电路阻抗

电路阻抗指集总参数电路中的电阻、电感和电容通过串联和并联所形成的阻抗,电阻形成阻抗的实部,电感和电容形成阻抗的虚部. 电阻的大小与频率无关,电感形成的感抗与频率成正比,电容形成的容抗与频率成反比.

具体来说,阻抗 Z=R+jXZ=R+jXZ=R+jX, 其中RRR为电阻,XXX为电抗. 电抗包括容抗与感抗,jX=jωL+1jωCjX = j\omega L+\frac{1}{j\omega C}jX=L+C1. LLL 为电感,CCC 为电容,ω\omegaω 为角速度.

传输线的特征阻抗

传输线用于引导电磁波,使其能量或信息定向的由一点传输到另一点. 常见的传输线有平行板传输线、带状线、平行双线、同轴线.

下图为传输线的分布参数模型. 图中,单位长度的并联电容为C0C_0C0,单位长度的并联导纳为G0G_0G0,单位长度的串联电阻为R0R_0R0,单位长度的串联电感为L0L_0L0. 因此,在长度 dzdzdz 上的串联电阻、串联电感、并联电容、并联导纳分别为R0∗dzR_0*dzR0dz, L0∗dzL_0*dzL0dz, C0∗dzC_0*dzC0dz, G0∗dzG_0*dzG0dz.

传输线分布参数模型
如果在传输线上施加正弦波电压U˙\dot{U}U˙,则在传输线上会形成正弦波电流I˙\dot{I}I˙, 则存在以下电报方程
∂U˙∂z+L0∂I˙∂t+R0I˙=0 \begin{align} \frac{\partial\dot{U}}{\partial z}+L_0\frac{\partial\dot{I}}{\partial t}+R_0\dot{I}=0 \end{align} zU˙+L0tI˙+R0I˙=0
∂I˙∂z+C0∂U˙∂t+G0U˙=0 \begin{align} \frac{\partial\dot{I}}{\partial z}+C_0\frac{\partial\dot{U}}{\partial t}+G_0\dot{U}=0 \end{align} zI˙+C0tU˙+G0U˙=0
通解为:
U˙(z)=U˙+e−jkz+U˙−ejkz \begin{align} \dot{U}(z)=\dot{U}^+ \rm{e}^{-jk z}+\dot{U}^{-} \mathrm{e}^{jk z} \end{align} U˙(z)=U˙+ejkz+U˙ejkz
I˙(z)=U˙+Z0e−jkz−U˙−Z0ejkz \begin{align} \dot{I}(z)=\frac{\dot{U}^+}{Z_0} \rm{e}^{-jk z}-\frac{\dot{U}^-}{Z_0} \mathrm{e}^{jk z} \end{align} I˙(z)=Z0U˙+ejkzZ0U˙ejkz
其中,
k=(R0+jωL0)(G0+jωC0)=α+jβ \begin{align} k=\sqrt{(R_0+j\omega L_0)(G_0+j\omega C_0)}= \alpha+j\beta \end{align} k=(R0+L0)(G0+C0) =α+jβ
Z0=R0+jωL0G0+jωC0 \begin{align} Z_0=\sqrt{\frac{R_0+j\omega L_0}{G_0+j\omega C_0}} \end{align} Z0=G0+C0R0+L0

Z0Z_0Z0被称为传输线的特征阻抗,当传输线是无损时,即:单位长度传输线导体电阻 R0R_0R0 为0,传输线之间的绝缘介质的单位长度导纳G0G_0G0为0时,Z0=L0C0Z_0=\sqrt{\frac{L_0}{C_0}}Z0=C0L0 .

波阻抗

波阻抗并不是理想传输媒介对电磁波的阻抗,而是电磁波在理想传输媒介中传输时,其电场分量幅度与磁场分量幅度的比值. 波阻抗是理想传输媒介的固有属性.

在三维直角坐标系中,设均匀平面电磁波在理想传输媒介中沿 xxx 轴传播,其波阵面与 yOzyOzyOz 平面平行. 则沿 yyy 轴方向的电场分量 Ey+E_y^+Ey+ 与沿 zzz 轴方向上的磁场分量 Hz+H_z^+Hz+ 之比只与理想传输媒介的磁导率 μ\muμ 和介电常数 ε\varepsilonε 有关:
Ey+Hz+=εμ=Z0 \begin{align} \frac{E_y^+}{H_z^+}=\sqrt\frac{\varepsilon}{\mu}=Z_0 \end{align} Hz+Ey+=με =Z0
$$的单位为欧姆,称为理想传输媒介的波阻抗.

例如真空的波阻抗为
ε0μ0=4π∗10−78.854∗10−12=377Ω \sqrt\frac{\varepsilon_0}{\mu_0}=\sqrt\frac{4\pi*10^{-7}}{8.854*10^{-12}} = 377 \Omega μ0ε0 =8.85410124π107 =377Ω
在一些资料中,真空的波阻抗被定义为120π120\pi120π,近似为377欧姆。为什么是120π120\pi120π, 希望读者指教.

天线的辐射电阻

电偶极子天线IΔlI \varDelta lIΔl 向外辐射电磁波能量,在与天线距离 rrr 远大于电磁波波长 λ\lambdaλ 的远场区,天线在以 rrr 为半径的球面 AAA 上向外辐射的功率为:

P=∮ARe(S)dA=∫02π∫0πRe(Eθ×Hϕ∗)r2sin⁡θdθdϕ=∫02π∫0πRe(ε0μ0jIΔlsin⁡θ2λrexp−j2πrλjIΔlsin⁡θ2λrexpj2πrλ)r2sin⁡θdθdϕ=ε0μ0I2(Δl2λ)2∫02π∫0π(sin⁡3θ)dθdϕ=I2[80π2(Δlλ)2] \begin{align} P&=\oint _A {Re}(S)dA\\ &=\int_0^{2\pi} \int_0^\pi {Re}(\mathbf{E}_\theta \times \mathbf{H}_\phi^*)r^2 \sin \theta d\theta d\phi\\ &=\int_0^{2\pi} \int_0^\pi {Re}(\sqrt\frac{\varepsilon_0}{\mu_0}j\frac{I \varDelta l \sin \theta}{2\lambda r}\rm{exp}^{-j\frac{2\pi r}{\lambda}} j\frac{I \varDelta l \sin \theta}{2\lambda r}\rm{exp}^{j\frac{2\pi r}{\lambda}})r^2 \sin \theta d\theta d\phi\\ &=\sqrt\frac{\varepsilon_0}{\mu_0}I^2(\frac{ \varDelta l}{2\lambda })^2\int_0^{2\pi} \int_0^\pi (\sin^3\theta) d\theta d\phi\\ &=I^2[80\pi^2(\frac{ \varDelta l}{\lambda })^2] \end{align} P=ARe(S)dA=02π0πRe(Eθ×Hϕ)r2sinθdθdϕ=02π0πRe(μ0ε0 j2λrIΔlsinθexpjλ2πrj2λrIΔlsinθexpjλ2πr)r2sinθdθdϕ=μ0ε0 I2(2λΔl)202π0π(sin3θ)dθdϕ=I2[80π2(λΔl)2]

此式表明,通过以波源为中心的任何球面的电磁波总功率与球面半径无关,电磁波在空间没有停留,不断地成辐射状向外传播出去。

单元偶极子天线辐射的功率与电流平方有关,还与 Re=80π2(Δlλ)2R_e=80\pi^2(\frac{ \varDelta l}{\lambda })^2Re=80π2(λΔl)2有关. 我们称 ReR_eRe 为单元偶极子对波长 λ\lambdaλ 的辐射电阻.

辐射电阻越大,天线的辐射电磁波能力越强.

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