吴恩达深度学习课程作业记录 - 训练深度神经网络

本文是基于吴恩达老师的深度学习课程系列中第一门课所写，以最终实现手撸一份神经网络为作业而成。本文只为写下在实现网络过程中，自己感到过困惑的地方的总结，未覆盖实现全连接层神经网络的所有知识细节，如需更多深入了解，可以直达课程笔记。深度学习笔记-目录由于吴恩达老师的课程作业中大部分框架都已经搭好了，只需自己实现部分内容，导致忽略框架部分的实现，因此重新手写了所有代码（仍保留了原函数接口）。由于难点在于

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零、前言

本文是基于吴恩达老师的深度学习课程系列中第一门课所写，以最终实现手撸一份神经网络为作业而成。本文只为写下在实现网络过程中，自己感到过困惑的地方的总结，未覆盖实现全连接层神经网络的所有知识细节，如需更多深入了解，可以直达课程笔记。

深度学习笔记-目录

由于吴恩达老师的课程作业中大部分框架都已经搭好了，只需自己实现部分内容，导致忽略框架部分的实现，因此重新手写了所有代码（仍保留了原函数接口）。由于难点在于训练神经网络，因此只记录了与训练神经网络相关的步骤，使用神经网络（计算误差、预测）等部分未记录在此。

一、基础

使用 numpy 进行运算

向量化实现 Relu 函数

import numpy as np
def relu(Z):
  return np.maximum(Z, 0)

使用 numpy.maximum函数，将两个数组传入其中，函数对每个索引上位置进行比较并取最大值。而 numpy.max是另外一个完全不同的函数，传入一个数组，它返回的是这个数组（或者指定某一维）的最大值。

向量化实现 Sigmoid 函数

def sigmoid(Z):
  return 1 / (1+np.exp(-Z))

使用 numpy.exp获取 $e^x$ 函数的值。

向量化实现 Relu 函数的导数

def relu_backward(Z):
  result = np.array(Z.shape)
  result[Z>0] = 1
  result[Z<=0] = 0
  return result

在 numpy 中，条件索引不仅可以用于选择数组中的元素，还能用于给满足特定条件的元素赋值。虽然最终并没有直接用到这里实现的 relu_backward方法，但会用到这里的 numpy条件索引赋值语法。

二、训练神经网络

训练神经网络可以细分成五个步骤：

初始化神经网络参数 initialize_parameters

参数存储在一个字典中，键使用字符串 W0, b0… 来表示每层参数项，其中需要重点搞清楚的是层数和索引：

神经网络参数说明

def initialize_parameters(layer_dims):
    '''
    :param layer_dims: 表示网络中每层的维度，从输入层 X 开始，到中间隐藏层，一直到最后输出层 Y
    :return: 中间层的参数 W 和 b
    '''
    L = len(layer_dims)
    parameters = {}
    for i in range(1, L):
        parameters["W" + str(i)] = np.random.randn(layer_dims[i], layer_dims[i-1]) / np.sqrt(layer_dims[i-1])
        parameters["b" + str(i)] = np.zeros((layer_dims[i], 1))
    return parameters

将神经网络的参数放到一个名为 parameters的字典中，键值为字符串类型，例如第一层网络的参数 W1，其设置方式为 parameters["W1"] = np.random.randn(...)，通过使用这种字典可以省去变量的存储。

前向传播 L_model_forward

前向传播包含线性传播和激活，线性函数的结果被放入缓存中，同时激活函数的结果也会被放到缓存中，以便后续反向传播时直接使用。（为什么需要将结果放到缓存中，可以通过推导 sigmoid， relu 的导数，可以看到导数值均和原来的输入相关，因此将前向传播的值缓存下来，以便求导时使用）。

$s i g m o i d^{'} (x) = x (1 - x)$

$\begin{cases} 1 & \text{if } x > 0, \\ 0 & \text{if } x \leq 0. \end{cases}$

L 层神经网络的前 L-1 层均为 relu 层，第 L 层为 sigmoid 层。

def linear_forward(A, W, b):
    Z = np.dot(W, A) + b
    cache = (A, W, b)
    return Z, cache

def relu(Z):
    return np.maximum(0, Z), Z

def sigmoid(Z):
    return 1/(1+np.exp(-Z)), Z

def linear_forward_activation(A, W, b, activation):
    Z, linear_cache = linear_forward(A, W, b)
    if activation == "relu":
        A, activation_cache = relu(Z)
    elif activation == "sigmoid":
        A, activation_cache = sigmoid(Z)
        
    return A, (linear_cache, activation_cache)

def L_model_forward(X, parameters):
    # 这里的 L 表示除了输入层之外的所有层数
    L = len(parameters) // 2
    caches = []
    A = X
    
    for i in range(1, L):
        W = parameters["W" + str(i)]
        b = parameters["b" + str(i)]
        A, cache = linear_forward_activation(A, W, b, "relu")
        caches.append(cache)
        
    W = parameters["W" + str(L)]
    b = parameters["b" + str(L)]
    AL, cache = linear_forward_activation(A, W, b, "sigmoid")
    caches.append(cache)
    return AL, caches

代码中需要注意的两个细节：

使用 parameters 来获取神经网络层数，由于 parameters 包含的是所有层的 W 和 b 参数，且每层中 W 和 b 均只有一个，因此通过将 paramenters 的长度整除以 2，即可得到神经网络的层数 L（python 中整除是以 //双斜杠表示）。
range 函数的取值从 1 到 L-1，而非从 0 开始，因为 W 和 b 参数没有第 0 层。

计算损失函数 compute_cost

计算损失函数的目的在于监督函数的学习走向，这一步并没有真的向神经网络输出真正的反馈。

def compute_cost(AL, Y):
    m = Y.shape[1]
    cost = - np.sum((Y * np.log(AL) + (1-Y) * np.log(1-AL))) / m
    cost = np.squeeze(cost)
    return cost

反向传播 L_model_backward

最难的部分在于反向传播，主要困难在于理解导数是如何传播的。

def relu_backward(dA, cache):
    # print("cache shape " + str(cache.shape))
    # print("dA shape " + str(dA.shape))
    Z = cache
    result = np.array(dA, copy=True)
    result[Z < 0] = 0
    assert result.shape == dA.shape
    return result

def sigmoid_backward(dA, cache):
    Z = cache
    Y = 1/(1+np.exp(-Z))
    result = dA * Y * (1-Y)
    assert result.shape == dA.shape
    return result

def linear_activation_backward(dA, cache, activation):
    linear_cache, activation_cache = cache
    if activation == "relu":
        dZ = relu_backward(dA, activation_cache)
        dA_prev, dW, db = linear_backward(dZ, linear_cache)
    elif activation == "sigmoid":
        dZ = sigmoid_backward(dA, activation_cache)
        dA_prev, dW, db = linear_backward(dZ, linear_cache)

    # print("linear_activation_backward db shape " + str(db.shape))
    return dA_prev, dW, db

def linear_backward(dZ, cache):
    m = dZ.shape[1]
    A_prev, W, b = cache
    dW = np.dot(dZ, A_prev.T) / m
    db = (np.sum(dZ, axis=1) / m).reshape(-1, 1)
    dA_prev = np.dot(W.T, dZ)
    return dA_prev, dW, db


def L_model_backward(AL, Y, caches):
    L = len(caches)
    dAL = -np.divide(Y, AL) + np.divide(1-Y,1-AL)
    
    grads = {}
    cache = caches[L-1]
    dA_prev, dW, db = linear_activation_backward(dAL, cache, "sigmoid")
    grads["dW" + str(L)] = dW
    grads["db" + str(L)] = db
    for l in reversed(range(1, L)):
        cache = caches[l-1]
        dA_prev, dW, db = linear_activation_backward(dA_prev, cache, "relu")
        grads["dW" + str(l)] = dW
        grads["db" + str(l)] = db
    return grads

有一些需要注意的地方：

如何理解 dAL 这个变量，首先需要知道定义的损失函数： $=-ylog\widehat{y}-(1-y)log(1-\widehat{y})$ ，其中自变量为 $\widehat{y}$ ，也即输出值 AL，因此在求导后，得到的是这个函数在当前 $\widehat{y}=dAL$ 时的导数，这个导数代表了使得 $J$ 下降最快的方向。（直观一点的理解，比如我们有一条轨道，轨道是有弧度的，轨道上有一个小球，此时我们需要给这个小球一个力，力的方向可以是任意的，那么如何让这个小球前进效率最高呢？就是沿着当前小球所处轨道的切线方向施加力，上面导数就是这个切线方向，而学习效率就是我们往这个方向上前进的步长）。在找到方向后，我们需要将这个方向分解到各个参数上（例如公司在找到战略方向后，会将战略任务分发到每个下级，让每个人都往一个方向发力），因此这里的 dAL就是帮助我们找到了一个使得损失函数下降的大方向，我们需要将它分解成每个参数的小方向 dW(L), db(L), dW(L-1), db(L-1)…dW(1), db(1)
计算 dAL，这是最后一层的输出 AL 与实际 Y 值的交叉熵（损失）的导数。这里没有将所有损失加起来，而是每个样本都有自身的导数。
在计算 dW(l), 和 db(l) 时将所有样本的导数进行平均（这里的平均使用了向量化计算）
relu_backward 函数中，正常情况下导数计算公式为 $d A * re l u^{'} (x)$ ，由于 relu 的导数在 x > 0 时为 1，在 x < 0 时为 0，因此这里直接使用了一个 dA 数组的拷贝，并使用 dA < 0 构建条件索引，并使用条件索引赋值 dA[dA<0] = 0将所有小于 0 的值变成 0，从而节省乘法的步骤。
linear_backward函数中，计算 db 时将结果进行了 reshape(-1, 1)操作。原因是在 np.sum(xxx, axis=1)函数计算完之后得到的是一个一维数组，输出其 shape 可以发现是 (xx,)这种格式，而非我们预期中的 (xx,1)。前者在进行广播计算的时候会出现一些意想不到的情况，例如在后续 update_parameters中，将 (xx,)和一个 (xx, 1)类型的值进行加减运算时，会得到一个 (xx,xx)类型的数组。（这是因为 (xx,) 类型的数组会在行上进行复制，而 (xx,1) 的数组会在列上进行复制，从而使得两者的维度保持一致）

更新参数 update_parameters

def update_parameters(parameters, grads, learning_rate):
    L = len(parameters) // 2
    for l in range(1, L+1):
        before_shape = parameters["b" + str(l)].shape
        parameters["W" + str(l)] = parameters["W" + str(l)] - grads["dW" + str(l)] * learning_rate
        parameters["b" + str(l)] = parameters["b" + str(l)] - grads["db" + str(l)] * learning_rate
        after_shape = parameters["b" + str(l)].shape
        assert before_shape == after_shape

这个部分的更新就是将每层的梯度 dW(l) 和 db(l)更新到实际参数 W(l) 和 b(l)上（这里就是由于踩了上面所说 b - learning_rate * db时的坑，因此判断了下参数 b 在更新前后形状均不应该发生变化）。其他需要注意和上面一样，也就是 W 和 b 参数的索引是从 1 到 L，计算 L 的方式是通过 parameters的长度整除以 2 得到。