概念

累积分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）是概率论和统计学中的一个重要概念。对于一个随机变量 $X$，其累积分布函数 $F(x)$ 给出了 $X$ 小于或等于某个值 $x$ 的概率。换句话说，CDF 描述了随机变量的概率分布的累积概率。

具体地，给定一个随机变量 $X$，其累积分布函数 $F(x)$ 定义为：

$$F(x)=P(X\le x)$$

性质

1. 非递减性：累积分布函数是单调非递减的函数。
2. 值域：累积分布函数的值域是 $[0,1]$。
3. 边界条件：
   • $F(x)$ 在 $x$ 趋近于负无穷时趋近于0，即 ${\lim }_{x\to -\infty }F(x)=0$。
   • $F(x)$ 在 $x$ 趋近于正无穷时趋近于1，即 ${\lim }_{x\to \infty }F(x)=1$。
4. 右连续性：累积分布函数是右连续的，即对于任何 $x$，${\lim }_{ϵ\to 0^{+}}F(x+ϵ)=F(x)$。

示例

以下是几种常见分布的累积分布函数：

1. 正态分布（Normal Distribution）：

   • 累积分布函数： $F(x)=\frac{1}{2}\left[1+\mathrm{erf}\left(\frac{x-\mu }{\sigma \sqrt{2}}\right)\right]$
   • 其中，$\mathrm{erf}$是误差函数，$\mu$ 是均值，$\sigma$ 是标准差。

2. 指数分布（Exponential Distribution）：

   • 累积分布函数： $F(x)=1-\exp (-\lambda x)$，其中 $\lambda$ 是速率参数。

3. 威布尔分布（Weibull Distribution）：

   • 累积分布函数： $F(x)=1-\exp \left(-{\left(\frac{x}{\lambda }\right)}^k\right)$
   • 其中，$\lambda$ 是尺度参数，$k$ 是形状参数。

如何计算和使用 CDF

使用 scipy 库可以方便地计算和使用累积分布函数。以下是一个具体的例子，展示如何计算正态分布和威布尔分布的 CDF。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.stats as stats

# 生成一些数据点
x = np.linspace(-3, 3, 1000)

# 正态分布的参数
mu, sigma = 0, 1
# 计算正态分布的 CDF
cdf_normal = stats.norm.cdf(x, loc=mu, scale=sigma)

# 威布尔分布的参数
shape, scale = 1.5, 1
# 计算威布尔分布的 CDF
cdf_weibull = stats.weibull_min.cdf(x, c=shape, scale=scale)

# 绘制 CDF 图像
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x, cdf_normal, label='Normal CDF')
plt.plot(x, cdf_weibull, label='Weibull CDF')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('CDF')
plt.title('Cumulative Distribution Functions')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

运行这段代码，将得到正态分布和威布尔分布的累积分布函数图像。可以看到，CDF 描述了每个值以下的累积概率。

结论

累积分布函数是描述随机变量在某个值以下的概率的函数。它在统计学和概率论中有广泛的应用，通过累积分布函数，可以得到随机变量的分布信息，并利用其进行各种概率计算和统计推断。