只含幂函数：

0+∞1𝑥+𝑥3𝑑𝑥

判断瑕点，x→∞和x→0+，然后将原式拆分为01+1+∞，

X→∞时， 1𝑥+𝑥3 ~ 1𝑥32 （此处为等价无穷大，对于无穷大来说，低阶加高阶等价于高阶），说明这两个函数同敛散，而0+∞1𝑥32𝑑𝑥根据P积分收敛，故1+∞1𝑥+𝑥3𝑑𝑥收敛。

X→0+时， 1𝑥+𝑥3 ~ 1𝑥12 （此处为等价无穷小，对于无穷小来说，低阶加高阶等价于低阶），说明这两个函数同敛散，而1+∞1𝑥12𝑑𝑥根据Q积分收敛收敛，故1+∞1𝑥+𝑥3𝑑𝑥收敛。

收敛+收敛=收敛

1+∞1𝑥𝑥2−1𝑑𝑥

判断瑕点，x→+∞和x→1+,0不在区间范围内不用取，然后将原式拆分为12+2+∞，

X→+∞时， 1𝑥𝑥2−1 ~ 1𝑥2，说明这两个函数同敛散，而2+∞1𝑥2𝑑𝑥根据P积分收敛，故2+∞1𝑥𝑥2−1𝑑𝑥收敛。

X→1+时， 1𝑥𝑥2−1~ 12x−1，说明这两个函数同敛散，而121x−1𝑑𝑥根据Q积分收敛收敛，故121𝑥𝑥2−1𝑑𝑥收敛。

收敛+收敛=收敛

021𝑥1−𝑥𝑑𝑥

判断瑕点，x→1和x→0+， 将原式拆分为012+122

X→1时， 1𝑥1−𝑥~ 11−1+𝑥−1~ 1−12𝑥−1~ 1𝑥−1，说明这两个函数同敛散，而1221𝑥−1𝑑𝑥根据Q积分发散

X→0+时， 1𝑥1−𝑥~ 1x，说明这两个函数同敛散，而0121x𝑑𝑥根据Q积分收敛

发散+收敛=发散

−∞+∞𝑥1+𝑥2𝑑𝑥

判断瑕点，x→+∞和x→−∞，将原式拆分为−∞0+0+∞

X→+∞时， 𝑥1+𝑥2~ 1𝑥，说明这两个函数同敛散，而0+∞1𝑥𝑑𝑥根据Q积分发散

X→−∞时， 𝑥1+𝑥2~ 1𝑥，说明这两个函数同敛散，而−∞01𝑥𝑑𝑥根据Q积分发散

发散+发散=发散（同一个积分区间两个不同被积函数相加时，发散+发散=不确定；同一被积函数两个不同积分区间相加时，发散+发散=发散）

0+∞𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥𝑥2𝑑𝑥

判断瑕点，x→+∞和x→0+， 将原式拆分为01+1+∞

X→+∞时， 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥𝑥2~ 𝛱2𝑥2，说明这两个函数同敛散，而011𝑥2𝑑𝑥根据Q积分收敛

X→0+时， 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥𝑥2~ 1x，说明这两个函数同敛散，而1+∞1𝑥𝑑𝑥根据P积分发散

收敛+发散=发散

含指数函数𝒆𝒙：

0+∞1𝑒x−1𝑑𝑥

判断瑕点，x→+∞和x→0+， 将原式拆分为01+1+∞

X→+∞时， 1𝑒x−1~ 1𝑒x, 趋于无穷的速度是指数函数大于幂函数大于对数函数

, f(x)越小越收敛，所以1+∞1𝑒x−1𝑑𝑥收敛

X→0+时， 1𝑒x−1~ 1x，这两个函数同敛散，而011𝑥𝑑𝑥根据Q积分发散

收敛+发散=发散

−∞+∞𝑥2𝑒−𝑥2𝑑𝑥

判断瑕点，x→−∞和x→−∞，由于在此函数为偶函数，所以可以不区分正负，𝑥2𝑒−𝑥2判断方法同上题，f(x)越小越收敛，指数函数在分母趋于无穷的速度比分子的𝑥2快，所以−∞+∞𝑥2𝑒−𝑥2𝑑𝑥收敛

 

−∞+∞1𝑥2𝑒1x𝑑𝑥

判断瑕点，x→+∞和x→−∞和x→0，

X→+∞时，1𝑥2𝑒1x~1𝑥2，收敛

X→−∞时，1𝑥2𝑒1x~1𝑥2，收敛

X→0+时，1𝑥2𝑒1x~+∞，发散

X→0−时，1𝑥2𝑒1x~0，此时是零比零型，指数趋于0的速度比幂函数快，所以收敛，记住指数干什么都快

含对数函数lnx：

反常积分判断敛散性，本质上就是在比大小，总原则就是越小越可能收敛，越大越可能发散，𝑙𝑛𝑥𝑎中无论x是趋向于+∞还是趋向于0+, 𝑙𝑛𝑥𝑎都→∞，fx𝑙𝑛𝑥𝑎就会变得更加可能发散，fx𝑙𝑛𝑥𝑎就更加可能收敛，另外一种情况，即𝑙𝑛𝑥𝑎， x→1时，𝑙𝑛𝑥𝑎~𝑥−1

2+∞1𝑙𝑛𝑥𝑎𝑑𝑥和012𝑙𝑛𝑥𝑎𝑑𝑥，对于任意的a，2+∞1𝑙𝑛𝑥𝑎𝑑𝑥都发散，因为fx越小越收敛， 1𝑙𝑛𝑥𝑎>1𝑥12，小发必大发，012𝑙𝑛𝑥𝑎𝑑𝑥都收敛，对于任意的a，𝑙𝑛𝑥𝑎<𝑥12，大收必小收

2+∞𝑙𝑛𝑥𝑎𝑥𝑝𝑑𝑥和012𝑙𝑛𝑥𝑎𝑥𝑝𝑑𝑥敛散性仅仅取决于1𝑥𝑝，𝑙𝑛𝑥𝑎的作用可以忽略

2+∞1𝑥𝑝𝑙𝑛𝑥𝑎𝑑𝑥和0121𝑥𝑝𝑙𝑛𝑥𝑎𝑑𝑥，p≠1时，敛散性仅仅取决于1𝑥𝑝，𝑙𝑛𝑥𝑎的作用可以忽略；p≠1时，敛散性取决于a，𝑎>1时收敛，𝑎≤1时发散

0+∞𝑙𝑛𝑥21+𝑥2𝑑𝑥

瑕点x→+∞, x→0+,

X→+∞时，𝑙𝑛𝑥21+𝑥2~𝑙𝑛𝑥2𝑥2，收敛

X→0+时，𝑙𝑛𝑥21+𝑥2~𝑙𝑛𝑥2，收敛

0+∞ln1+𝑥𝑥32𝑑𝑥

瑕点x→+∞, x→0+,

X→+∞时，ln1+𝑥𝑥32~ln𝑥𝑥32，收敛

X→0+时，ln1+𝑥𝑥32~𝑥𝑥32~1𝑥12，收敛

0+∞𝑙𝑛𝑥𝑥+𝑥3𝑑𝑥

瑕点x→+∞, x→0+,

X→+∞时，𝑙𝑛𝑥𝑥+𝑥3~𝑙𝑛𝑥𝑥32，收敛

X→0+时，𝑙𝑛𝑥𝑥+𝑥3~𝑙𝑛𝑥𝑥12，收敛

0+∞1x+𝑥2𝑙𝑛𝑥13𝑑𝑥

瑕点x→+∞, x→0+,

X→+∞时，1x+𝑥2𝑙𝑛𝑥13~1𝑥2𝑙𝑛𝑥13，收敛

X→0+时，1x+𝑥2𝑙𝑛𝑥13~1𝑥𝑙𝑛𝑥13，发散

X→1时，1x+𝑥2𝑙𝑛𝑥13~1𝑥−113，收敛

01𝑚ln1−𝑥2𝑛𝑥𝑑𝑥

瑕点x→1−, x→0+,

X→0+时，𝑚ln1−𝑥2𝑛𝑥~−12m𝑥1n−2m，1n−2m<1,收敛; 1n−2m≥1,发散，因为n≥1,m≥1,所以1n≤1，2m>0,一个小于1的数减去一个正数都小于1；

X→1−时，𝑚ln1−𝑥2𝑛𝑥~1ln⁡(1−x)2m，收敛

个人理解：

幂函数，按照无穷区间和无穷函数分为p型积分和q型积分，p>1和q<1时，积分收敛，其余情况发散。

𝑒x 无论取无穷大还是无穷小，他对于幂函数来说都是高阶的存在，所以只需要按照极限的高低阶来判断就行，例如在∞的比较上，极限是无穷，发散；在无穷小的比较上极限为0，收敛。

𝑙𝑛𝑥𝑎 x 只要不是与x的一次方一起出现在分母，就可以省略掉，如果出现上述情况，那么就使用a按照无穷区间的规则来进行判定，此时不考虑积分属于无穷区间还是无穷函数；单独出现时，跟𝑒x相反，他被视作低阶的存在，对应为p和q型积分，但他的p和q恒小于1，这就导致无穷区间上发散，无穷函数上收敛

最重要的是记住中心思想：f(x)越小越收敛，越大越发散，以及趋于无穷的速度是指数函数大于幂函数大于对数函数