1、定义

矢量场 $A$ 通过一个截面 $S$ 的通量 ${\Phi }_A$ 定义为下列面积分：
$${\Phi }_A={\iint }_{S}A\cdot dS={\iint }_{S}A\cos \theta dS\text{\hspace{1em}(1)}$$
式中 $\theta$ 为 $A$ 与面元 $dS$ 的法线 $e_n$ 之间夹角，$dS=e_{n}dS$。如流速场中的流量，电场和磁场中的电场强度通量、磁通量，都属于“通量”的概念。
令 $S$ 为一闭合曲面，它包含的体积为 $\Delta V$，设想 $S$ 面逐渐缩小到空间某点 $P$。用 ${\Phi }_A$ 代表矢量场 $A$ 在闭合面 $S$ 上的通量：
$${\Phi }_A={\iint }_{S}A\cdot dS\text{\hspace{1em}(2)}$$
当 $\Delta V\to 0$ 时，${\Phi }_A$ 也趋于0。若两者之比有一极限，则这个极限值为矢量场 $A$ 在 $P$ 点的散度，记作 $\mathrm{div}$$A$ 或 $▽\cdot A$：
$$▽\cdot A\equiv \underset{\Delta V\to 0}{\lim }\frac{{\Phi }_A}{\Delta V}=\underset{\Delta V\to 0}{\lim }\frac{{\iint }_{S}A\cdot dS}{\Delta V}\text{\hspace{1em}(3)}$$
矢量场的散度是个标量场。

2、散度的坐标表示式

上述散度的定义式(3)是与坐标的选取无关的，下面我们来研究它的直角坐标表示式。如图所示

以 $P$ 点为中心取一个棱边分别与 $x,y,z$ 轴平行的平行六面体，设边长分别为 $\Delta x,\Delta y,\Delta z$。现在来计算通过这平行六面体表面的通量。
先考虑与 $x$ 轴垂直的一对表面。它们的面积为 $\Delta y\Delta z$。设 $P$ 点的坐标为 $(x,y,z)$，则这一对表面的 $x$ 坐标分别为 $x-\Delta /2$ 和 $x+\Delta /2$，从而在这一对表面上的矢量场分别为 $A(x-\Delta x/2,y,z)$ 和 $A(x+\Delta x/2,y,z)$。在计算通量的时候，只有与表面垂直的分量，即 $A_x$ 分量起作用，它们在两表面上的数值分别是 $A_x(x-\Delta x/2,y,z)$ 和 $A_x(x+\Delta x/2,y,z)$，于是穿过这一对表面的通量分别是 $A_x(x-\Delta x/2,y,z)\Delta y\Delta z$ 和 $A_x(x+\Delta x/2,y,z)\Delta y\Delta z$，二者一进一出，它们的代数和为
$${\Phi }_1=A_x(x+\Delta x/2,y,z)\Delta y\Delta z-A_x(x-\Delta x/2,y,z)\Delta y\Delta z\text{\hspace{1em}(4)}$$
围绕 $P$ 点将 $A_x$ 按泰勒级数展开：
$$A_x(x\pm \frac{\Delta x}{2},y,z)=A_x(x,y,z)\pm \frac{\partial A_x}{\partial x}\frac{\Delta x}{2}+高次项\text{\hspace{1em}(5)}$$
于是
$${\Phi }_1=[A_x(x,y,z)+\frac{\partial A_x}{\partial x}\frac{\Delta x}{2}]\Delta y\Delta z-[A_x(x,y,z)-\frac{\partial A_x}{\partial x}\frac{\Delta x}{2}]\Delta y\Delta z+高次项\text{\hspace{1em}(6)}$$
即
$${\Phi }_1=\frac{\partial A_x}{\partial x}\Delta x\Delta y\Delta z+高次项\text{\hspace{1em}(7)}$$
同理可以得到穿过与 $y$ 轴和 $z$ 轴垂直的两对表面的通量代数和分别为
$$\begin{gathered} {\Phi }_2=\frac{\partial A_y}{\partial y}\Delta x\Delta y\Delta z+高次项 \\ {\Phi }_3=\frac{\partial A_z}{\partial z}\Delta x\Delta y\Delta z+高次项\text{\hspace{1em}(8)} \end{gathered}$$
最后我们得到穿过平行六面体六个表面的通量代数总和为
$$\begin{array}{rl}\Phi & =\iint A\cdot dS={\Phi }_1+{\Phi }_2+{\Phi }_3\\ & =(\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z})\Delta x\Delta y\Delta z+高次项\end{array}\text{\hspace{1em}(9)}$$
因为平行六面体的体积 $\Delta =\Delta x\Delta y\Delta z$，按照散度的定义式(3)得
$$\begin{array}{rl}▽\cdot A& =\underset{\Delta V\to 0}{\lim }\frac{{\iint }_{S}A\cdot dS}{\Delta V}\\ & =\underset{\Delta x\to 0,\Delta y\to 0,\Delta z\to 0}{\lim }\frac{(\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z})\Delta x\Delta y\Delta z+高次项}{\Delta x\Delta y\Delta z}\end{array}\text{\hspace{1em}(10)}$$
即
$$▽\cdot A=\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}\text{\hspace{1em}(11)}$$
这就是散度的直角坐标表示式，下面我们不加推导地写出散度在其他常用坐标中的表达式，以备参考。
柱坐标
$$▽\cdot A=\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho A_{\rho })+\frac{1}{\rho }\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \phi }+\frac{\partial A_z}{\partial z}\text{\hspace{1em}(12)}$$
球坐标
$$▽\cdot A=\frac{1}{{\gamma }^2}[\frac{\partial }{\partial \gamma }({\gamma }^2{A}_{\gamma })]+\frac{1}{\gamma \sin \theta }[\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta A_{\theta })]+\frac{1}{\gamma \sin \theta }\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \phi }\text{\hspace{1em}(13)}$$

3、高斯定理

在矢量场 $A(x,y,z)$ 中取任意闭合面 $S$，用 $V$ 代表它所包围的体积。如图(a)，用一曲面 $D$（下面叫它“隔板”）把体积 $V$ 及其表面 $S$ 分为两部分：$V_1$ 和 $V_2$，以及 $S_1^{\prime }$ 和 $S_2^{\prime }$，这里 $V_1+V_2=V,S_1^{\prime }+S_2^{\prime }=S$。体积 $V_1$ 的全部表面为 $S_1^{\prime }+D=S_1$，体积 $V_2$ 的全部表面为 $S_2^{\prime }+D=S_2$。穿过 $S_1$ 和 $S_2$ 的通量分别是
$$\begin{gathered} {\Phi }_1=\iint A\cdot d{S}_1={\iint }_{S_1^{\prime }}A\cdot d{S}_1+{\iint }_{D}A\cdot d{S}_1 \\ {\Phi }_2=\iint A\cdot d{S}_2={\iint }_{S_2^{\prime }}A\cdot d{S}_2+{\iint }_{D}A\cdot d{S}_2\text{\hspace{1em}(14)} \end{gathered}$$
在上右式中右端的第二项虽然都是矢量场 $A$ 穿过“隔板” $D$ 的通量，但是对于闭合高斯面 $S_1$ 和 $S_2$ 来说，在 $D$ 上的外法线 $n_1$ 和 $n_2$ 方向相反，所以这两项绝对值相等，但符号正好相反。于是
$$\begin{array}{rl}{\Phi }_1+{\Phi }_2& ={\iint }_{S_1^{\prime }}A\cdot d{S}_1+{\iint }_{S_2^{\prime }}A\cdot d{S}_2\\ & =\iint A\cdot dS=\Phi \end{array}\text{\hspace{1em}(15)}$$
也就是说，将闭合曲面 $S$ 所包围的空间用“隔板”隔开后，穿过两部分的通量的代数和不变，它仍等于穿过 $S$ 的总通量 $\Phi$。
以上结论不难推广到把 $V$ 分割成更多块的情况。这时我们有
$$\Phi =\sum _{i=1}^n{\Phi }_i\text{\hspace{1em}(16)}$$
如果把体积 $V$ 无限分割下去，使每块体积 $\Delta V_i$ 都趋于 0，则按照散度的定义，
$${\Phi }_i=\iint A\cdot d{S}_i=(▽\cdot A{)}_i\Delta V_i\text{\hspace{1em}(17)}$$
其中 $(\Delta \cdot A{)}_i$ 是 $A$ 的散度在体积元 $\Delta V_i$ 内的数值。把上式代入(16)：
$$\Phi =\iint A\cdot dS\approx \sum _{i=1}^n(▽\cdot A{)}_i\Delta V_i\text{\hspace{1em}(18)}$$
取极限后右端变为体积分：
$$\iint A\cdot dS={\iiint }_V▽\cdot AdV\text{\hspace{1em}(19)}$$
式(19)表明：矢量场通过任意闭合曲面 $S$ 的通量等于它所包围的体积 $V$ 内散度的积分。这就是矢量场论中的高斯定理。