指数增长模型

指数增长模型：(exponential growth model) 指数模型是一个早就用于描述生物群体增长的简单模型。该模型假设在研究的时间范围内，只有生殖现象而没有死亡现象，而且生物群体可以获得无限的生长条件。又称Malthns方程(1798)。将指数方程用于描述病害的增长，其微分方程为： (4.1) 式中：x

Kylin-Xu

29434人浏览 · 2013-12-18 20:05:30

Kylin-Xu · 2013-12-18 20:05:30 发布

指数增长模型：(exponential growth model)

指数模型是一个早就用于描述生物群体增长的简单模型。该模型假设在研究的时间范围内，只有生殖现象而没有死亡现象，而且生物群体可以获得无限的生长条件。又称Malthns方程(1798)。将指数方程用于描述病害的增长，其微分方程为：

(4.1)

式中：x为病害数量；dx/dt为单位时间(日)新增病害数量；r_e是病害指数增长速率。方程经积分成指数式：

(4.2)

式中x₀为积分常数，这里代表t=0时的初始病情，x_t为经过t时间后的病情，r_e为指数增长率，e为自然对数的底(e=2.71828)。该方程如以x(纵座标)对t(横座标)作图，则相关曲线呈“J”字型。

在方程两边取对数，可以使方程（4.2）转化成直线方程：

(4.3)

以ln（x）对t作图，则直线的斜率为r_e，截距为ln(x₀)，r_e和ln(x₀) 可通过线性回归估计。通过田间调查，如知道初始病情x₀和t时的病情x_t，或t₂时的x₂和t₁时的x₁，则可将(4.3)式变换为(4.4)式，计算两个时间间隔的指数增长率re 。

指数模型的假设条件是：① 只考虑生殖率不考虑死亡率，对病害而言，只考虑新生病斑的发生，不考虑老病斑的消亡和报废；② 生物生存条件无限，群体可无限增大，对病害而言，可供侵染的寄主组织是无限的；③ 环境条件是稳定的，增长率不随时间而改变。实际上，可供侵染的寄主组织不可能无限，当病害数量不断增多，继续可侵染的寄主组织就逐渐减少，不考虑病害增长过程中自我抑制作用，是该模型最明显的不合理之处。所以，指数模型只能在发病初期(病害数量<0.05)，可供侵染的寄主组织很多，即自我抑制作用很小时才能应用，而病害数量上升后，只能应用逻辑斯蒂模型。

指数增长[编辑]

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该图说明了指数增长（绿色）如何超过线性增长（红色）和幂增长（蓝色）。

指数增长

线性增长

幂增长

指数增长（包括指数衰减）指一个函数的增长率与其函数值成比例。在定义域为离散的且等差的情况下，也称作几何增长或几何衰减（函数值是一个等比数列）。

指数增长模型也称作马尔萨斯增长模型。

基本公式[编辑]

变量x指数地依赖时间t，若

$x(t)=a\cdot b^{t/\tau}\,$

其中常数a是x的初始值,

$x(0)=a\, ,$

并且，常数b是正的增长率，τ为x增长b倍所需时间：

$x(t+\tau)=x(t)\cdot b\, .$

若τ > 0且b > 1，则x为指数增长。若τ < 0且b > 1，或τ > 0且0 < b < 1，则x为指数衰减。

微分方程[编辑]

指数函数 $\scriptstyle x(t)=ae^{kt}$ 满足线性微分方程：

$\!\, \frac{dx}{dt} = kx$

则称t时刻x的增长率与函数值x(t)成正比，且初值为：

$x(0)=a.\,$

对于 $\scriptstyle a>0$ 微分方程可以使用分离变量法求解：

$\frac{dx}{dt} = kx$

$\Rightarrow \frac{dx}{x} = k\, dt$

$\Rightarrow \int \frac{dx}{x} = \int k \, dt$

$\Rightarrow \ln x = kt + \text{constant}\, .$

考虑到给定初值：

$\ln x = kt + \ln a\,$

$\Rightarrow x = ae^{kt}\,$

这种解法对于 $\scriptstyle a\le0$ 同样适用。

对于该增长模型的非线性变体，请参考逻辑斯谛函数。

引用[编辑]

参考文献[编辑]

Meadows, Donella H., Dennis L. Meadows, Jørgen Randers, and William W. Behrens III. (1972) The Limits to Growth. New York: University Books. ISBN 0-87663-165-0
Porritt, J. Capitalism as if the world matters, Earthscan 2005. ISBN 1-84407-192-8
Thomson, David G. Blueprint to a Billion: 7 Essentials to Achieve Exponential Growth, Wiley Dec 2005, ISBN 0-471-74747-5
Tsirel, S. V. 2004. On the Possible Reasons for the Hyperexponential Growth of the Earth Population. Mathematical Modeling of Social and Economic Dynamics / Ed. by M. G. Dmitriev and A. P. Petrov, pp. 367–9. Moscow: Russian State Social University, 2004.