一、导数的概念

1、导数的物理意义

• 导数可以描述事物的瞬时变化率，导数$f^{\prime }(x)$表示函数$f(x)$在$x=x_0$处的瞬时变化率，反映了函数$f(x)$在$x=x_0$附近的变化情况。
• 用函数表示函数$f(x)$在$x=x_0$的导数为：$$f^{\prime }(x)=\underset{x_0\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{x_0\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$
  $x_0\to 0$表示$x$无限接近0。
• 实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。

2、导数的几何意义

导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率。

二、导数的计算

• 求函数$y=f(x)$的导数，就是求出当$\Delta x$趋近于0时，$\frac{\Delta y}{\Delta x}$所趋于的那个定值。

一、几个常用函数的导数

1. 函数$y=f(x)=c$ 的导数

• C为一个常数，而导数表示的是函数的在某一个时间的瞬时变化率，常数的瞬时变化一直为0，则函数$y=f(x)=c$ 的导数为：$$f^{\prime }(x)=\underset{x_0\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{x_0\to 0}{\lim }0=0$$

2. 函数$y=f(x)=x$ 的导数

• $y=x$可以看作某物体做匀速直线运动，瞬时速度都为1的匀速运动。
  $$f^{\prime }(x)=\underset{x_0\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{x_0\to 0}{\lim }\frac{x+\Delta x-x}{\Delta x}=\underset{x_0\to 0}{\lim }1=1$$

3.函数$y=f(x)=x^2$ 的导数

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{(x+\Delta x{)}^2-x^2}{\Delta x}=\frac{x^2+2x\ast \Delta x+(\Delta x{)}^2-x^2}{\Delta x}=2x+\Delta x$$

• 所以$$f^{\prime }(x)=\underset{x_0\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{x_0\to 0}{\lim }（2x+\Delta x）=2x$$

4.函数$y=f(x)=\frac{1}{x}的导数$

因为：$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{\frac{1}{x+\Delta x}-\frac{1}{x}}{\Delta x}=-\frac{1}{x^2+x\ast \Delta x}$$
所以：$$f^{\prime }(x)=\underset{x_0\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{x_0\to 0}{\lim }(-\frac{1}{x^2+x\ast \Delta x})=-\frac{1}{x^2}$$

二、导数的运算法则

1. $[f(x)\pm g(x){]}^{\prime }=f^{\prime }(x)\pm g^{\prime }(x)$
2. $[f(x)\ast g(x){]}^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$

• 由法则2可得出：$[cf(x){]}^{\prime }=c^{\prime }f(x)+c{f}^{\prime }(x)=c{f}^{\prime }(x)$

3. $[\frac{f(x)}{g(x)}{]}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{[g(x{)}^2]}(g(x)\ne 0)$