点积（Dot Product）详细讲解

什么是点积？

点积是线性代数中的一个基本运算，用于计算两个向量之间的关系。给定两个向量 ( x ) 和 ( y )，它们的点积表示为：

这意味着你将两个向量中对应位置的元素相乘，然后将所有的乘积相加。

示例代码

以下是用 Python 和 NumPy 计算点积的代码示例：

import numpy as np

# 定义两个向量
x = np.array([0, 1, 2, 3])  # 向量 x
y = np.array([1, 1, 1, 1])  # 向量 y

# 计算点积
dot_product = np.dot(x, y)

# 输出结果
print("向量 x:", x)
print("向量 y:", y)
print("点积 x·y =", dot_product)

运行结果

当你运行这段代码时，输出结果会是：

向量 x: [0 1 2 3]
向量 y: [1 1 1 1]
点积 x·y = 6

使用点积的例子

加权平均的计算

假设我们有一个学生的考试成绩和每门课的权重，我们想计算加权平均成绩。

# 考试成绩
scores = np.array([90, 80, 70])  # 三门课程的成绩

# 权重
weights = np.array([0.5, 0.3, 0.2])  # 各课程的权重

# 计算加权平均
weighted_average = np.dot(scores, weights)

# 输出结果
print("加权平均成绩 =", weighted_average)

运行结果

运行这段代码时，输出结果会是：

加权平均成绩 = 83.0

角度计算的例子

点积还可以用来计算两个向量之间的夹角。如果我们将向量归一化（单位化），则点积的值等于这两个向量夹角的余弦。

# 定义两个向量
a = np.array([1, 0])
b = np.array([0, 1])

# 计算点积
dot_product = np.dot(a, b)

# 计算向量的长度
length_a = np.linalg.norm(a)
length_b = np.linalg.norm(b)

# 计算夹角的余弦
cosine_angle = dot_product / (length_a * length_b)

# 计算夹角（弧度）
angle_radians = np.arccos(cosine_angle)

# 输出结果
print("向量 a:", a)
print("向量 b:", b)
print("点积 a·b =", dot_product)
print("夹角（弧度） =", angle_radians)
print("夹角（度数） =", np.degrees(angle_radians))

运行结果

运行这段代码时，输出结果会是：

向量 a: [1 0]
向量 b: [0 1]
点积 a·b = 0
夹角（弧度） = 1.5707963267948966
夹角（度数） = 90.0

总结

点积不仅是一个基本的数学操作，还在许多领域（如物理、计算机科学、机器学习）中发挥着重要作用。通过以上代码示例，你可以更好地理解点积的计算及其应用。

矩阵乘法（Matrix Multiplication）

什么是矩阵乘法？

矩阵乘法是线性代数中的一种运算。给定两个矩阵 ( A ) 和 ( B )，它们的乘积 ( C = A \times B ) 的计算规则是：矩阵 ( A ) 的列数必须等于矩阵 ( B ) 的行数。

具体来说，若 ( A ) 是一个 ( m \times n ) 矩阵，( B ) 是一个 ( n \times p ) 矩阵，那么它们的乘积 ( C ) 是一个 ( m \times p ) 矩阵，且 ( C ) 中第 ( i ) 行第 ( j ) 列的元素是：

示例代码

以下是用 Python 和 NumPy 计算矩阵乘法的代码示例：

import numpy as np

# 定义两个矩阵
A = np.array([[1, 2],
              [3, 4]])
B = np.array([[5, 6],
              [7, 8]])

# 计算矩阵乘法
C = np.dot(A, B)

# 输出结果
print("矩阵 A:")
print(A)
print("矩阵 B:")
print(B)
print("矩阵乘积 C = A * B:")
print(C)

运行结果

当你运行这段代码时，输出结果会是：

矩阵 A:
[[1 2]
 [3 4]]
矩阵 B:
[[5 6]
 [7 8]]
矩阵乘积 C = A * B:
[[19 22]
 [43 50]]

范数（Norm）

什么是范数？

范数是用来衡量向量或矩阵的大小或长度的一个数值。常用的范数有：

示例代码

以下是计算 L2 范数和 L1 范数的代码示例：

# 定义一个向量
x = np.array([3, 4])

# 计算 L2 范数
l2_norm = np.linalg.norm(x, 2)

# 计算 L1 范数
l1_norm = np.linalg.norm(x, 1)

# 输出结果
print("向量 x:", x)
print("L2 范数 =", l2_norm)
print("L1 范数 =", l1_norm)

运行结果

运行这段代码时，输出结果会是：

向量 x: [3 4]
L2 范数 = 5.0
L1 范数 = 7.0

总结

• 矩阵乘法用于将两个矩阵结合以产生新的矩阵，其计算依赖于矩阵的行列结构。
• 范数用于衡量向量或矩阵的大小，常见的包括 L1 范数和 L2 范数。