高等数学(预备知识之诱导公式)
诱导公式
一. 诱导公式一
可以这样理解诱导公式就是把大角变小角
sin \sin sin( α \alpha α+ 2kπ) = sin \sin sin α \alpha α, k ∈ \in ∈Z
cos \cos cos( α \alpha α+ 2kπ) = cos \cos cos α \alpha α, k ∈ \in ∈Z
tan \tan tan( α \alpha α+ 2kπ) = tan \tan tan α \alpha α, k ∈ \in ∈Z
\quad
\quad
二. 诱导公式二
以上图片用于辅助记忆,所在象限为正
sin \sin sin(- α \alpha α) = - sin \sin sin α \alpha α
cos \cos cos(- α \alpha α) = cos \cos cos α \alpha α
tan \tan tan(- α \alpha α) = - tan \tan tan α \alpha α
\quad
\quad
三. 诱导公式三
sin \sin sin(π - α \alpha α) = sin \sin sin α \alpha α
cos \cos cos(π - α \alpha α) = - cos \cos cos α \alpha α
tan \tan tan(π - α \alpha α) = - tan \tan tan α \alpha α
sin \sin sin π 3 \frac{π}{3} 3π = sin \sin sin 2 π 3 \frac{2π}{3} 32π
- cos \cos cos π 3 \frac{π}{3} 3π = cos \cos cos 2 π 3 \frac{2π}{3} 32π
\quad
\quad
四. 诱导公式四
sin \sin sin(π + α \alpha α) = - sin \sin sin α \alpha α
cos \cos cos(π + α \alpha α) = - cos \cos cos α \alpha α
tan \tan tan(π + α \alpha α) = tan \tan tan α \alpha α
\quad
\quad
例题1: 求值
cos \cos cos 225° = cos \cos cos(π+45°) = - cos \cos cos 45° = - 2 2 \frac{\sqrt{2}}{2} 22
sin \sin sin 8 π 3 \frac{8π}{3} 38π = sin \sin sin (2π+ 2 π 3 \frac{2π}{3} 32π) = sin \sin sin 2 π 3 \frac{2π}{3} 32π = 3 2 \frac{\sqrt{3}}{2} 23
sin \sin sin - 16 π 3 \frac{16π}{3} 316π = sin \sin sin (- 16 π 3 \frac{16π}{3} 316π+6π) = sin \sin sin 2 π 3 \frac{2π}{3} 32π = 3 2 \frac{\sqrt{3}}{2} 23
tan \tan tan(-2040°) = tan \tan tan(120°-12π) = tan \tan tan 120° = tan \tan tan(π-60°) = - tan \tan tan 60 ° = - 3 \sqrt{3} 3
\quad
\quad
例题2:
化简: cos ( 180 ° + α ) . sin ( α + 360 ° ) tan ( − α − 180 ° ) . cos ( − 180 ° + α ) \frac{\cos(180°+\alpha).\sin(\alpha+360°)}{\tan(-\alpha-180°).\cos(-180°+\alpha)} tan(−α−180°).cos(−180°+α)cos(180°+α).sin(α+360°)
根据诱导公式一, 提负号只有cos不变号
=> − cos α . sin α − tan α . − cos α \frac{-\cos\alpha . \sin\alpha}{-\tan\alpha. -\cos\alpha} −tanα.−cosα−cosα.sinα
=> sin α − tan α \frac{\sin\alpha}{-\tan\alpha} −tanαsinα
=> - cos α \cos\alpha cosα
\quad
\quad
例题3:
sin \sin sin 225° = sin \sin sin (π+45°) = - sin \sin sin 45° = - 2 2 \frac{\sqrt{2}}{2} 22
cos \cos cos 7 π 6 \frac{7π}{6} 67π = cos \cos cos(π+ π 6 \frac{π}{6} 6π) = - 3 2 \frac{\sqrt{3}}{2} 23
\quad
\quad
五. 诱导公式五
sin \sin sin ( π 2 \frac{π}{2} 2π- α \alpha α) = cos α \cos\alpha cosα
cos \cos cos ( π 2 \frac{π}{2} 2π- α \alpha α) = sin α \sin\alpha sinα
\quad
\quad
六. 诱导公式六
sin \sin sin ( π 2 \frac{π}{2} 2π+ α \alpha α) = cos α \cos\alpha cosα
cos \cos cos ( π 2 \frac{π}{2} 2π+ α \alpha α) = - sin α \sin\alpha sinα
\quad
\quad
例题4: 证明
(1) sin \sin sin ( 3 π 2 \frac{3π}{2} 23π- α \alpha α) = - cos α \cos \alpha cosα
=> sin \sin sin (π+ π 2 \frac{π}{2} 2π- α \alpha α)
=> - sin \sin sin ( π 2 \frac{π}{2} 2π- α \alpha α)
=> - cos α \cos \alpha cosα
(2) cos \cos cos ( 3 π 2 \frac{3π}{2} 23π- α \alpha α) = - sin α \sin \alpha sinα
=> cos \cos cos (π+ π 2 \frac{π}{2} 2π- α \alpha α)
=> - cos \cos cos ( π 2 \frac{π}{2} 2π- α \alpha α)
=> - sin α \sin \alpha sinα
\quad
\quad
例题5: 化简
sin ( 2 π − α ) cos ( π + α ) cos ( π 2 + α ) cos ( 11 π 2 − α ) cos ( π − α ) sin ( 3 π − α ) sin ( − π − α ) sin ( 9 π 2 + α ) \frac{\sin(2π-\alpha)\cos(π+\alpha)\cos(\frac{π}{2}+\alpha)\cos(\frac{11π}{2}-\alpha)}{\cos(π-\alpha)\sin(3π-\alpha)\sin(-π-\alpha)\sin(\frac{9π}{2}+\alpha)} cos(π−α)sin(3π−α)sin(−π−α)sin(29π+α)sin(2π−α)cos(π+α)cos(2π+α)cos(211π−α)
= ( − sin α ) ( − cos α ) ( − sin α ) ( − sin α ) ( − cos α ) ( sin α ) ( sin α ) ( cos α ) \frac{(-\sin\alpha)(-\cos\alpha)(-\sin\alpha)(-\sin\alpha)}{(-\cos\alpha)(\sin\alpha)(\sin\alpha)(\cos\alpha)} (−cosα)(sinα)(sinα)(cosα)(−sinα)(−cosα)(−sinα)(−sinα)
= - tan α \tan\alpha tanα
\quad
\quad
例题6: sin ( π 2 + θ ) \sin(\frac{π}{2}+\theta) sin(2π+θ) < 0, 且 cos ( π 2 − θ ) \cos(\frac{π}{2}-\theta) cos(2π−θ)>0, 则 θ \theta θ在第几象限
解: sin ( π 2 + θ ) \sin(\frac{π}{2}+\theta) sin(2π+θ) < 0 \quad => \quad cos θ \cos\theta cosθ<0
\quad cos ( π 2 − θ ) \cos(\frac{π}{2}-\theta) cos(2π−θ)>0 \quad => \quad sin θ \sin\theta sinθ<0
所以, θ \theta θ在第二象限
\quad
\quad
例题7: 已知 sin θ \sin\theta sinθ = 6 11 \frac{6}{11} 116, 求 cos ( 11 π 2 + θ ) \cos(\frac{11π}{2}+\theta) cos(211π+θ)+ sin ( 3 π − θ ) \sin(3π-\theta) sin(3π−θ)的值
cos ( 11 π 2 + θ ) \cos(\frac{11π}{2}+\theta) cos(211π+θ)+ sin ( 3 π − θ ) \sin(3π-\theta) sin(3π−θ)
=> cos ( − π 2 + 6 π + θ ) \cos(-\frac{π}{2}+6π+\theta) cos(−2π+6π+θ)+ sin ( 2 π + π − θ ) \sin(2π+π-\theta) sin(2π+π−θ)
=> sin θ \sin\theta sinθ+ sin θ \sin\theta sinθ
=> 12 11 \frac{12}{11} 1112
更多推荐
所有评论(0)