高等数学(预备知识之诱导公式)

诱导公式

亦可呀

2726人浏览 · 2022-11-14 17:27:06

亦可呀 · 2022-11-14 17:27:06 发布

一. 诱导公式一

可以这样理解诱导公式就是把大角变小角

$\sin$ ( $\alpha$ + 2kπ) = $\sin$ $\alpha$ , k $\in$ Z
$\cos$ ( $\alpha$ + 2kπ) = $\cos$ $\alpha$ , k $\in$ Z
$\tan$ ( $\alpha$ + 2kπ) = $\tan$ $\alpha$ , k $\in$ Z

$\quad$
$\quad$

二. 诱导公式二

在这里插入图片描述
以上图片用于辅助记忆,所在象限为正

$\sin$ (- $\alpha$ ) = - $\sin$ $\alpha$
$\cos$ (- $\alpha$ ) = $\cos$ $\alpha$
$\tan$ (- $\alpha$ ) = - $\tan$ $\alpha$

$\quad$
$\quad$

三. 诱导公式三

$\sin$ (π - $\alpha$ ) = $\sin$ $\alpha$
$\cos$ (π - $\alpha$ ) = - $\cos$ $\alpha$
$\tan$ (π - $\alpha$ ) = - $\tan$ $\alpha$

$\sin$ $\frac{π}{3}$ = $\sin$ $\frac{2π}{3}$
- $\cos$ $\frac{π}{3}$ = $\cos$ $\frac{2π}{3}$

$\quad$
$\quad$

四. 诱导公式四

$\sin$ (π + $\alpha$ ) = - $\sin$ $\alpha$
$\cos$ (π + $\alpha$ ) = - $\cos$ $\alpha$
$\tan$ (π + $\alpha$ ) = $\tan$ $\alpha$

$\quad$
$\quad$
例题1: 求值
$\cos$ 225° = $\cos$ (π+45°) = - $\cos$ 45° = - $\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin$ $\frac{8π}{3}$ = $\sin$ (2π+ $\frac{2π}{3}$ ) = $\sin$ $\frac{2π}{3}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin$ - $\frac{16π}{3}$ = $\sin$ (- $\frac{16π}{3}$ +6π) = $\sin$ $\frac{2π}{3}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan$ (-2040°) = $\tan$ (120°-12π) = $\tan$ 120° = $\tan$ (π-60°) = - $\tan$ 60 ° = - $\sqrt{3}$

$\quad$
$\quad$
例题2:
化简: $\frac{\cos(180°+\alpha).\sin(\alpha+360°)}{\tan(-\alpha-180°).\cos(-180°+\alpha)}$
根据诱导公式一, 提负号只有cos不变号
=> $\frac{-\cos\alpha . \sin\alpha}{-\tan\alpha. -\cos\alpha}$

=> $\frac{\sin\alpha}{-\tan\alpha}$

=> - $\cos\alpha$

$\quad$
$\quad$
例题3:
$\sin$ 225° = $\sin$ (π+45°) = - $\sin$ 45° = - $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos$ $\frac{7π}{6}$ = $\cos$ (π+ $\frac{π}{6}$ ) = - $\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\quad$
$\quad$

五. 诱导公式五

$\sin$ ( $\frac{π}{2}$ - $\alpha$ ) = $\cos\alpha$
$\cos$ ( $\frac{π}{2}$ - $\alpha$ ) = $\sin\alpha$

$\quad$
$\quad$

六. 诱导公式六

$\sin$ ( $\frac{π}{2}$ + $\alpha$ ) = $\cos\alpha$
$\cos$ ( $\frac{π}{2}$ + $\alpha$ ) = - $\sin\alpha$

$\quad$
$\quad$
例题4: 证明
(1) $\sin$ ( $\frac{3π}{2}$ - $\alpha$ ) = - $\cos \alpha$
=> $\sin$ (π+ $\frac{π}{2}$ - $\alpha$ )
=> - $\sin$ ( $\frac{π}{2}$ - $\alpha$ )
=> - $\cos \alpha$

(2) $\cos$ ( $\frac{3π}{2}$ - $\alpha$ ) = - $\sin \alpha$
=> $\cos$ (π+ $\frac{π}{2}$ - $\alpha$ )
=> - $\cos$ ( $\frac{π}{2}$ - $\alpha$ )
=> - $\sin \alpha$

$\quad$
$\quad$
例题5: 化简
$\frac{\sin(2π-\alpha)\cos(π+\alpha)\cos(\frac{π}{2}+\alpha)\cos(\frac{11π}{2}-\alpha)}{\cos(π-\alpha)\sin(3π-\alpha)\sin(-π-\alpha)\sin(\frac{9π}{2}+\alpha)}$

= $\frac{(-\sin\alpha)(-\cos\alpha)(-\sin\alpha)(-\sin\alpha)}{(-\cos\alpha)(\sin\alpha)(\sin\alpha)(\cos\alpha)}$

= - $\tan\alpha$

$\quad$
$\quad$
例题6: $\sin(\frac{π}{2}+\theta)$ < 0, 且 $\cos(\frac{π}{2}-\theta)$ >0, 则 $\theta$ 在第几象限
解: $\sin(\frac{π}{2}+\theta)$ < 0 $\quad$ => $\quad$ $\cos\theta$ <0
$\quad$ $\cos(\frac{π}{2}-\theta)$ >0 $\quad$ => $\quad$ $\sin\theta$ <0
所以, $\theta$ 在第二象限

$\quad$
$\quad$
例题7: 已知 $\sin\theta$ = $\frac{6}{11}$ , 求 $\cos(\frac{11π}{2}+\theta)$ + $\sin(3π-\theta)$ 的值
$\cos(\frac{11π}{2}+\theta)$ + $\sin(3π-\theta)$
=> $\cos(-\frac{π}{2}+6π+\theta)$ + $\sin(2π+π-\theta)$
=> $\sin\theta$ + $\sin\theta$
=> $\frac{12}{11}$