向量和矩阵的内积和外积等

最近把这些概念搞混淆了，所以总结一下。

内积 (inner product)

数量积又称标量积（Scalar product）、点积（Dot product），在欧几里得空间（Euclidean space）中称为内积（Inner product），对应元素相乘相加，结果是一个标量（即一个数）。

定义：相同位置数值相乘再求和。
注意：内积运算结果是一个数。

几何意义：

numpy中 使用np.dot或numpy.inner()实现向量的点积

代码实现：numpy.inner

注：
在数学中，内积空间(少部分人称为豪斯多夫-前希尔伯特空间)是实向量空间或具有称为内积的运算的复向量空间。空间中两个向量的内积是标量，通常用尖括号表示，如$<a,b>$。而点积是我们通常讨论的欧氏空间中内积的一种特殊形式。在工科的讨论范围内，内积和点积会混在一起说。这是无可厚非的，毕竟点积是内积的一种特殊形式。

外积1（outer product）

定义：线性代数中的向量积。
注意：运算结果是一个矩阵。
矢量的升维运算， mm维矢量和nn维矢量的外积是m∗nm∗n为矩阵。

代码实现：numpy.outer

克罗内克积，numpy中使用np.kron实现

外积2（exterior product）

exterior product 也翻译成外积，但指的是空间解析几何中的向量积。
注意：运算结果是一个向量。
向量积又称矢量积（Vector product）、叉积（Cross product）。
两个向量的 exterior product 本质就是叉乘，

代码实现：numpy.cross
针对矩阵并不存在叉积的概念，numpy中针对矩阵的叉积运算是按照向量的叉积进行运算。

注：
在数学中，叉积(Cross product)或向量积(Vector product)是在三维欧几里得向量空间中对两个向量的二元运算，用符号表示$\times$。给定两个线性无关的向量$a$和$b$，叉积$a\times b$是一个垂直于$a$和$b$的向量，因此垂直于包含它们的平面。它在数学、物理、工程和计算机编程中有许多应用。不应将其与点积(投影积)，特别是外积混淆。
国内总会把叉积和外积混为一谈，即使是中文维基百科也是如此。英文环境里根本就没有把cross product和outer product混在一起说的情况。叉积仅仅定义在三维的欧氏空间中，且需要用到右手定则。

元素积 （element-wise product）

element-wise product 也叫哈达玛积 (Hadamard product)，运算结果是一个向量，本质就是对应位置元素相乘。
element-wise product = element-wise multiplication = Hadamard product = point-wise product

numpy中 使用np.multiply或*实现元素积
代码实现：numpy.multiply

总结：

也有人这样总结：

注：数量、向量常用于数学；而标量、矢量常用于物理