1矩阵左乘和右乘

从定义角度分析：
标量乘符合交换律导致“乘”和“乘以”的概念混用的锅。对比除法，a÷b是a“除以”b或b除a。那么AB是A经过B过程转换后的结果，就该是A“（的）右（边）乘以”B，即A左乘B。
同样：BA，称为A右乘B。1
从几何角度理解：
左乘结果是 向量旋转 之后相对于原坐标系的位置， 右乘是参考系旋转移动后，向量(并未移动)相对于新参考系的坐标。2

2内旋和外旋

每次旋转是绕固定轴（一个固定参考系，比如世界坐标系）旋转，称为外旋。3
每次旋转是绕自身旋转之后的轴旋转，称为内旋。
下图说明了内旋和外旋的区别。

假设绕XYZ三个轴旋转的角度分别为 $\alpha \beta \gamma$ ，则三次旋转的旋转矩阵计算方法如下：

$$\begin{array}{rl}& R_x(\alpha )=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0& \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right]\\ & R_y(\beta )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \beta & 0& \sin \beta \\ 0& 1& 0\\ -\sin \beta & 0& \cos \beta \end{array}\right]\\ & R_z(\gamma )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \gamma & -\sin \gamma & 0\\ \sin \gamma & \cos \gamma & \\ 0& 0& 1\end{array}\right]\end{array}$$
按照内旋方式，Z-Y-X旋转顺序（指先绕自身轴Z，再绕自身轴Y，最后绕自身轴X），可得旋转矩阵（内旋是右乘）：

$$R1=R_z(\gamma )\ast R_y(\beta )\ast R_x(\alpha )$$

按照外旋方式，X-Y-Z旋转顺序（指先绕固定轴X，再绕固定轴Y，最后绕固定轴Z），可得旋转矩阵（外旋是左乘）：

$$R2=R_z(\gamma )\ast R_y(\beta )\ast R_x(\alpha )$$
故R1=R2，具体不在此证明，记住即可。这个结论说明ZYX顺序的内旋等价于XYZ顺序的外旋
因此，可以得到如下结论：
内旋：绕自身坐标系旋转，右乘，坐标系(基底)在变换，列变换
外旋：绕固定坐标系旋转，左乘，坐标（向量）在变换，行变换
内旋和外旋影响三个轴的旋转矩阵相乘的顺序，不影响最终的旋转矩阵结果，并且最终利用旋转矩阵进行坐标转换时，通常采用左乘（因为通常将坐标写成列向量，对一个列向量来说只能左乘矩阵，对一个行向量来说只能右乘矩阵4）

3旋转矩阵为何左乘是相对固定坐标系，右乘是相对当前坐标系？

左乘对应坐标变换，右乘对应基底变换。更多解释：
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