【高等数学笔记】证明:闭包一定是闭集
这里采用工科数学分析中对闭包的定义。前置知识:定义 设AAA是RnR^nRn中的一个点集,a∈Rna\in R^na∈Rn。若∃A\exists A∃A中的点列{xn}\{x_n\}{xn}(xk≠a,k=1,2,…x_k\ne a,k=1,2,\dotsxk=a,k=1,2,…)使得limk→∞xk=a\lim \limits_{k\to\infty} x_k=ak→∞limxk=
这里采用工科数学分析中对闭包的定义。
前置知识:
定义 设 A A A是 R n R^n Rn中的一个点集, a ∈ R n a\in R^n a∈Rn。若 ∃ A \exists A ∃A中的点列 { x n } \{x_n\} {xn}( x k ≠ a , k = 1 , 2 , … x_k\ne a,k=1,2,\dots xk=a,k=1,2,…)使得 lim k → ∞ x k = a \lim \limits_{k\to\infty} x_k=a k→∞limxk=a,则称 a a a是 A A A的一个聚点或极限点。 A A A的所有聚点的集合称为 A A A的导集,记作 A ′ A' A′。集合 A ˉ = A ∪ A ′ \bar{A}=A\cup A' Aˉ=A∪A′称为 A A A的闭包。
定义 若 A ′ ⊆ A A'\subseteq A A′⊆A,则称 A A A为闭集。
定理1 a ∈ A ′ ⟺ ∀ ε > 0 , U ˚ ( a , ε ) ∩ A ≠ ∅ a\in A'\Longleftrightarrow \forall\varepsilon>0,\mathring{U}(a,\varepsilon)\cap A\ne\emptyset a∈A′⟺∀ε>0,U˚(a,ε)∩A=∅( ∅ \emptyset ∅表示空集)。
证明: ⟹ \Longrightarrow ⟹: ∵ ∃ { x n } \because\exists\{x_n\} ∵∃{xn}使得 lim k → ∞ x k = a \lim \limits_{k\to\infty} x_k=a k→∞limxk=a, ∴ ∀ ε > 0 \therefore\forall\varepsilon>0 ∴∀ε>0, ∃ N ∈ N + \exists N\in N^+ ∃N∈N+,使得 ∀ k > N \forall k>N ∀k>N,恒有 x k ∈ U ˚ ( a , ε ) x_k\in\mathring{U}(a,\varepsilon) xk∈U˚(a,ε)。而 { x n } ⊆ A \{x_n\}\subseteq A {xn}⊆A,故 x k ∈ A x_k\in A xk∈A,于是 ∀ ε > 0 \forall\varepsilon>0 ∀ε>0, U ˚ ( a , ε ) ∩ A ≠ ∅ \mathring{U}(a,\varepsilon)\cap A\ne\emptyset U˚(a,ε)∩A=∅。
⟸ \Longleftarrow ⟸:由 ∀ ε > 0 \forall\varepsilon>0 ∀ε>0, U ˚ ( a , ε ) ∩ A ≠ ∅ \mathring{U}(a,\varepsilon)\cap A\ne\emptyset U˚(a,ε)∩A=∅,要找到 { x n } \{x_n\} {xn}( x k ≠ a , k = 1 , 2 , … x_k\ne a,k=1,2,\dots xk=a,k=1,2,…)使得 lim k → ∞ x k = a \lim \limits_{k\to\infty} x_k=a k→∞limxk=a。 ∀ k ∈ N + \forall k\in N^+ ∀k∈N+,取 δ k = 1 k \delta_k=\frac{1}{k} δk=k1,必存在 x k ∈ U ˚ ( a , δ k ) ∩ A x_k\in\mathring{U}(a,\delta_k)\cap A xk∈U˚(a,δk)∩A。这样就确定了点列 { x n } \{x_n\} {xn}。 ∀ ε > 0 \forall\varepsilon>0 ∀ε>0, ∃ N = ⌈ 1 ε ⌉ ∈ N + \exists N=\left\lceil\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil\in N^+ ∃N=⌈ε1⌉∈N+, ∀ k > N \forall k>N ∀k>N,都有 ∥ x k − a ∥ < 1 k < 1 N < ε \|x_k-a\|<\frac{1}{k}<\frac{1}{N}<\varepsilon ∥xk−a∥<k1<N1<ε。 ∴ lim k → ∞ x k = a \therefore\lim \limits_{k\to\infty} x_k=a ∴k→∞limxk=a。∎
定义 设 A ⊆ R n , a ∈ R n A\subseteq R^n,a\in R^n A⊆Rn,a∈Rn,若 ∃ δ > 0 \exists \delta>0 ∃δ>0,使得 U ( a , δ ) ⊆ A U(a,\delta)\subseteq A U(a,δ)⊆A,则称 a a a是集合 A A A的内点。由 A A A的所有内点组成的集合称为 A A A的内部,记作 A ∘ A^\circ A∘或 int A \text{int}\ A int A。
定义 若 A ⊆ A ∘ A\subseteq A^\circ A⊆A∘,则称 A A A为开集。
引理 邻域一定是开集。
证明:设有 a a a的邻域 U ( a , δ ) U(a,\delta) U(a,δ)。任取 p ∈ U ( a , δ ) p\in U(a,\delta) p∈U(a,δ),记 p p p到 a a a的距离 d ( p , a ) = ρ d(p,a)=\rho d(p,a)=ρ。令 S = U ( p , δ − ρ ) S=U(p,\delta-\rho) S=U(p,δ−ρ), ∀ q ∈ S \forall q\in S ∀q∈S, q q q到 a a a的距离 d ( q , a ) < d ( q , p ) + d ( p , a ) < δ − ρ + ρ = δ d(q,a)<d(q,p)+d(p,a)<\delta-\rho+\rho=\delta d(q,a)<d(q,p)+d(p,a)<δ−ρ+ρ=δ,故 q ∈ U ( a , δ ) q\in U(a,\delta) q∈U(a,δ)。于是 S ⊆ U ( a , δ ) S\subseteq U(a,\delta) S⊆U(a,δ),而 S S S是 p p p的邻域,故 p p p是 U ( a , δ ) U(a,\delta) U(a,δ)的内点。因为 p p p取遍 U ( a , δ ) U(a,\delta) U(a,δ)中的点,故 U ( a , δ ) U(a,\delta) U(a,δ)为开集。∎
定理2(对偶原理) A ⊆ R n A\subseteq R^n A⊆Rn为开集的充要条件是 A A A的补集 A C A^C AC为闭集。
证明:必要性:设 A A A是开集,则 A ∘ ⊆ A A^\circ\subseteq A A∘⊆A。根据闭集的定义,只要证明 ( A C ) ′ ⊆ A C (A^C)'\subseteq A^C (AC)′⊆AC。分类讨论:
(1) 若 ( A C ) ′ = ∅ (A^C)'=\emptyset (AC)′=∅,显然有 ( A C ) ′ ⊆ A C (A^C)'\subseteq A^C (AC)′⊆AC。
(2) 若 ( A C ) ′ ≠ ∅ (A^C)'\ne\emptyset (AC)′=∅,设 a ∈ ( A C ) ′ a\in (A^C)' a∈(AC)′,则由定理1知 ∀ ε > 0 \forall\varepsilon>0 ∀ε>0, U ˚ ( a , ε ) ∩ A C ≠ ∅ \mathring{U}(a,\varepsilon)\cap A^C\ne\emptyset U˚(a,ε)∩AC=∅。由内点的定义知 x ∉ A ∘ = A x\notin A^\circ=A x∈/A∘=A,即 x ∈ A C x\in A^C x∈AC,故 ( A C ) ′ ⊆ A C (A^C)'\subseteq A^C (AC)′⊆AC。
充分性:设 A C A^C AC是闭集,即 ( A C ) ′ ⊆ A C (A^C)'\subseteq A^C (AC)′⊆AC。为了证明 A A A是开集,只要证明 A ⊆ A ∘ A\subseteq A^\circ A⊆A∘。设 a ∈ A a\in A a∈A,则 a ∉ A C a\notin A^C a∈/AC。由于 ( A C ) ′ ⊆ A C (A^C)'\subseteq A^C (AC)′⊆AC,必有 a ∉ ( A C ) ′ a\notin (A^C)' a∈/(AC)′。根据定理1的否命题,必 ∃ δ 0 > 0 \exists\delta_0>0 ∃δ0>0,使得 U ˚ ( a , δ 0 ) ∩ A C = ∅ \mathring{U}(a,\delta_0)\cap A^C=\emptyset U˚(a,δ0)∩AC=∅,故 U ˚ ( a , δ 0 ) ⊆ A \mathring{U}(a,\delta_0)\subseteq A U˚(a,δ0)⊆A,又由 x ∈ A x\in A x∈A,知 x ∈ A ∘ x\in A^\circ x∈A∘,所以 A ⊆ A ∘ A\subseteq A^\circ A⊆A∘。∎
下面是我们要证明的结论。
定理3 设 A A A是 R n R^n Rn中的一个点集,则 A ˉ = A ∪ A ′ \bar{A}=A\cup A' Aˉ=A∪A′是闭集。
证明:由定理2我们知道,只要证明证明 A ˉ C \bar{A}^C AˉC为开集即可。任取 a ∈ R n a\in R^n a∈Rn,且 a ∉ A ˉ a\notin \bar{A} a∈/Aˉ。因此 a a a不属于 A A A,也不是 A A A的聚点( a ∉ A ′ a\notin A' a∈/A′)。因为 a a a不是 A A A的聚点,所以由定理1的否命题知存在 a a a的一个去心邻域 U ˚ ( a ) \mathring{U}(a) U˚(a)使得 U ˚ ( a ) ∩ A = ∅ \mathring{U}(a)\cap A=\emptyset U˚(a)∩A=∅。取 U ( a ) = U ˚ ( a ) ∪ { a } U(a)=\mathring{U}(a)\cup \{a\} U(a)=U˚(a)∪{a}。要证 A ˉ C \bar{A}^C AˉC为开集,只需证 U ( a ) ∩ A ˉ = ∅ U(a)\cap \bar{A}=\emptyset U(a)∩Aˉ=∅。而已经有 U ( a ) ∩ A = ∅ U(a)\cap A=\emptyset U(a)∩A=∅,且 A ˉ = A ∪ A ′ \bar{A}=A\cup A' Aˉ=A∪A′,故只需证 U ( a ) ∩ A ′ = ∅ U(a)\cap A'=\emptyset U(a)∩A′=∅,即 U ( a ) U(a) U(a)中没有 A A A的聚点。采用反证法。倘若 ∃ p ∈ U ( a ) \exists p\in U(a) ∃p∈U(a)且 p p p是 A A A的聚点,则根据定理1知 ∀ U ˚ ( p ) \forall\mathring{U}(p) ∀U˚(p)都有 U ˚ ( p ) ∩ A ≠ ∅ \mathring{U}(p)\cap A\ne\emptyset U˚(p)∩A=∅。根据引理知 U ( a ) U(a) U(a)为开集,即 ∃ U ( p , δ ) \exists U(p,\delta) ∃U(p,δ)使得 U ( p , δ ) ⊆ U ( a ) U(p,\delta)\subseteq U(a) U(p,δ)⊆U(a)。而又有 U ˚ ( p , δ ) ∩ A ≠ ∅ \mathring{U}(p,\delta)\cap A\ne\emptyset U˚(p,δ)∩A=∅,故 U ( p , δ ) ∩ A ≠ ∅ U(p,\delta)\cap A\ne\emptyset U(p,δ)∩A=∅,又 U ( p , δ ) ⊆ U ( a ) U(p,\delta)\subseteq U(a) U(p,δ)⊆U(a),因此 U ( a ) ∩ A ≠ ∅ U(a)\cap A\ne\emptyset U(a)∩A=∅,与 U ( a ) ∩ A = ∅ U(a)\cap A=\emptyset U(a)∩A=∅矛盾。因此 U ( a ) U(a) U(a)中没有 A A A的聚点, U ( a ) ∩ A ˉ = ∅ U(a)\cap \bar{A}=\emptyset U(a)∩Aˉ=∅。由于 a a a是任取的,根据开集的定义可知 A ˉ C \bar{A}^C AˉC是开集,所以 A ˉ \bar{A} Aˉ是闭集。∎
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