如何理解无偏估计

无偏估计：就是我认为所有样本出现的概率一样。假如有N种样本我们认为所有样本出现概率都是1/N。然后根据这个来计算数学期望。此时的数学期望就是我们平常讲的平均值。

数学期望本质就是平均值

无偏估计为何叫做“无偏”？它要“估计”什么？

• 回答第二个问题，它要估计的是整体的数学期望（平均值）。

那为何叫做无偏？有偏是什么？
假设这个是一些样本的集合$X=x_1,x_2,..,x_i,x_N$,我们根据样本估计整体的数学期望（平均值）。
因为正常求期望是加权和，啥叫加权和$E(X)=\sum (p_i\ast x_i)$这个就叫加权和。每个样本出现概率不一样，概率大的乘起来就大这个就产生偏重了对吧（有偏估计）。但是，但是我们不知道某个样本出现的概率啊。

比如你从别人口袋里面随机拿了3张钞票。两张是十块钱，一张100元，然后你想估计下他口袋里的剩下的钱平均下来每张多少钱（估计平均值）。

然后呢？

• 无偏估计计算数学期望就是认为所有样本出现概率一样大，没有看不起哪个样本。回到求钱的平均值的问题。无偏估计我们认为每张钞票出现概率都是$1/2$（因为只出现了10和100这两种情况，所以是1/2.如果是出现1 10 100三种情况，每种情况概率则是$1/3$）。哪怕拿到了两张十块钱，我还是认为十块钱出现的概率和100元的概率一样。不偏心。所以无偏估计，所估计的别人口袋每张钱的数学期望（平均值）=$10\ast 1/2+100\ast 1/2$
• 有偏估计 有偏估计那就是偏重哪些出现次数多的样本。认为样本的概率是不一样的。我出现了两次十块钱，那么我认为十块钱的概率是$2/3$，100块钱概率只有$1/3$. 有偏所估计的别人口袋每张钱的数学期望（平均值）=$10\ast 2/3+100\ast 1/3$。

为何要用无偏估计？

因为现实生活中我不知道某个样本出现的概率啊，就像骰子，我不知道他是不是加过水银。所以我暂时按照每种情况出现概率一样来算。