1. 单自由度系统动力学方程

• 一般情况下的单自由度系统动力学方程
  $$m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=F(x)$$
• 无阻尼系统
  $$m\ddot{x}+kx=0$$
• 无阻尼自由振动
  令${\omega }_n^2=\frac{k}{m}$，则系统动力学方程为
  $$\ddot{x}+{\omega }_n^{2}x=0$$
  该方程的通解为：$x=C_{1}cos{\omega }_{n}t+C_{2}sin{\omega }_{n}t$，其中$C_1=x_0,C_2=\frac{{\dot{x}}_0}{{\omega }_n}$,$x_0,{\dot{x}}_0$分别是系统在初始时刻的位移与速度。
  另外，该方程也可以写成另一种形式$x=Xsin({\omega }_{n}t+\varphi )$，$X=\sqrt{x_0^2+(\frac{{\dot{x}}_0}{{\omega }_n}{)}^2}$，$\varphi =arctan\frac{{\omega }_n{x}_0}{{\dot{x}}_0}$，其中，$X$为系统的振幅，$\varphi$为系统的相位角。
• 周期与频率
  周期是系统振动一次所需的时间，频率是系统一秒钟振动的次数
  $$T=\frac{2\pi }{{\omega }_n}，f=\frac{1}{T}$$

2. 黏性阻尼单自由度系统的自由振动

• 动力学平衡方程
  $$\begin{gathered} m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=F(x) \\ \ddot{x}+2{\omega }_{\mathrm{n}}\zeta \dot{x}+{\omega }_{\mathrm{n}}^{2}x=0 \end{gathered}$$
• 阻尼比
  $$\zeta =\frac{c}{2m{\omega }_n}=\frac{c}{2\sqrt{mk}}$$
• 解得形式
  假设该方程的通解为$x=C{e}^{st}$，带入到原方程可得到微分方程特征方程的两个根：
  $$\begin{array}{l}{s}_1\\ s_2\end{array}\}=\left(-\zeta \pm \sqrt{{\zeta }^2-1}\right){\omega }_{\mathrm{n}}$$
  由此可知，系统的解将分为$\zeta <1,=1,>1$三种情况来讨论
• 过阻尼
  $\zeta >1$时，特征方程有两个不同的实根
  
• 临界阻尼情况
  $\zeta =1$时，特征方程有两个一样的实根，此时系统的运动状态与${\dot{x}}_0$的初值有关
  
• 欠阻尼情况
  $\zeta <1$时，特征方程无实根
  
  此时，系统的通解为
  $$x(t)=X{\mathrm{e}}^{-\zeta {\omega }_{\mathrm{n}}\mathrm{t}}\sin \left({\omega }_{\mathrm{n}}\sqrt{1-{\zeta }^2}t+\phi \right)$$
  其中，$X=\sqrt{x_0^2+(\frac{{\dot{x}}_0+\zeta {\omega }_n{x}_0}{{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}}{)}^2}$,$\phi =\arctan \frac{{\omega }_{\mathrm{n}}{x}_0\sqrt{1-{\zeta }^2}}{{\dot{x}}_0+\zeta {\omega }_{\mathrm{n}}{x}_0}$
  该系统的振动响应为一条周期曲线，曲线以${\omega }_{\mathrm{n}}\sqrt{1-{\zeta }^2}$为周期振动，同时以$X{\mathrm{e}}^{-\zeta {\omega }_{\mathrm{n}}\mathrm{t}}$进行衰减。
• 黏性振动系统的固有频率
  $${\omega }_{\mathrm{d}}={\omega }_{\mathrm{n}}\sqrt{1-{\zeta }^2},T_{\mathrm{d}}=\frac{2\pi }{{\omega }_{\mathrm{n}}\sqrt{1-{\zeta }^2}}$$
• 衰减率
  $$\eta =\frac{x_i}{x_{i+1}}=\frac{X{\mathrm{e}}^{-\zeta {\omega }_n\mathrm{t}}}{X{\mathrm{e}}^{-\zeta {\omega }_n\left(t+T_d\right)}}={\mathrm{e}}^{\zeta {\omega }_{\mathrm{n}}{\mathrm{T}}_{\mathrm{d}}}$$
  注意，这里的$x_i$与$x_{i+1}$是两个相邻正波峰的幅值
• 对数衰减率
  $$\delta =\ln \left(\frac{x_i}{x_{i+1}}\right)={\omega }_{\mathrm{n}}\zeta T_{\mathrm{d}}=\frac{2\pi \zeta }{\sqrt{1-{\zeta }^2}}$$

3. 正弦激励下的强迫振动

• 动力学平衡方程
  $$\ddot{x}+2{\omega }_{\mathrm{n}}\zeta \dot{x}+{\omega }_{\mathrm{n}}^{2}x=\frac{F_0}{m}\sin \omega t$$
• 频率比：激励频率与固有频率之比
  $$\gamma =\frac{\omega }{{\omega }_n}$$
• 解的形式
  $$\begin{array}{rl}x=& {\mathrm{e}}^{-\zeta {\omega }_{\mathrm{n}}\mathrm{t}}\left(\frac{{\dot{x}}_0+\zeta {\omega }_{\mathrm{n}}{x}_0}{{\omega }_{\mathrm{d}}}\sin {\omega }_{\mathrm{d}}t+x_0\cos {\omega }_{\mathrm{d}}t\right)\\ & +X{\mathrm{e}}^{-\zeta {\omega }_{\mathrm{n}}\mathrm{t}}\left(\frac{\zeta {\omega }_{\mathrm{n}}\sin \phi -\omega \cos \phi }{{\omega }_{\mathrm{d}}}\sin {\omega }_{\mathrm{d}}t+\sin \phi \cos {\omega }_{\mathrm{d}}t\right)\\ & +X\sin (\omega t-\phi )\end{array}$$
  其中，$X=\frac{F_0/k}{\sqrt{{\left(1-{\gamma }^2\right)}^2+(2\zeta \gamma {)}^2}},\phi =\arctan \frac{2\zeta \gamma }{1-{\gamma }^2}$，因为当经历足够长时间后，系统的响应趋于$X\sin (\omega t-\phi )$，因此$X\sin (\omega t-\phi )$也被称作系统的稳态响应。
• 周期激励下无阻尼系统的响应
  $$x=\frac{{\dot{x}}_0}{{\omega }_{\mathrm{n}}}\sin {\omega }_{\mathrm{n}}t+x_0\cos {\omega }_{\mathrm{n}}t+\frac{F_0}{k\left(1-{\gamma }^2\right)}\left(\sin \omega t-\gamma \sin {\omega }_{\mathrm{n}}t\right)$$
• 复频率响应函数
  $$H(\omega )=\frac{1}{1-{\gamma }^2+2i\zeta \gamma }$$
  响应的幅值也可以通过频响函数的模来表达
  $$X=|H(\omega )|\frac{F_0}{k}$$

4. 稳态响应分析

• 幅频特性曲线
  对于周期激励下的强迫振动，我们把响应的振幅$X$与最大激励力$F$所引起的静位移的比值称为动力放大系数或振幅放大因子。
  $$\beta =\frac{X}{F_0/k}=|H(\omega )|=\frac{1}{\sqrt{{\left(1-{\gamma }^2\right)}^2+(2\zeta \gamma {)}^2}}$$
  可以看到，动力放大系数其实就是系统频响函数的模
  
• 品质因子
  共振时的动力放大系数称为品质因子
  $$Q=\frac{1}{2\zeta }$$
• 半功率点与半功率带宽
  用一条$Q/\sqrt{2}$的水平直线截取幅频特性曲线，对应$P_1$，$P_2$两点的激振频率为${\omega }_1$，${\omega }_2$，$P_1$，$P_2$两点称为半功率点，${\omega }_1$，${\omega }_2$之差称为半功率带宽。
  
• 共振区
  一般把共振区取为
  $$\frac{{\omega }_1}{{\omega }_{\mathrm{n}}}<\gamma <\frac{{\omega }_2}{{\omega }_{\mathrm{n}}}$$
  共振区内的频响曲线称为共振峰。

5. 任意周期激励下的强迫振动

任意满足条件的周期函数，都可以展开成傅里叶级数
$$\dot{x}+2\zeta {\omega }_{\mathrm{n}}\dot{x}+{\omega }_{\mathrm{n}}^{2}x=\frac{a_0}{2m}+\frac{1}{m}\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos \frac{2n\pi }{T}t+b_n\sin \frac{2n\pi }{T}t\right)$$
解的形式为
$$x(t)=\frac{a_0}{2k}+\sum _{n=1}^{\infty }{\beta }_n\left\{\frac{a_n}{k}\cos \left(\frac{2n\pi t}{T}-{\alpha }_n\right)+\frac{b_n}{k}\sin \left(\frac{2n\pi t}{T}-{\alpha }_n\right)\right\}$$
其中，${\beta }_n=\frac{1}{\sqrt{{\left(1-n^2{\gamma }^2\right)}^2+(2n\zeta \gamma {)}^2}},\gamma =\frac{2\pi }{T{\omega }_{\mathrm{n}}},{\alpha }_n=\arctan \frac{2n\zeta \gamma }{1-n^2{\gamma }^2}$。
当然，方程也可以复数形式表达，求解起来也更为方便。

6. 任意激励下的强迫振动

6.1 单位脉冲激励下的响应

假设系统受到单位脉冲函数激励，则系统的动力学方程写为：
$$m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=\delta (t)$$
对该式进行积分，则可以得到：
$$\dot{x}\left(0^{+}\right)=\frac{1}{m}$$
上式说明系统受到脉冲激励后速度发生了突变，但是位移不变。此时，该问题由单位脉冲激励下的响应转化为一个带边界条件的自由振动问题。解的形式为
$$h(t)=\frac{{\mathrm{e}}^{-\zeta {\omega }_{\mathrm{n}}\mathrm{t}}}{m{\omega }_{\mathrm{n}}\sqrt{1-{\zeta }^2}}\sin \left({\omega }_{\mathrm{n}}\sqrt{1-{\zeta }^2}t\right)$$

6.2 任意激励下的响应

系统对任意激励的响应，可看作一系列脉冲激励的叠加，对任意如下的单位激励

系统的叠加响应为：
$$x(t)={\int }_0^{t}F(\tau )h(t-\tau )\mathrm{d}\tau$$
将系统对单位脉冲激励的响应带入进去，可以得到这段时间内的叠加响应
$$x(t)=\frac{1}{m{\omega }_{\mathrm{n}}\sqrt{1-{\zeta }^2}}{\int }_0^t{\mathrm{e}}^{-\zeta {\omega }_{\mathrm{n}}(t-\tau )}F(\tau )\sin \left[{\omega }_{\mathrm{n}}\sqrt{1-{\zeta }^2}(t-\tau )\right]\mathrm{d}\tau$$

6.3 傅里叶变换方法

• step1：将激励力与动力学方程从时域变换到频域当中
  $$\left(-m{\omega }^2+ic\omega +k\right)X(\omega )=F(\omega )$$
• srep2：求解系统的响应频谱
  $$X(\omega )=\frac{1}{k-m{\omega }^2+ic\omega }F(\omega )=\frac{1}{k}H(\omega )F(\omega )$$
• step3：将系统的解通过傅里叶逆变换返回到时域当中
  $$\begin{array}{rl}x(t)& =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{k}H(\omega )F(\omega ){\mathrm{e}}^{i\omega t}\mathrm{d}\omega =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{k}\frac{F(\omega )}{1-{\gamma }^2+2i\zeta \gamma }{\mathrm{e}}^{i\omega t}\mathrm{d}\omega \\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{F(\omega )}{k-m{\omega }^2+ic\omega }{\mathrm{e}}^{i\omega t}\mathrm{d}\omega \end{array}$$

6.4 拉普拉斯变换

采用拉普拉斯变换求解系统的响应与傅里叶变换方法相似，都是从时域→频域→时域的过程，这里不再赘述。