一、 基本关系运算符（核心的5种）

这5种运算符是关系代数的基础，其他运算符都可以由它们推导出来。

1. 选择 (Selection)

• 作用：根据给定的条件，从关系（表）中水平地筛选出满足条件的元组（行）。它就像是一个过滤器。

• 符号： σ (Sigma)

• 类比SQL： WHERE 子句。

• 示例：

  • 有一个关系 学生(学号, 姓名, 年龄, 系别)。

  • 查询所有计算机系的学生： σ_(系别='计算机系')(学生)

  • SQL对应： SELECT * FROM 学生 WHERE 系别 = '计算机系‘；

2. 投影 (Projection)

• 作用：从关系（表）中垂直地选取指定的属性列，并去除重复的行。

• 符号： π (Pi)

• 类比SQL： SELECT 后面指定列名。

• 示例：

  • 关系 学生(学号, 姓名, 年龄, 系别)。

  • 只查看所有学生的姓名和系别： π_(姓名, 系别)(学生)

  • SQL对应： SELECT 姓名, 系别 FROM 学生； (注意：SQL中除非使用DISTINCT，否则不会自动去重)

3. 并 (Union)

• 作用：将两个结构相同（属性数目相同且对应属性的数据类型兼容）的关系合并成一个新关系，并自动去除重复的元组。

• 符号： ∪

• 类比SQL： UNION 运算符。

• 示例：

  • 有关系 2019级学生(学号, 姓名) 和 2020级学生(学号, 姓名)。

  • 查询所有在校学生（不区分年级）： 2019级学生 ∪ 2020级学生

  • SQL对应： SELECT * FROM 2019级学生 UNION SELECT * FROM 2020级学生；

4. 差 (Difference)

• 作用：返回属于第一个关系但不属于第二个关系的所有元组。两个关系也必须结构相同。

• 符号： -

• 类比SQL： EXCEPT (在Oracle中是 MINUS)。

• 示例：

  • 有关系 选修了数学课的学生(学号, 姓名) 和 选修了英语课的学生(学号, 姓名)。

  • 查询只选修了数学课但没有选修英语课的学生： 选修了数学课的学生 - 选修了英语课的学生

  • SQL对应： SELECT * FROM 选修了数学课的学生 EXCEPT SELECT * FROM 选修了英语课的学生；

5. 笛卡尔积 (Cartesian Product)

• 作用：将两个关系中的元组进行所有可能的组合。如果第一个关系有m个元组，第二个有n个元组，结果就有m*n个元组。

• 符号： ×

• 类比SQL： CROSS JOIN 或者没有连接条件的多表查询。

• 示例：

  • 有关系 学生(学号, 姓名) (有2条记录) 和 课程(课程号, 课程名) (有3条记录)。

  • 它们的笛卡尔积会产生 2 * 3 = 6 条记录，表示所有学生和所有课程的可能组合。

  • SQL对应： SELECT * FROM 学生 CROSS JOIN 课程； 或 SELECT * FROM 学生, 课程；

二、 扩展关系运算符（由基本运算符导出）

这些运算符非常常用，可以看作是基本运算符的快捷方式。

6. 交 (Intersection)

• 作用：返回同时属于两个关系的所有元组。两个关系必须结构相同。

• 符号： ∩

• 推导： R ∩ S = R - (R - S)

• 类比SQL： INTERSECT。

• 示例：

  • 查询既选修了数学课又选修了英语课的学生： 选修了数学课的学生 ∩ 选修了英语课的学生

  • SQL对应： SELECT * FROM 选修了数学课的学生 INTERSECT SELECT * FROM 选修了英语课的学生；

7. 连接 (Join)

• 作用：在笛卡尔积的基础上，根据给定的连接条件筛选出有意义的元组。这是最常用、最重要的运算符之一。

• 符号： ⋈

• 推导： R ⋈_(条件) S = σ_(条件)(R × S) （即先做笛卡尔积，再进行选择）

• 类比SQL： 各种 JOIN (INNER JOIN, LEFT JOIN等)。

连接有多种类型，最核心的是等值连接和自然连接：

• 等值连接 (Equijoin)：连接条件是属性的相等比较。

  • 示例： 学生 ⋈_(学生.学号 = 选课.学号) 选课

• 自然连接 (Natural Join)：一种特殊的等值连接，它会自动比较两个关系中所有同名的属性，并在结果中去除重复的同名属性。这是最常用的连接。

  • 示例： 如果 学生 和 选课 表都有 学号 属性，那么 学生 ⋈ 选课 会自动按 学号 相等进行连接，结果中只有一个 学号 列。

8. 重命名 (Rename)

• 作用：修改关系或属性的名称，通常是为了连接自身（自连接）或使结果更清晰。

• 符号： ρ (Rho)

• 类比SQL： AS 关键字。

• 示例：

  • 将关系 学生 重命名为 S： ρ_S(学生)

  • 将属性 姓名 重命名为 学生姓名： ρ_(学生姓名 <- 姓名)(学生)

  • SQL对应： SELECT 姓名 AS 学生姓名 FROM 学生； 或 FROM 学生 AS S

9. 除 (Division)

• 作用：解决“查询包含了所有...”这类问题。例如，“查询选修了所有课程的学生”。

• 符号： ÷

• 推导： 相对复杂，可以理解为：关系R除以关系S的结果，是满足“结果与S的笛卡尔积包含在R中”的最大关系。

• 类比SQL： 没有直接对应的运算符，通常用 NOT EXISTS 双重嵌套子查询实现。

• 示例：

  • 选课(学号, 课程号) ÷ 所有课程(课程号) = 选修了所有课程的学号。

总结表