“养成习惯的过程可以分为四个简单的步骤：提示、渴求、反应和奖励。”

摘录来自
掌控习惯
詹姆斯·克利尔(James Clear)
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前言

就像引言里所描述的养成习惯的四个步骤，如果我们想让机器也有自己的“习惯”，去掉机器没有的渴求属性，就是强化学习所做的事情 —— 帮机器养成“习惯”，而 DRL 就是使用深度学习的技术去实现强化学习算法。今天是系列文章的第一篇，会介绍最基础的 policy-based 的算法 —— REINFORCE。

算法描述

就像人类养成习惯需要一遍遍经历四个步骤，机器也一样，需要经历上述的三个步骤，经历 T 时刻积累的经验形成的序列叫做 Trajectory，我们用 $\tau$ 表示（有人可能还看过 episode 的概念，一个 $\tau$ 可以有多个 episode）。s 代表机器所处的环境产生的提示或者状态，a 代表机器的反应或者行动，r 代表机器产生反应或者行动后获得的回报。
$$\tau =s0,a0,r1,s1,a1,r2,s2,a\mathrm{2...}rT,sT,aT$$
那么根据 MDP 属性有
$$p(\tau )=\prod _{t=0}^T{p}_{\theta }(a_t|s_t)p(s_{t+1}|s_t,a_t)$$
那么这里的 $p_{\theta }$ 就是机器的策略，针对 s 会产生什么样的 a。因为当 s 和 a 都确定了，下一时刻的 s 是系统的固有属性，我们没办法控制，所以我们后面只关心 $p_{\theta }$ 。
因为每一时刻的反应都会产生相应的回报，那么我们把每一时刻的回报加起来，就是这一系列反应产生的整体回报，我们用
$$R(\tau )$$ 表示。有了整体回报，我们就可以衡量机器行为的好坏。

$$R(\tau )=\sum _{t=1}^T{r}_t$$

机器应该更关心当下的回报还是未来的回报呢？我们引入系数
$$\gamma$$
，如果它是 0，我只关注当下，它的值越大，我们会越关心未来的回报。

$$R(\tau )=\sum _{t=1}^T{\gamma }^{t-1}{r}_t,\gamma \in [0,1]$$

有了上面的信息，接下来我们只要使得机器的期望回报最大，我们的机器就会牛逼起来！

$${\bar{R}}_{\theta }=E_{\tau \sim p_{\theta }(\tau )}[R(\tau )]=\sum _{\tau }{p}_{\theta }(\tau )R(\tau )$$

如何获得最大的期望回报？

由上面的期望回报的公式，我们可以通过调节策略增大可以获得更大回报的反应的概率，可以用深度神经网络表示策略，把 s 输入神经网络（可以是 MLP\CNN\LSTM\Transformer…）获得的输出就是每个反应的概率。s 输入到神经网络，得到 a，这里随机采样一个 a（为了探索，选最大的不一定是正确的） 然后得到下一时刻的 s，重复收集，就有了上面公式里的
$$\tau$$
，从而就积累了训练数据。那么有过机器学习经验的人，可以发现答案呼之欲出，就是求导，梯度下降是求最小值，那么求最大值就是加个负号。

$$\theta \leftarrow \theta +\alpha \nabla \bar{R}(\theta )$$

其中：

$$\begin{gathered} \nabla \bar{R}(\theta )={\nabla }_{\theta }\sum _{\tau }{p}_{}(\tau )R(\tau ) \\ =\sum _{\tau }{\nabla }_{\theta }p(\tau )R(\tau ) \\ =\sum _{\tau }p(\tau )\frac{{\nabla }_{\theta }p(\tau )}{p(\tau )}R(\tau )(因为{\nabla }_{\theta }log(z)=\frac{1}{z}{\nabla }_{\theta }z) \\ =\sum _{\tau }p(\tau ){\nabla }_{\theta }logp(\tau )R(\tau ) \\ \approx \frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{\nabla }_{\theta }logp({\tau }^{(i)})R({\tau }^{(i)}) \\ =\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m\sum _{t=1}^T{\nabla }_{\theta }log{p}_{\theta }(a_t^{(i)}|s_t^{(i)})R({\tau }^{(i)}) \\ =\frac{1}{m}\sum _{i=1}^{m}R({\tau }^{(i)})\sum _{t=1}^T{\nabla }_{\theta }log{p}_{\theta }(a_t^{(i)}|s_t^{(i)}) \end{gathered}$$

实现

实现很简单，这里结合参考很快就可以看懂。

缺点

方法很简单，虽然说大道至简，但是用上述方法训练出来的机器还是不够牛逼。主要是因为方法里存在一些缺陷：
策略产生的 $\tau$ 不能再次用于训练，因为策略一直在更新，策略更新了，那么更新之前产生的 $\tau$ 就得丢掉了，训练效率很低。
$$\tau$$
里的每个 a 用的都是同样的 R，更好的情况应该是每个 a 用一个 R。

改进

针对 1，下一篇文章介绍的 PPO 提出了改进
针对 2：
我们可以这样设置 R（一种 Credit Assignment）：
$$R_t(\tau )=\sum _{t=t(a)}^T{\gamma }^{t-t(a)}{r}_t,\gamma \in [0,1]$$

参考

1. 深度强化学习——李宏毅
2. Deep Reinforcement Learning: Pong from Pixels
3. examples reinforcement learning
4. hugging face deep rl class
5. What does log_prob do?