常用坐标系介绍

地理坐标系 (Geographic Coordinate System, GCS)

可以说是最为广泛应用的一个地球坐标系，它给出一点的大地纬度、大地经度和大地高程而更加直观地告诉我们该点在地球中的位置，故又被称作纬经高坐标系。WGS-84坐标系的X轴指向BIH(国际时间服务机构)1984.0定义的零子午面(Greenwich)和协议地球极(CTP)赤道的交点。Z轴指向CTP方向。Y轴与X、Z轴构成右手坐标系。

一句话解释就是：把前面提到的ECEF坐标系用在GPS中，就是WGS-84坐标系。

其中：
（1）：大地纬度是过用户点P的基准椭球面法线与赤道面的夹角。纬度值在-90°到+90°之间。北半球为正，南半球为负。
（2）：大地经度是过用户点P的子午面与本初子午线之间的夹角。经度值在-180°到+180°之间。
（3）：大地高度h是过用户点P到基准椭球面的法线距离，基准椭球面以内为负，以外为正。

参考资料:地理信息系统中常用坐标系

地心地固坐标系 (ECEF)

在GPS中使用的被称为地球中心，地球固定(ECEF)。ECEF使用三维XYZ坐标(以米为单位)来描述GPS用户或卫星。“地球”这个词来自于坐标轴的原点(0,0,0)位于质心处(通过多年的跟踪卫星确定轨迹)。“地球固定”这个词意味着坐标轴相对于地球是固定的(也就是说，它们随地球旋转)。其 x 轴延伸通过本初子午线（经度 0 度）和赤道（0度纬度）。z 轴延伸穿过真正的北极（即与地球自转轴重合）。y 轴完成右手坐标系，穿过赤道和 90 度经度，如图 1所示

图1 ECEF直角坐标系

当地东、北、上 (ENU) 坐标

站心坐标系也叫东北天坐标系 ENU，用于表示以观察者为中心的其他物体
的运动规律。以站心为坐标系原点，z 轴与椭球法线重合，向上为正，y 与椭球
短半轴重合（北向），x 轴与椭球长半轴重合（东向）

基坐标相互转化

地理坐标系到地心地固坐标系 (GCS to ECEF)

这里因为地球近似为一个椭球,所以沿着椭球表面的法线方向不在$O_e$与$M$的连线方向,首先我们假设它的椭球表面的法线方向的反向延长线交$Z$轴与于点$M{}^{\prime }$,设$|PQ|=N,|PM|=h$,$在X_{ECEF}{-}_{ECEF}{-}_{ECEF}$基坐标系下,根据几何关系,M的坐标为
$\left((N+h)\cos \left(\phi \right)\cos (\lambda ),(N+h)\cos \left(\phi \right)\sin (\lambda ),(N+h)\sin \left(\phi \right)\right)-OQ)$

然后我们将$M$点所在的子午圈椭圆投影到一个二维的平面上,如下图所示,(gps的高度h不是与地心在一条直线上)

首先设p点所在的子午圈的方程设为
$$\frac{x^2}{R_e^2}+\frac{z^2}{R_p^2}=1\text{\hspace{1em}①}$$ 椭圆的扁率定义为
$$f=\frac{R_e-R_p}{R_e}$$ 椭圆的离心率定义为
$$e=\frac{\sqrt{R_e^2-R_p^2}}{R_e}\text{\hspace{1em}②}$$由②式可得$$R_p=Re\sqrt{1-e^2}\text{\hspace{1em}③}$$
将椭圆方程①两边同时对$x$求导,并结合③式,可得$$\frac{2x}{R_e^2}+\frac{2z\mathrm{d}z/\mathrm{d}x}{R_e^2\left(1-e^2\right)}=0$$移项整理得$$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=-\left(1-e^2\right)\frac{x}{z}$$式中$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}$表示椭圆在P点的切线的斜率,显然切线PE$\perp$法线PQ,所以$K_{PE}{K}_{PQ}=-1$,因为$PQ$的斜率为$\tan \phi$,则
$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}\tan \phi =-\left(1-e^2\right)\frac{x}{z}\tan \phi =-1$
整理可得$$z=x\left(1-e^2\right)\tan \phi \text{\hspace{1em}④}$$
结合③④带入椭圆方程①中,可得到以地理纬度$\phi$的椭圆的参数方程$$\begin{array}{l}x=\frac{R_e}{\sqrt{1-e^2{\sin }^2\phi }}\cos \phi \\ z=\frac{R_e\left(1-e^2\right)}{\sqrt{1-e^2{\sin }^2\phi }}\sin \phi \end{array}\}\text{\hspace{1em}⑤}$$
根据子午圈投影的图可得$$x=Ncos\phi \text{\hspace{1em}⑥}$$ 将⑤中的$x$带入⑥式中$$N=\frac{R_e}{\sqrt{1-e^2{\sin }^2\phi }}$$
因此参数方程可以简写为$$\begin{array}{l}x=N\cos \phi \\ z=N\left(1-e^2\right)\sin \phi \end{array}\}\text{\hspace{1em}⑥}$$
通过上面的椭圆参数方程⑥,结合投影到$2D平面上的Z轴与ECEF的Z轴$是同一个可得$M$点的坐标系$z_M=N\left(1-e^2\right)\sin \phi +hsin\phi =($,结合之前所说的{ECEF坐标系下$P$的坐标系为$$\left((N+h)\cos \left(\phi \right)\cos (\lambda ),(N+h)\cos \left(\phi \right)\sin (\lambda ),(N+h)\sin \left(\phi \right)\right)-OQ)$$
可以得出
$x_M=(N+h)cos(\phi )cos(\lambda )$
$y_M=(N+h)cos(\phi )sin(\lambda )$
$z_M=\left(\frac{b^2}{a^2}N+h\right)\sin \phi$

附上各参数的含义
$\phi =latitude$
$\lambda =longitude$
$h=heightaboveellipsoid(meters)$
$N=RadiusofCurvature(meters),definedas:\frac{a}{\sqrt{1-e^2{\sin }^2\phi }}$,这里的a就是我们上面推导公式的$R_e$,详细的参考$⑥$下面的推导.

WGS84 Parameters
$a=6378137$(椭圆的长半轴)这里表示赤道椭圆的长半轴
$b=a(1-f)=6356752.31424518$
$f=\frac{1}{298.257223563}$
$e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a^2}$详细含义参照②

我们把$M$点放大,来说说gps的高度

高度$h,$gps ,$的$altitude,(从上面图中可知gps的测量高度是GPS天线与参考椭球面的垂直距离,WGS84椭球面在世界范围内近似大地水准面),地球的长半轴$a$与短半轴$b$是已知的,然后地理纬度$\phi$也是已知的,所以M点在$ECEF$坐标系下已知.

地心地固坐标系到东北天、站心坐标系 ECEF to ENU

这里采用几何意义的方式来讲这个转化关系,这里为了直观,我们在p点画ENU坐标系
因为$East(xLocal)$的方向与M点所在的子午线(P点子午线)垂直,所以我们首先把绕着$Z_{ECEF}$旋转至$X_{ECEF}$与$East(xLocal)$的方向一致①$ECEF坐标系$绕着$Z_{ECEF}$逆时针旋转$(\frac{\pi }{2}+\lambda )$,然后绕着$X_{ECEF}$旋转至$Z_{ECEF}$与$Up(ZLocal)$方向一致②绕着$X_{ECEF}$逆时针旋转$(\frac{\pi }{2}-\phi )$③平移的部分就是之前LLA转到ECEF坐标系下的$M$的坐标
$R_{z_{ecef}}[(\frac{\pi }{2}+\lambda )]=\left(\begin{array}{ccc}\cos [(\frac{\pi }{2}+\lambda )]& \sin [(\frac{\pi }{2}+\lambda )]& 0\\ -\sin [(\frac{\pi }{2}+\lambda )]& \cos [(\frac{\pi }{2}+\lambda )]& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

$R_{x_{ecef}}[(\frac{\pi }{2}-\phi )]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos [(\frac{\pi }{2}-\phi )]& \sin [(\frac{\pi }{2}-\phi )]\\ 0& -\sin [(\frac{\pi }{2}-\phi )]& \cos [(\frac{\pi }{2}-\phi )]\end{array}\right]$

$R_{x_{ecef}}[(\frac{\pi }{2}-\phi )]R_{z_{ecef}}[(\frac{\pi }{2}+\lambda )]=\left(\begin{array}{ccc}-\sin \lambda & \cos \lambda & 0\\ -\cos \lambda \sin \phi & -\sin \lambda \sin \phi & \cos \phi \\ \cos \lambda \cos \phi & \sin \lambda \cos \phi & \sin \phi \end{array}\right)$

在车辆运动中,我们一般车辆启动假设gps天线的初始位置在 { X r , Y r , Z r } \left\{X_{r}, Y_{r}, Z_{r}\right\} {Xr​,Yr​,Zr​},车辆运动的位置为 { X p , Y p , Z p } \left\{X_{p}, Y_{p}, Z_{p}\right\} {Xp​,Yp​,Zp​},则基于启动为原点的ENU的坐标为:
$\left[\begin{array}{l}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-\sin \lambda & \cos \lambda & 0\\ -\cos \lambda \sin \phi & -\sin \lambda \sin \phi & \cos \phi \\ \cos \lambda \cos \phi & \sin \lambda \cos \phi & \sin \phi \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X}_p-X_r\\ Y_p-Y_r\\ Z_p-Z_r\end{array}\right]$
这里讲的也很好

地理坐标系到东北天、站心坐标系(GCS to ENU)

GCS和ENU之间的坐标系转换通过先转换为ECEF实现。
代码有时间再放上来吧