概率论中常见分布的数学期望、方差及特征函数推导（二）连续型随机变量
目录1.正态分布2.均匀分布3.指数分布4.伽玛分布5.贝塔分布6.卡方分布1.正态分布XXX2.均匀分布$$3.指数分布$$4.伽玛分布$$5.贝塔分布$$6.卡方分布$$...
1.正态分布
X ∼ N （ μ , σ ） X\thicksim N（\mu,\sigma） X∼N（μ,σ）
f
(
x
)
=
1
2
π
σ
e
−
(
x
−
μ
)
2
2
σ
2
,
−
∞
≤
x
+
≤
+
∞
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2}}, -\infty \leq x +\leq +\infty
f(x)=2πσ1e−2σ2(x−μ)2,−∞≤x+≤+∞
2.均匀分布
X ∼ U ( a , b ) X\thicksim U(a,b) X∼U(a,b)
f
(
x
)
=
1
b
−
a
,
a
≤
x
≤
b
f(x)=\frac{1}{b-a},a \leq x \leq b
f(x)=b−a1,a≤x≤b
3.指数分布
X ∼ E x p ( λ ) X\thicksim Exp(\lambda) X∼Exp(λ)
f
(
x
)
=
λ
e
−
λ
x
,
x
≥
0
f(x)=\lambda e^{-\lambda x},x\geq0
f(x)=λe−λx,x≥0
4.伽玛分布
X ∼ G a ( α , λ ) X\thicksim Ga(\alpha,\lambda) X∼Ga(α,λ)
f
(
x
)
=
λ
α
Γ
(
α
)
x
α
−
1
e
−
λ
x
,
x
≥
0
f(x)=\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma (\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\lambda x},x \geq 0
f(x)=Γ(α)λαxα−1e−λx,x≥0
其 中 ， Γ ( α ) = ∫ 0 + ∞ x α − 1 e − x d x 其中，\Gamma (\alpha)=\int_0^{+\infty}x^{\alpha-1}e^{-x}dx 其中，Γ(α)=∫0+∞xα−1e−xdx
Γ ( α + 1 ) = α Γ ( α ) \Gamma (\alpha+1)=\alpha \Gamma (\alpha) Γ(α+1)=αΓ(α)
特征函数：
当
α
=
n
时
，
X
=
X
1
+
X
2
+
.
.
.
+
X
n
，
X
i
i
.
i
.
d
，
X
i
∼
E
x
p
(
λ
)
当\alpha =n时，X=X_1+X_2+...+X_n，X_i i.i.d，X_i\thicksim Exp(\lambda)
当α=n时，X=X1+X2+...+Xn，Xii.i.d，Xi∼Exp(λ)
已 知 φ X i ( t ) = （ 1 − i t λ ） − 1 , 由 特 征 函 数 的 性 质 知 ： 已知\varphi_{X_i}(t)=（1-\frac{it}{\lambda}）^{-1},由特征函数的性质知： 已知φXi(t)=（1−λit）−1,由特征函数的性质知：
φ X ( t ) = [ φ X i ( t ) ] n = （ 1 − i t λ ） − n \varphi_X(t)=[\varphi_{X_i}(t)]^n=（1-\frac{it}{\lambda}）^{-n} φX(t)=[φXi(t)]n=（1−λit）−n
进一步，当 α 为 任 意 正 实 数 时 , G a ( α , λ ) 的 特 征 函 数 为 ： \alpha为任意正实数时, Ga(\alpha,\lambda)的特征函数为： α为任意正实数时,Ga(α,λ)的特征函数为：
φ ( t ) = （ 1 − i t λ ） − α \varphi(t)=（1-\frac{it}{\lambda}）^{-\alpha} φ(t)=（1−λit）−α
5.贝塔分布
X ∼ B e ( a , b ) X\thicksim Be(a,b) X∼Be(a,b)
f ( x ) = Γ ( a + b ) Γ ( a ) Γ ( b ) x a − 1 ( 1 − x ) b − 1 = 1 B ( a , b ) x a − 1 ( 1 − x ) b − 1 , 0 ≤ x ≤ 1 f(x)=\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a) \Gamma(b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1}=\frac{1}{B(a,b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1},0\leq x \leq1 f(x)=Γ(a)Γ(b)Γ(a+b)xa−1(1−x)b−1=B(a,b)1xa−1(1−x)b−1,0≤x≤1
其 中 B ( a , b ) = ∫ 0 1 x a − 1 ( 1 − x ) b − 1 d x 其中B(a,b)=\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx 其中B(a,b)=∫01xa−1(1−x)b−1dx
B
(
a
,
b
)
=
Γ
(
a
)
Γ
(
b
)
Γ
(
a
+
b
)
B(a,b)=\frac{\Gamma(a) \Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}
B(a,b)=Γ(a+b)Γ(a)Γ(b)
（贝塔分布的特征函数推导太复杂了，也不常用，从略，(●ˇ∀ˇ●)）
6.卡方分布
X ∼ χ 2 ( n ) X\thicksim \chi^2(n) X∼χ2(n)
卡方分布是伽玛函数的特例， χ 2 ( n ) = G a ( n 2 , 1 2 ) , \chi^2(n)=Ga(\frac{n}{2},\frac{1}{2}), χ2(n)=Ga(2n,21),
由伽玛函数的数学期望与方差可得：
E
X
=
n
EX=n
EX=n
V
a
r
(
X
)
=
2
n
Var(X)=2n
Var(X)=2n
φ
(
t
)
=
(
1
−
i
t
1
2
)
−
n
2
=
(
1
−
2
i
t
)
−
n
2
\varphi(t)=(1-\frac{it}{\frac{1}{2}})^{-\frac{n}{2}}=(1-2it)^{-\frac{n}{2}}
φ(t)=(1−21it)−2n=(1−2it)−2n
7.柯西分布
柯西分布的数学期望与方差不存在。特征函数存在。
参考文献：茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2004，3.
（由于粘了大量的mathtype公式图片，排版不精美，将就着看(●ˇ∀ˇ●) O(∩_∩)O )
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