背景

求解方程组问题（线性非线性均可，不带微积分）

问题描述

$xy+x^3+y^3=11y$
$x^2{y}^2+x^2+2y^2=10$
不限制xy范围，实际解为x=2 y=1

注意俩方程也可能解出来多套解，我只是先设定了实际解的一组解，然后构造的方程组，所以还可能存在其他解

神经网络

思路：参考遗传算法求解方程组的思路，将评估函数设定为每个方程移项（将等号右侧变为0）后等号左侧的平方和（遗传算法需要构造平方和的倒数，因为适应度函数需要越大越好），所以输入模型的feature就是初值（实验发现不能是全0）

输出的y是平方和，损失值拿y和0计算均方误差或绝对值误差（其实直接拿y_pred作为损失值即可，y_true任意给，不过需要写自定义损失函数，麻烦些），和一般网络训练的不同在于：feature只有一个样本，label是全0。

有论文将输出的y作为solution，即在本任务中是两维，然后损失值拿平方和计算（自定义损失函数，y_true任意给，loss通过y_pred来计算）

构建模型：

inputs = Input(shape=(2,))
x = inputs
# x = Dense(6, activation=activation)(x)
# x = Dense(16, activation=activation)(x)
x = Dense(2, activation=activation,name='solve')(x)
x = func(x)
model = Model(inputs=inputs,outputs=x)

本想通过三层来拟合，实际理论推导发现，输入是初值，在solve层是输出solution，即：

$[x_0{y}_0][w_1{w}_2;w_3{w}_4]=[x_{solve}{y}_{solve}]$

通过 $x_0和y_0$的线性组合得到solution解向量，所以也没必要使用非线性激活函数以及多层，所以最后只用了一层。
训练代码：

model.compile(optimizer=Adam(lr),
              loss='mse')
model.fit(feature,label,batch_size,epochs)
model.save("pinn2d.h5")
model_solve = Model(inputs=model.input,outputs=model.get_layer(name='solve').output)
solve = model_solve.predict(feature)
print("solve:",solve)
loss = func_np(solve)
print("loss:",loss)

结果：

这个解是事先不知道的，代入原方程验证loss：

说明这确实存在一个负的解，选的初值不同会导致最后的收敛结果不同，可能通过遍历一个初值的list来扫描全部解集是一个较好的解决方法，这就对初值list的选择带来了挑战性。

结论

神经网络求解方程组的工作已完成，不足是全部解集元素的寻找工作。