DFS——深度优先搜索

深度优先搜索，是一种常用的图遍历算法，用于在图或树数据结构中遍历所有节点。

cc121512

3192人浏览 · 2024-01-20 20:55:06

cc121512 · 2024-01-20 20:55:06 发布

一.DFS的概念

DFS的定义

DFS（Depth-First Search）深度优先搜索，是一种常用的图遍历算法，用于在图或树数据结构中遍历所有节点。

DFS的搜索方式

深度优先搜索从一个起始节点开始，沿着一条路径尽可能远地访问节点，直到到达不能继续前进的节点，然后返回上一层继续探索其他路径。这个过程是递归的，通过不断地深入进入节点的子节点，直到遍历完整个图。

DFS采用的数据结构

深度优先搜索使用栈（Stack）数据结构来保存需要探索的节点。每次访问一个节点时，将其标记为已访问，并将其未访问的邻居节点压入栈中。然后从栈中弹出一个节点，继续访问该节点的未访问邻居节点，直到栈为空。

DFS的特点

DFS不保证找到最短路径。因为它首先沿着一条路径尽可能远地深入。如果需要找到最短路径，可以考虑使用其他算法，如广度优先搜索（BFS）或 Dijkstra 算法。一般最小步数、最短距离、最小操作次数等问题采用BFS。思路奇怪或是对空间要求高的使用深度优先搜索（DFS）。

二.DFS的应用

递归函数代码形式

函数类型 函数名(形式参数):
	if（边界条件）
		边界处理
	else
		递推算法

1、斐波那契数列

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ...
已知前两项为1，之后每一项等于前两项之和。
现输入n，请输出兔子数列的第n项。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f(int n){
	if(n==1 || n==2)
		return 1;
	else	
		return f(n-1)+f(n-2);
}
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	cout<<f(n);
	return 0;
}

2、用递归法求n!的值

1 ( n = 0）

F(n)=

n ∗ F( n − 1) （n > 0）

本题的递推公式为 fac( n ) = fac( n−1 ) ∗ n，边界条件为 fac( 0 ) = 1。

求解过程如下：

fac(4)

=4 ∗ fac(3)

=4 ∗ (3 ∗ fac(2))

=4 ∗ ( 3 ∗ ( 2 ∗ fac(1)))

=4 ∗ (3 ∗ ( 2 ∗ (1 ∗ fac(0))))

=4 ∗ ( 3 ∗ ( 2 ∗ ( 1∗1)))

题解：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long f(long long n){
	if(n==1)
		return 1;
	else
		return n*f(n-1);
}
int main(){
	long long n;
	cin>>n;
	cout<<f(n);
	return 0;
}

3、用递归求1+2+3+...+n的值

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f(int n){
	if(n==1)
		return 1;
	else
		return n+f(n-1);
}
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	cout<<f(n);
	return 0;
}

4、输入两个数，求最大公约数

根据上文中所讲的辗转相除法可得公式如下：

( a % b = 0 )
g c d ( a , b ) =

g c d ( b , a % b ) （ a % b ≠ 0 ）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f(int n,int m){
	if(n%m==0)
		return m;
	else
		return f(m,n%m); 
}
int main(){
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	cout<<f(n,m);
	return 0;
}

5、跳台阶

花果山上有一洞，小猴每次采取跳1阶或者跳3阶的办法从山下跳跃上台阶进洞，编程输入台阶数，输出有多少种不同的跳法。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f(int n){
	if(n==0 || n==1 || n==2)
		return 1;
	else
		return f(n-1)+f(n-3); 
}
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	cout<<f(n);
	return 0;
}

6、输出全排列

给定N，按照字典序输出所有的N排列
输入样例：
3
输出样例：
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;	
int a[10001];
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=0;i<=n-1;i++)
		cin >> a[i];
	do{
		for (int i=0;i<=n-1;i++) 
			cout<<a[i]<<" ";
		cout<<endl;
	}while (next_permutation(a, a + n)); 
	return 0;
}

7、n皇后问题

在N*N（N<=10）的棋盘上放置N个皇后，使得他们不能相互攻击。两个皇后能相互攻击当且仅当他们在同一行，或者同一列，或者同一对角线上。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int a[101];
void f(int k);
int main(){
	cin>>n;
	f(0); 
	return 0;
} 
void f(int k){
	int i,j;
	if(k==n){
		for(i=0;i<=n-1;i++){
			cout<<a[i]<<" ";
		}
		cout<<endl;
		return;
	}
	for(i=0;i<=n-1;i++){  
		for(j=0;j<=k-1;j++){ 
			if(a[j]==i || abs(a[j]-i)==abs(j-k)){
				break;
			}
		}
		if(j==k){ 
			a[k] = i;
			f(k+1);
		}
	}
}

8、确定进制

6*9=42对于十进制来说是错误的，但是对于13进制来说是正确的，即6(13)*9(13)=42(13)
现读入三个整数p q r，然后确定一个进制，使得 p *q =r
输入样例：
6 9 42
输出样例：
13

9、最大连续子序列和

给定一个长度为n的序列，求该序列的最大连续子序列和。（n<=100000，|元素值|<=1000）
输入样例：
10
2 5 -3 4 -9 -2 6 1 -8 7
输出样例：
8

10、最大子矩阵

已知矩阵的大小等于矩阵中所有元素的和，给定一个nn（n<=300）的矩阵，找到该矩阵的最大非空子矩阵（大小至少为11）。
输入样例：
4
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
输出样例：
15

11、素数环

从1~20一共20个数摆成一个环，要求相邻两个数的和是一个素数。输出一个合法答案。
无输入
输出样例：
一行，20个数，表示一个合法解。

12、汉诺塔

Hanoi塔由n个大小不同的圆盘和三根木柱a,b,c组成。开始时，这n个圆盘由大到小依次套在a柱上，如图所示。

要求把a柱上n个圆盘按下述规则移到c柱上：
　　(1)一次只能移一个圆盘；
　　(2)圆盘只能在三个柱上存放；
　　(3)在移动过程中，不允许大盘压小盘。
问将这n个盘子从a柱移动到c柱上，总计需要移动多少个盘次？

【问题解答】

解：设Hn为n个盘子从a柱移到c柱所需移动的盘次。

当n=1时，只需把a 柱上的盘子直接移动到c柱就可以了，故:H1=1。

当n=2时，先将a柱上面的小盘子移动到b柱上去，然后将大盘子从a柱移到c柱,最后，将b柱上的小盘子移到c柱上，共记3个盘次，故：H2=3。

以此类推，当a柱上有n(n>=2)个盘子时，总是先借助c柱把上面的n-1个盘子移动到b柱上，然后把a柱最下面的盘子移动到c柱上，再借助a柱把b柱上的n-1个盘子移动到c柱上，总共移动H(n-1)+1+H(n-1)个盘次。

∴Hn=2H(n-1)+1，边界条件：H1=1

【递归实现】

#include<stdio.h>
void move(int n, char x, char y, char z){//将n个圆盘从x柱子上借助y柱子移动到z柱子上
     if(n == 1)
     	printf("圆盘编号 %d :从 %c 移动到 %c\n",n,x,z);
     else{
         move(n-1,x,z,y);
         printf("圆盘编号 %d:从 %c 移动到 %c\n",n,x,z);
         move(n-1,y,x,z);
      }
 }
int main(){
    int n;//n代表圆盘的个数
    /*A,B,C分别代表三个柱子*/
    char ch1 = 'A';
    char ch2 = 'B';
    char ch3 = 'C';
    printf("请输入圆盘的个数：");
    scanf("%d",&n);
    move(n,ch1,ch2,ch3);
    return 0;
}

【递推实现】

#include<stdio.h>
int ct=1;//记录步数,在步骤中输出
void move(int n,char from,char to){
    printf("第 %2d 步：把第 %d 个盘子：  %c >>>>>>> %c\n",ct++,n,from,to);
}
int hanoi(int n){//输出步数：
    int cnt=2,ans=1;
    if(n == 1)
        return 1;
    else
        return 2* hanoi(n-1) +1;
}
void hanoi_tower(int n,char x,char y, char z){//输出步骤
    if(n==1)
        move(1,x,z);
    else{
        hanoi_tower(n-1,x,z,y);
        move(n,x,z);
        hanoi_tower(n-1,y,x,z);
    }
}
int main(){
    int n;//盘子个数
    printf("输入盘子个数:\n");
    scanf("%d",&n);
    char x = 'A',y = 'B',z = 'C';
    int t = hanoi(n);
    printf("一共需要%2d步。\n",t);
    hanoi_tower(n,x,y,z);
    return 0;
}