该文章为博主复习时笔记，内容不完整，仅供参考

高等数学

第1章 函数极限与连续

七种未定式

• $\frac{0}{0}$，$\frac{\infty }{\infty }$，$0\ast \infty$

  1. 直接用洛必达
  2. 见根号差，用有理化。化为分数形式好处理。

• $\infty -\infty$

  有分母则通分，没有则提取公因式或倒代换，创造分母

• ∞⁰，0^∞

  $lim{u}^v$=$e^{limvlnu}$

• $1^{\infty }$

  $lim{u}^v$=$e^{lim(u-1)v}$

复合函数与变上限积分型

当x→0时，f(x) ~ ax^m，g(x) ~ bxⁿ，ab≠0，m，n为正整数，则${\int }_0^{g(x)}f(t)dt$ ~ ${\int }_0^{b{x}^n}a{t}^{m}dt$，$f[g(x)]$ ~ $a{b}^m{x}^{nm}$

推广：若f(x)=A，h(x)=0，则${\int }_0^{h(x)}f(t)dt$ ~ $Ah(x)$

做题经验：可以作变量代换方便使用上述公式，后求导解开积分

定理法（较少用）

如积分中值定理，${\int }_{x_0}^{x}f(t)dt=f(\xi )(x-x_0)$

洛必达法则

条件：$\frac{0}{0}$，$\frac{\infty }{\infty }$。可导。结果为0，c（c≠0），∞

泰勒公式

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}$

$ln(1+x)=x-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3$

$(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2}{x}^2$ ，$\alpha \ne 0$

$cosx=1-\frac{1}{2!}{x}^2$

$sinx=x-\frac{1}{3!}{x}^3$

$arcsinx=x+\frac{1}{6}{x}^3$

$tanx=x+\frac{1}{3}{x}^3$

$arctanx=x-\frac{1}{3}{x}^3$

$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdot \cdot \cdot$，$|x|<1$

$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2+\cdot \cdot \cdot$，$|x|<1$

另：

$lim(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e,其中x\to 0^{+}$

$lim(a^x+b^x+c^x{)}^{\frac{1}{x}}$ = max{a,b,c}，其中$x\to +\infty$，a,b,c非负

看到多个0，有f和f导数的值时且想要f的等价时考虑泰勒

等式脱帽法（较少用）

$f(x)=A+\alpha$，其中$lim\alpha =0$

夹逼准则

无需验证等号

间断点

跳跃、可去；无穷、振荡；

同时出现x和n的时候，先确定x的区间，把x当成常数再针对n的极限进行讨论

---

第2章 数列极限

保号性

若$A>0$，则n->无穷时，$x_n>0$;

若n->无穷，$x_n\ge 0$，则$A\ge 0$；

例：$\frac{1}{n}$

基本不等式

$2\sqrt{ab}=a＋b$，a，b > 0（注意变形）

单调有界准则

单调增加且有上界，则$lim{x}_n=a$ （存在），n－>无穷

已知不等式：
$sinx\le x$，$e^x\ge x+1$，$x-1\ge lnx$，$\frac{x}{1+x}<ln(1+x)<x$，基本不等式

解题步骤：用单调有界准则证明极限存在后，设为a再求，注意要用题目的关系帮助解题。区分好n和x的极限问题，不要搞混，n为大

夹逼准则

无须验证等号，常用放缩法，或按题目的条件

用放缩法的时候，一般化成＋的形式，有乘的时候可用ln变成＋

中值定理

其他方法不行的时候可以尝试，比如看见相减的时候

---

第3章 一元函数微分学的概念

导数定义

$f^{\prime }(x_0)=li{m}_{△x->0}\frac{f(x_0+△x)-f(x_0)}{△x}=li{m}_{x->x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

不可导点问题

对于绝对值，里面的值＝0且其导数≠0，则为不可导点

$x^a$，若a小于1则0必为不可导点

提示

在导数公式难的时候用定义

不可导的时候，乘积的求导法则不可用

可微定义

$dy=f^{\prime }(x)dx$

---

第四讲 一元函数微分学的计算

提示

隐函数求导时，高阶则用直接法，低阶可用公式法

若包含大量乘除指数的形式，用对数求导法，简单指数形式用幂指函数求导法

障眼法，注意形如：$x{\int }_0^2{e}^{-(xt{)}^2}dt$ 的情况，令xt＝u代入可知是不定积分，而不是定积分。

分段点用导数定义法求

参数方程求确定点的二阶导时，若难求y对于x的二阶导，可求出y和x对于t的导数的准确值再代入。

做题套路

根据特征分析（幂指，对数等），运用高阶方法找规律去掉多余项

---

第五章 一元函数微分学的应用（一）——几何应用

极值点＆拐点

类似，如极值点：$f^{\prime }(x)＝0$必要条件，①邻域两边异号，②$f^{\prime \prime }(x)\ne 0$或推广下去（推广问题，偶为极值，奇为拐点）

曲线的可导点不可同时为极值点和拐点

原函数连续时，导数不存在也要看

渐近线

判断有几条 —> 依次判断铅直、水平、斜渐近线

---

第6章 一元函数微分学的应用（二）——中值定理、微分等式与不等式

对于$f^{\prime }(x)和kf(x)$的研究，可构造$F(x)=e^{kx}f(x)$这类函数

高阶导一般用泰勒展开

---

第7章 一元函数微分学的应用（三）——物理应用

列出式子求导得各导数关系

---

第8章 一元函数积分学的概念与性质

祖孙三代

由偶函数$f(x)$推${\int }_a^{x}f(t)dt$时，若${\int }_a^{x}f(t)dt\ne {\int }_0^{x}f(t)dt$则无法推出是奇函数

连续函数必有原函数，含第一类间断点和无穷间断点的函数在包含该断点区间内必没有原函数，F求导后的函数不一定是连续函数，但如果有间断点只能是振荡间断点（考研范畴内）

定积分定义

${\int }_0^{1}f(x)dx=li{m}_{n->\infty }{\sum }_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})\frac{1}{n}$

因此要凑成$\frac{i}{n}$型，凑不了就夹逼准则

反常积分判别

尺度口诀：往哪，哪收敛，1发散

做题套路：转为幂函数类型对应尺度解

$\frac{lnx}{x^p}同尺度$

做题套路

给出包含f和f积分这样复杂的式子求f，令积分为A，对f做积分成为A，解出A

尝试两边积分求f

---

第9章 一元函数积分学的计算

基本积分公式牢记！（and p94）

常用换元

$\sqrt{a^2-x^2}$令$x＝asint$

$\sqrt{a^2+x^2}$令$x＝atant$

$\sqrt{x^2-a^2}$令$x＝asect$

区间再现公式

${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(a+b-x)dx$

华里士公式（点火）

cos到π为奇，＝0

到2π为奇，＝0

解题思路

对于难求积分但好求导数的令整个为t代入

${\int }_{-a}^{a}f(x)复杂易加减化简＝{\int }_0^{a}f(x)＋f(-x)$

尤其是三角函数，0到π区间时化为$-\frac{\pi }{2}$到$\frac{\pi }{2}$更好利用奇偶性质化简

---

第10章 一元函数积分学的应用（一）——几何应用

背公式

---

第11章 一元函数积分学的应用（二）——积分等式与积分不等式

用之前的知识

巧用中值定理，二阶及以上用泰勒，证明存在区间的一个点xxx，别忘了介值定理

---

第12章 一元函数积分学的应用（三）——物理应用

背公式

---

第13章 多元函数微分学

可微判别

强化p132

见到高阶无穷小考虑全微分定义得偏导数值

链式求导法

隐函数求导法

公式法（勿忘负号）

多元函数的极值

AC－B > 0取极值

条件问题：拉格朗日乘数法

技巧

有两个偏导数，求原函数，则用一个求积分后再求导等于另一个

---

第14章 二重积分

普通对称性

如D关于x轴对称，f(x,y)中的单个y就去掉

轮换对称性

D中x，y对调后不变，则操作f(x,y)内的

二重积分比大小

把D作为定义域去看，研究f(x,y)的正负

二重积分中值定理

f某一点乘面积

椭圆面积abπ

形心坐标公式p116

---

第15章 微分方程

看强化思维导图，流程较为固定

高阶问题可以思考泰勒

特解含未知数，带入原方程可求得

---

第16章 无穷级数

正项级数才能用，比较判别，比值，根值，积分判别（1到无穷单调减且非负的f(x)，跟f(x)在1到无穷积分敛散性相同）

和函数与级数转换问题

背公式，但本质上积分求导or求导积分，中间用等比数列求和，1减公比分之首项。求积分用0的值加0到x的定积分

要会令n次方那个为x，得到S（x），没有x创造x

---

第17章 多元函数积分学的预备知识

知两线，要得n，n与两线皆垂直，两线叉乘一下

平面束，如找过线到面的切面

直线绕哪个轴转，就把另外两个用这个表示，若y轴，$x^2+z^2=x^2+z^2$(再代入右边的x，z)

偏导数要看两边，方向导数只看一边

---

第18章 多元函数积分学

第一型

对称性、一投二代三计算（p229注意区分不同情形的计算）

第二型

一投二代三计算，格林（中间是减）or高斯（加）

各种题型，看书，注意方向问题

第二型曲线积分：p245空间问题->用参数方程代入->t的定积分

第二型曲面积分：p250转换投影法

易错点＆技巧

球面坐标系是加的是$r^{2}sin\phi$，别少了

对称性看的是积分里面

规则图形xdS化成x的平均乘$S_D$

太复杂的积分分成两股去做

---

线性代数

第7章 特征值与特征向量

p75表格熟背

若矩阵A为列向量乘行向量，A的秩为1，特征值为tr，0，0。。

情形AB=O,AB=C,AP=PB

---

第8章 相似理论

非齐次方程组有通解，将特解代入Ax＝0得一个特征值和向量，通解部分则为特征值为0的向量

求A的多次方时，要么用相似移过去中间p抵消，要么把A拆成行列，中间相乘为一个数再移出来

实对称矩阵存在正交矩阵Q^-AQ=A

判断A和B是否相似，方法：1是否相似于同一对角矩阵（秩相同）。2是否存在可逆矩阵p（里面线性无关）。。

求矩阵A：1经典移项法。2由正交特征向量和特征值得p95

给出抽象A和线性无关列向量的关系，构造A[α1，α2，α3]=[α1，α2，α3]B的关系，则A～B，将求A的特征值转为求具体B的

---

第9章 二次型

按照题目确定是配方法还是正交变量法

求规范性直接赋值为对应的1或－1