GPS经纬度坐标WGS84到东北天坐标系ENU的转换
GPS经纬度坐标WGS84到东北天坐标系ENU的转换常用坐标系介绍地理坐标系 (Geographic Coordinate System, GCS)地心地固坐标系 (ECEF)当地东、北、上 (ENU) 坐标基坐标相互转化地理坐标系到地心地固坐标系 (GCS to ECEF)地心地固坐标系到东北天、站心坐标系 ECEF to ENU地理坐标系到东北天、站心坐标系(GCS to ENU)常用坐标系介
GPS经纬度坐标WGS84到东北天坐标系ENU的转换
常用坐标系介绍
地理坐标系 (Geographic Coordinate System, GCS)
可以说是最为广泛应用的一个地球坐标系，它给出一点的大地纬度、大地经度和大地高程而更加直观地告诉我们该点在地球中的位置，故又被称作纬经高坐标系。WGS-84坐标系的X轴指向BIH(国际时间服务机构)1984.0定义的零子午面(Greenwich)和协议地球极(CTP)赤道的交点。Z轴指向CTP方向。Y轴与X、Z轴构成右手坐标系。
一句话解释就是：把前面提到的ECEF坐标系用在GPS中，就是WGS-84坐标系。
其中：
（1）：大地纬度是过用户点P的基准椭球面法线与赤道面的夹角。纬度值在-90°到+90°之间。北半球为正，南半球为负。
（2）：大地经度是过用户点P的子午面与本初子午线之间的夹角。经度值在-180°到+180°之间。
（3）：大地高度h是过用户点P到基准椭球面的法线距离，基准椭球面以内为负，以外为正。
参考资料:地理信息系统中常用坐标系
地心地固坐标系 (ECEF)
在GPS中使用的被称为地球中心，地球固定(ECEF)。ECEF使用三维XYZ坐标(以米为单位)来描述GPS用户或卫星。“地球”这个词来自于坐标轴的原点(0,0,0)位于质心处(通过多年的跟踪卫星确定轨迹)。“地球固定”这个词意味着坐标轴相对于地球是固定的(也就是说，它们随地球旋转)。其 x 轴延伸通过本初子午线（经度 0 度）和赤道（0度纬度）。z 轴延伸穿过真正的北极（即与地球自转轴重合）。y 轴完成右手坐标系，穿过赤道和 90 度经度，如图 1所示
图1 ECEF直角坐标系
当地东、北、上 (ENU) 坐标
站心坐标系也叫东北天坐标系 ENU，用于表示以观察者为中心的其他物体
的运动规律。以站心为坐标系原点，z 轴与椭球法线重合，向上为正，y 与椭球
短半轴重合（北向），x 轴与椭球长半轴重合（东向）
基坐标相互转化
地理坐标系到地心地固坐标系 (GCS to ECEF)
这里因为地球近似为一个椭球,所以沿着椭球表面的法线方向不在
O
e
O_{e}
Oe与
M
M
M的连线方向,首先我们假设它的椭球表面的法线方向的反向延长线交
Z
Z
Z轴与于点
M
′
M{'}
M′,设
∣
P
Q
∣
=
N
,
∣
P
M
∣
=
h
|PQ|= N,|PM| = h
∣PQ∣=N,∣PM∣=h,
在
X
E
C
E
F
−
E
C
E
F
−
E
C
E
F
在X_{ECEF}-_{ECEF}-_{ECEF}
在XECEF−ECEF−ECEF基坐标系下,根据几何关系,M的坐标为
(
(
N
+
h
)
cos
(
φ
)
cos
(
λ
)
,
(
N
+
h
)
cos
(
φ
)
sin
(
λ
)
,
(
N
+
h
)
sin
(
φ
)
)
−
O
Q
)
\left((N+h)\cos \left(\varphi\right) \cos (\lambda), (N+h) \cos \left(\varphi\right) \sin (\lambda), (N+h) \sin \left(\varphi\right)\right)-OQ)
((N+h)cos(φ)cos(λ),(N+h)cos(φ)sin(λ),(N+h)sin(φ))−OQ)
然后我们将
M
M
M点所在的子午圈椭圆投影到一个二维的平面上,如下图所示,(gps的高度h不是与地心在一条直线上)
首先设p点所在的子午圈的方程设为
x
2
R
e
2
+
z
2
R
p
2
=
1
①
\tag*{①}\frac{x^{2}}{R_{e}^{2}}+\frac{z^{2}}{R_{p}^{2}}=1
Re2x2+Rp2z2=1① 椭圆的扁率定义为
f
=
R
e
−
R
p
R
e
f=\frac{R_{e}-R_{p}}{R_{e}}
f=ReRe−Rp 椭圆的离心率定义为
e
=
R
e
2
−
R
p
2
R
e
②
e=\tag*{②}\frac{\sqrt{R_{e}^{2}-R_{p}^{2}}}{R_{e}}
e=ReRe2−Rp2②由②式可得
R
p
=
R
e
1
−
e
2
③
\tag*{③}\ R_{p}=Re \sqrt{1-e^{2}}\,
Rp=Re1−e2③
将椭圆方程①两边同时对
x
x\,
x求导,并结合③式,可得
2
x
R
e
2
+
2
z
d
z
/
d
x
R
e
2
(
1
−
e
2
)
=
0
\frac{2 x}{R_{e}^{2}}+\frac{2 z \mathrm{~d} z / \mathrm{d} x}{R_{e}^{2}\left(1-e^{2}\right)}=0
Re22x+Re2(1−e2)2z dz/dx=0移项整理得
d
z
d
x
=
−
(
1
−
e
2
)
x
z
\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}=-\left(1-e^{2}\right) \frac{x}{z}
dxdz=−(1−e2)zx式中
d
z
d
x
\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}
dxdz表示椭圆在P点的切线的斜率,显然切线PE
⊥
\bot \,
⊥法线PQ,所以
K
P
E
K
P
Q
=
−
1
K_{PE} K_{PQ}=-1\,
KPEKPQ=−1,因为
P
Q
PQ
PQ的斜率为
tan
φ
\tan \varphi \,
tanφ,则
d
z
d
x
tan
φ
=
−
(
1
−
e
2
)
x
z
tan
φ
=
−
1
\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x} \tan \varphi =-\left(1-e^{2}\right) \frac{x}{z} \tan \varphi =-1\,
dxdztanφ=−(1−e2)zxtanφ=−1
整理可得
z
=
x
(
1
−
e
2
)
tan
φ
④
\tag*{④}z=x\left(1-e^{2}\right) \tan \varphi
z=x(1−e2)tanφ④
结合③④带入椭圆方程①中,可得到以地理纬度
φ
\varphi \,
φ的椭圆的参数方程
x
=
R
e
1
−
e
2
sin
2
φ
cos
φ
z
=
R
e
(
1
−
e
2
)
1
−
e
2
sin
2
φ
sin
φ
}
⑤
\tag*{⑤}\left.\begin{array}{l} x=\frac{R_{e}}{\sqrt{1-e^{2} \sin ^{2} \varphi}} \cos \varphi \\ z=\frac{R_{e}\left(1-e^{2}\right)}{\sqrt{1-e^{2} \sin ^{2} \varphi}} \sin \varphi \end{array}\right\}
x=1−e2sin2φRecosφz=1−e2sin2φRe(1−e2)sinφ⎭⎬⎫⑤
根据子午圈投影的图可得
x
=
N
c
o
s
φ
⑥
\tag*{⑥} x =N cos \varphi
x=Ncosφ⑥ 将⑤中的
x
x\,
x带入⑥式中
N
=
R
e
1
−
e
2
sin
2
φ
N =\frac{R_{e}}{\sqrt{1-e^{2} \sin ^{2} \varphi}}
N=1−e2sin2φRe
因此参数方程可以简写为
x
=
N
cos
φ
z
=
N
(
1
−
e
2
)
sin
φ
}
⑥
\tag*{⑥}\left.\begin{array}{l} x=N\cos \varphi \\ z=N\left(1-e^{2}\right) \sin \varphi \end{array}\right\}
x=Ncosφz=N(1−e2)sinφ}⑥
通过上面的椭圆参数方程⑥,结合投影到
2
D
平
面
上
的
Z
轴
与
E
C
E
F
的
Z
轴
2D平面上的Z轴与ECEF的Z轴
2D平面上的Z轴与ECEF的Z轴是同一个可得
M
M
M点的坐标系
z
M
=
N
(
1
−
e
2
)
sin
φ
+
h
s
i
n
φ
=
(
z_{M}=N\left(1-e^{2}\right) \sin \varphi + hsin \varphi =(
zM=N(1−e2)sinφ+hsinφ=(,结合之前所说的{ECEF坐标系下
P
P
P的坐标系为
(
(
N
+
h
)
cos
(
φ
)
cos
(
λ
)
,
(
N
+
h
)
cos
(
φ
)
sin
(
λ
)
,
(
N
+
h
)
sin
(
φ
)
)
−
O
Q
)
\left((N+h)\cos \left(\varphi\right) \cos (\lambda), (N+h) \cos \left(\varphi\right) \sin (\lambda), (N+h) \sin \left(\varphi\right)\right)-OQ)
((N+h)cos(φ)cos(λ),(N+h)cos(φ)sin(λ),(N+h)sin(φ))−OQ)
可以得出
x
M
=
(
N
+
h
)
c
o
s
(
φ
)
c
o
s
(
λ
)
x_{M} = (N+h)cos(φ)cos(λ)
xM=(N+h)cos(φ)cos(λ)
y
M
=
(
N
+
h
)
c
o
s
(
φ
)
s
i
n
(
λ
)
y_{M} = (N+h)cos(φ)sin(λ)
yM=(N+h)cos(φ)sin(λ)
z
M
=
(
b
2
a
2
N
+
h
)
sin
φ
z_{M} =\left(\frac{b^{2}}{a^{2}} N+h\right) \sin \varphi
zM=(a2b2N+h)sinφ
附上各参数的含义
φ
=
l
a
t
i
t
u
d
e
\varphi = latitude
φ=latitude
λ
=
l
o
n
g
i
t
u
d
e
\lambda = longitude
λ=longitude
h
=
h
e
i
g
h
t
a
b
o
v
e
e
l
l
i
p
s
o
i
d
(
m
e
t
e
r
s
)
h = height above ellipsoid (meters)
h=heightaboveellipsoid(meters)
N
=
R
a
d
i
u
s
o
f
C
u
r
v
a
t
u
r
e
(
m
e
t
e
r
s
)
,
d
e
f
i
n
e
d
a
s
:
a
1
−
e
2
sin
2
φ
N = Radius of Curvature (meters), defined as:\frac{a}{\sqrt{1-e^{2} \sin ^{2} \varphi}}
N=RadiusofCurvature(meters),definedas:1−e2sin2φa,这里的a就是我们上面推导公式的
R
e
R_{e}
Re,详细的参考
⑥
⑥
⑥下面的推导.
WGS84 Parameters
a
=
6378137
a = 6378137
a=6378137(椭圆的长半轴)这里表示赤道椭圆的长半轴
b
=
a
(
1
−
f
)
=
6356752.31424518
b = a (1 -f ) = 6356752.31424518
b=a(1−f)=6356752.31424518
f
=
1
298.257223563
f =\frac{1}{298.257223563}\,
f=298.2572235631
e
=
a
2
−
b
2
a
2
e=\frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a^{2}}
e=a2a2−b2详细含义参照②
我们把
M
M
M点放大,来说说gps的高度
高度
h
,
h \,,
h,gps ,
的
的
的altitude,(从上面图中可知gps的测量高度是GPS天线与参考椭球面的垂直距离,WGS84椭球面在世界范围内近似大地水准面),地球的长半轴
a
a
a与短半轴
b
b
b是已知的,然后地理纬度
φ
\varphi \,
φ也是已知的,所以M点在
E
C
E
F
ECEF
ECEF坐标系下已知.
地心地固坐标系到东北天、站心坐标系 ECEF to ENU
这里采用几何意义的方式来讲这个转化关系,这里为了直观,我们在p点画ENU坐标系
因为
E
a
s
t
(
x
L
o
c
a
l
)
East(x Local)
East(xLocal)的方向与M点所在的子午线(P点子午线)垂直,所以我们首先把绕着
Z
E
C
E
F
Z_{ECEF}
ZECEF旋转至
X
E
C
E
F
X_{ECEF}
XECEF与
E
a
s
t
(
x
L
o
c
a
l
)
East(x Local)
East(xLocal)的方向一致①
E
C
E
F
坐
标
系
ECEF坐标系
ECEF坐标系绕着
Z
E
C
E
F
Z_{ECEF}
ZECEF逆时针旋转
(
π
2
+
λ
)
(\frac{π}{2} + \lambda)
(2π+λ),然后绕着
X
E
C
E
F
X_{ECEF}
XECEF旋转至
Z
E
C
E
F
Z_{ECEF}
ZECEF与
U
p
(
Z
L
o
c
a
l
)
Up(Z Local)
Up(ZLocal)方向一致②绕着
X
E
C
E
F
X_{ECEF}
XECEF逆时针旋转
(
π
2
−
φ
)
(\frac{π}{2} - \varphi)
(2π−φ)③平移的部分就是之前LLA转到ECEF坐标系下的
M
M
M的坐标
R
z
e
c
e
f
[
(
π
2
+
λ
)
]
=
(
cos
[
(
π
2
+
λ
)
]
sin
[
(
π
2
+
λ
)
]
0
−
sin
[
(
π
2
+
λ
)
]
cos
[
(
π
2
+
λ
)
]
0
0
0
1
)
R_{z_{ecef}}[(\frac{π}{2} + \lambda)]=\left(\begin{array}{ccc}\cos [(\frac{π}{2} + \lambda)] & \sin [(\frac{π}{2} + \lambda)] & 0 \\ -\sin [(\frac{π}{2} + \lambda)] & \cos [(\frac{π}{2} + \lambda)] & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)
Rzecef[(2π+λ)]=⎝⎛cos[(2π+λ)]−sin[(2π+λ)]0sin[(2π+λ)]cos[(2π+λ)]0001⎠⎞
R x e c e f [ ( π 2 − φ ) ] = [ 1 0 0 0 cos [ ( π 2 − φ ) ] sin [ ( π 2 − φ ) ] 0 − sin [ ( π 2 − φ ) ] cos [ ( π 2 − φ ) ] ] R_{x_{ecef}}[(\frac{π}{2} - \varphi)]=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos [(\frac{π}{2} - \varphi)] & \sin [(\frac{π}{2} - \varphi)] \\ 0 & -\sin [(\frac{π}{2} - \varphi)] & \cos [(\frac{π}{2} - \varphi)] \end{array}\right] Rxecef[(2π−φ)]=⎣⎡1000cos[(2π−φ)]−sin[(2π−φ)]0sin[(2π−φ)]cos[(2π−φ)]⎦⎤
R x e c e f [ ( π 2 − φ ) ] R z e c e f [ ( π 2 + λ ) ] = ( − sin λ cos λ 0 − cos λ sin φ − sin λ sin φ cos φ cos λ cos φ sin λ cos φ sin φ ) R_{x_{ecef}}[(\frac{π}{2} - \varphi)] \, R_{z_{ecef}}[(\frac{π}{2} + \lambda)] = \left(\begin{array}{ccc} -\sin \lambda & \cos \lambda & 0 \\ -\cos \lambda \sin \varphi & -\sin \lambda \sin \varphi & \cos \varphi \\ \cos \lambda \cos \varphi & \sin \lambda \cos \varphi & \sin \varphi \end{array}\right) Rxecef[(2π−φ)]Rzecef[(2π+λ)]=⎝⎛−sinλ−cosλsinφcosλcosφcosλ−sinλsinφsinλcosφ0cosφsinφ⎠⎞
在车辆运动中,我们一般车辆启动假设gps天线的初始位置在
{
X
r
,
Y
r
,
Z
r
}
\left\{X_{r}, Y_{r}, Z_{r}\right\}
{Xr,Yr,Zr},车辆运动的位置为
{
X
p
,
Y
p
,
Z
p
}
\left\{X_{p}, Y_{p}, Z_{p}\right\}
{Xp,Yp,Zp},则基于启动为原点的ENU的坐标为:
[
x
y
z
]
=
[
−
sin
λ
cos
λ
0
−
cos
λ
sin
φ
−
sin
λ
sin
φ
cos
φ
cos
λ
cos
φ
sin
λ
cos
φ
sin
φ
]
[
X
p
−
X
r
Y
p
−
Y
r
Z
p
−
Z
r
]
\left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} -\sin \lambda & \cos \lambda & 0 \\ -\cos \lambda \sin \varphi & -\sin \lambda \sin \varphi & \cos \varphi \\ \cos \lambda \cos \varphi & \sin \lambda \cos \varphi & \sin \varphi \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} X_{p}-X_{r} \\ Y_{p}-Y_{r} \\ Z_{p}-Z_{r} \end{array}\right]
⎣⎡xyz⎦⎤=⎣⎡−sinλ−cosλsinφcosλcosφcosλ−sinλsinφsinλcosφ0cosφsinφ⎦⎤⎣⎡Xp−XrYp−YrZp−Zr⎦⎤
这里讲的也很好
地理坐标系到东北天、站心坐标系(GCS to ENU)
GCS和ENU之间的坐标系转换通过先转换为ECEF实现。
代码有时间再放上来吧
腾讯云面向开发者汇聚海量精品云计算使用和开发经验，营造开放的云计算技术生态圈。
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