变量的平方和的指数衰减。
    for i in range(poplength - 1):
        f[1] = f[1] + (-10) * math.exp((-0.2) * (x[i] ** 2 + x[i+1] ** 2) ** 0.5)
    # 第二个目标函数 f[2] 是一个累加项，包含每个变量的绝对值的指数和一个正弦函数。
    for i in range(poplength):
        f[2] = f[2] + abs(x[i]) ** 0.8 + 5 * math.sin(x[i] ** 3)

    return f

def plot_P(P):
    """
    假设目标就俩,给个种群绘图
    :param P:
    :return:
    """
    X = []
    Y = []
    for ind in P:
        X.append(ind.objective[1])
        Y.append(ind.objective[2])

    plt.xlabel('F1')
    plt.ylabel('F2')
    plt.scatter(X, Y)


# 程序入口
if __name__ == '__main__':
    main()

三、参考资料

多目标进化算法——NSGA-II（python实现）_nsga python-CSDN博客

通俗易懂讲算法-多目标优化-NSGA-II(附代码讲解)哔哩哔哩bilibili