豪斯多夫距离（Hausdorff distance）

引言

当谈到距离时，我们通常指的是最短的距离：例如，如果说一个点$X$距离多边形$P$的距离为$D$，我们通常假设$D$是$X$到$P$的最近点的距离。

同样的逻辑也适用于两个多边形：对于两个多边形$A$和$B$，我们通常将它们的距离理解为$A$的任意点和$B$的任意点之间的最短距离。形式上，这称为minimin 函数，因为$A$和$B$之间的距离$D$由下式给出：

这个等式用计算机程序表达：对于$A$的每个点$a$，找出它到$B$的任何点$b$的最小距离；最后，取其中的最小者。

这样的距离定义是有不足的：

（1）最短距离没有考虑到多边形的整个形状

考虑图1中两个三角形的最短距离，由等式1可知这两个三角形非常接近。它们的距离由它们的红色顶点决定。

但是，从图中我们可以观察到两个多边形并不相近，因为它们的最远点（以蓝色显示）实际上离另一个多边形很远。

两个多边形之间的距离很小，应该意味着一个多边形的任何一点都离另一个多边形不远。

（2）最短距离没考虑对象的位置

在图2中，有两个与图1相同的三角形，只是位置不同。根据等式1，却可以得到它们的最短距离与图1的相同。

下面，我们将介绍Hausdorff距离，它能够考虑到这些问题。

Hausdorff距离

Hausdorff距离以Felix Hausdorff（1868-1942）命名的，是一个集合到另一个集合中最近点的最大距离。更正式地说，从集合$A$到集合$B$的Hausdorff距离是一个maximin函数，定义为

其中$a$和$b$分别是集合$A$和$B$的点，$d(a,b)$是这些点之间的任何度量；例如欧几里得距离。

例： 给定两个点集$A$和$B$，求它们的Hausdorff距离$h(A,B)$

1 计算$a_1$和$b_1,b_2,b_3$的距离$d_{11},d_{12},d_{13}$

2 保留最短的一个$d_{11}$

3 计算$a_2$和$b_1,b_2,b_3$的距离$d_{21},d_{22},d_{23}$

4 保留最短的一个$d_{23}$

5 $d_{11}$和$d_{23}$中最大者即为Hausdorff距离$h(A,B)=d(a_1,b_1)$：

6 我们可以得到$A$中的任意点到$B$部分点的距离，至多为$h(A,B)$

暴力求解法：

1.  h = 0
2.  for every point ai of A,
      2.1  shortest = Inf ;
      2.2  for every point bj of B
                    dij = d (ai , bj )
                    if dij < shortest then
                              shortest = dij
      2.3  if shortest > h then
                    h = shortest

应该注意的是，Hausdorff距离是定向的（或者说不对称的），这意味着大多数情况$h(A,B)$不等于$h(B,A)$。

例如，在上述例子中，$h(A,B)=d(a_1,b_1)$，而$h(A,B)=d(b_2,a_1)$。

这种不对称性是maximin函数的一个性质，而引言中minimin函数则是对称的。

Hausdorff距离的更一般定义是：

它定义了$A$和$B$之间的Hausdorff距离，而等式2只是从$A$到$B$的Hausdorff距离（也称为有向Hausdorff距离）。$h(A,B)$和$h(B,A)$有时被称为$A$到$B$的前向和反向Hausdorff距离。术语很多，但除非另有说明，否则在谈论Hausdorff距离时，都是指等式3。

如果集合$A$和集合$B$是直线或多边形，则$H(A,B)$将应用于这些直线或多边形的所有定义点，而不仅仅应用于其顶点。

回到引言中提到的最短距离的两个缺点。

（1）最短距离没有考虑到多边形整个形状

图四为以每个三角形的最远顶点为圆心，画出半径为$H(P1,P2)$的圆。可以看到Hausdorff距离能考虑到多边形的所有其他点。

（2）最短距离没考虑对象的位置

从图5我们看到，Hausdorff距离对位置是敏感的。位置不同，得到的距离值也不同。

参考：
http://cgm.cs.mcgill.ca/~godfried/teaching/cg-projects/98/normand/main.html