写在前面

        ~~~~~~~        由于专业学习的需要，最近开始学习强化学习的课程。目前看的书本是被誉为强化学习圣经的《Reinforcement Learning: An Introduction》，在学习过程中看到了两篇很好的笔记，强化学习导论(Reinforcement Learning: An Introduction)读书笔记(一)：强化学习介绍.
强化学习导论(Reinforcement Learning: An Introduction)读书笔记(二)：多臂赌博机(Multi-arm Bandits).
        ~~~~~~~        也用同样的风格写下第三章。
强化学习导论(Reinforcement Learning: An Introduction)读书笔记(三)：有限马尔可夫决策过程.
        ~~~~~~~        但是由于水平有限，只能作为模仿，自我整理，向大佬致敬。这是第四章的读书笔记。
        ~~~~~~~        非常感谢强化学习系列（四）：动态规划对于书中内容的整理，以及忆臻.文章，让我对动态规划有了更加深入的理解。

1.动态规划算法的核心

        ~~~~~~~        动态规划算法是为了在给定完整的环境模型的情况下，对马尔可夫决策过程MDP计算求解，得到最优策略的算法集合。其核心方法就是通过价值函数(value function)去寻求最优策略(optimal policy)。
        ~~~~~~~        在前一章我们得到了关于最优价值函数(optimal value function)$v_{\ast }$ 与$q_{\ast }$的方程：
$$\begin{array}{rl}{v}_{\ast }(s)& =\underset{a}{\max }\mathbb{E}[R_{t+1}+\gamma v_{\ast }(S_{t+1})|S_t=s,A_t=a]\\ & =\underset{a}{\max }\sum _{s^{\prime },r}p(s^{\prime },r|s,a)[r+\gamma v_{\ast }(s^{\prime })]\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}{q}_{\ast }(s,a)& =\mathbb{E}[R_{t+1}+\gamma \underset{a^{\prime }}{\max }{q}_{\ast }(S_{t+1},a^{\prime })|S_t=s,A_t=a]\\ & =\sum _{s^{\prime },r}p(s^{\prime },r|s,a)[r+\gamma \underset{a^{\prime }}{\max }{q}_{\ast }(s^{\prime },a^{\prime })],\end{array}$$
        ~~~~~~~        其中$s\in \mathcal{S}$，$a\in \mathcal{A}(s)$，以及$s^{\prime }\in {\mathcal{S}}^{+}$。动态规划算法(Dynamic Programming) 就是将贝尔曼方程(Bellman equation) 改写为迭代更新的格式。

2. 策略价值评估

在DP中，对某种策略(policy) $\pi$的情况下，状态价值函数(state-value function) 的计算方式在MDP 过程中已经给出。针对于所有的$s\in \mathcal{S}$:

$$\begin{array}{rl}{v}_{\pi }(s)& \doteq {\mathbb{E}}_{\pi }[G_t|S_t=s]\\ & ={\mathbb{E}}_{\pi }[R_{t+1}+\gamma G_{t+1}|S_t=s]\\ & ={\mathbb{E}}_{\pi }[R_{t+1}+\gamma v_{\pi }(S_{t+1})|S_t=s]\\ & =\sum _a\pi (a|s)\sum _{s^{\prime },r}p(s^{\prime },r|s,a)[r+\gamma v_{\pi }(s^{\prime })]\end{array}$$

        ~~~~~~~        该方程是一个同时存在$|\mathcal{S}|$个线性方程以及$|\mathcal{S}|$个未知数的的线性方程组，其计算过程非常直白，但是计算量可能会非常大。因此，我们采用迭代的方式将价值函数进行更新。利用上述式子中的Bellman 方程 更新的规则为：
$$\begin{array}{rl}{v}_{k+1}(s)& \stackrel{\cdot }{=}\mathbb{E}[R_{t+1}+\gamma v_k(S_{t+1})|S_t=s]\\ & =\sum _a\pi (a|s)\sum _{s^{\prime },r}p(s^{\prime },r|s,a)[r+\gamma v_k(s^{\prime })],\end{array}$$

        ~~~~~~~        其中，$s\in \mathcal{S}$。随着$k$值的不断变大，$k\to \infty$， { v k } \{v_k\} {vk​}序列可以保证在广泛意义下收敛到$v_{\pi }$。该方法被称为 迭代策略评估 (iterative policy evaluation)

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expected update: 状态$s$的新的价值(new value) 是基于旧价值(old value) 的期望得到的，所以这种更新也被称为期望的更新。

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2.1 两种迭代方式

两个数组： 两个数组是指在迭代过程中使用两个数组，一个用来存储旧的价值函数值，一个用来存储新的价值函数值。若第二数组被更新后，下一次更新继续覆盖第一个数组。该种更新方式就是整体得算价值函数，更新是全部的$s$状态一起更新的。
一个数组： 一个数组的迭代就是，针对于任何一个状态$s$，其状态价值更新后立刻覆盖旧的值。这样的计算收敛速度更快。

2.2 政策价值评估的算法

政策价值评估的算法流程图如下所示。其过程如下：

图1 政策价值评估的算法

        ~~~~~~~        需要注意的是，其他状态的初始值都是任意给定的，对于最终状态的价值，必须给0。

2.3 举例说明

        ~~~~~~~        下图为一个4X4的矩阵，代表了一个gridword,其规则如下：

图2 格子世界的展示

1. 每个奖励的折扣因子$\gamma$为1
2. 格子1，2，3，…，14为非终止状态
3. 两个灰色的格子为终止状态
4. 到达非终止状态的奖励 (reward) 为 -1，终止状态奖励为 0
5. 在非终止状态可以选择的动作为 A = { u p , d o w n , r i g h t , l e f t } \mathcal{A}=\{up, down, right, left\} A={up,down,right,left}，四个动作的概率相同。
6. 若执行动作后离开边界，下一个状态位置仍在原来保持不变。

基于这样的规则，可以迭代计算状态值来自知乎:叶强.

图3 迭代状态的计算

3.策略的改进与提升

3.1 如何提升策略

        ~~~~~~~        制定策略的目的是为了寻找最好的策略${\pi }_{\ast }$，但是在刚刚开始时，由于我们对每个状态 (states) 的价值 (value) 并不了解，策略是随机制定的。在对策略进行评估 (Policy Evaluation) 后，才有改进策略的可能。
        ~~~~~~~        讨论这样一种情况，有一个新的策略${\pi }^{\prime }$，其和策略$\pi$只在状态$s$处不同，其余均一致。在状态$s$下，动作价值函数的定义为：
$$\begin{array}{rl}{q}_{\pi }(s,a)& \doteq \mathbb{E}[R_{t+1}+\gamma v_{\pi }(S_{t+1})|S_t=s,A_t=a]\\ & =\sum _{s^{\prime },r}p(s^{\prime },r|s,a)[r+\gamma v_{\pi }(s^{\prime })]\end{array}$$
        ~~~~~~~        假设新策略满足：
$$q_{\pi }(s,{\pi }^{\prime }(s))\ge v_{\pi }(s)$$
        ~~~~~~~        那么策略 ${\pi }^{\prime }$ 必须与策略$\pi$同样好或者比策略$\pi$更好,即：
$$v_{\pi }^{\prime }(s)\ge v_{\pi }(s)$$
        ~~~~~~~        这样，我们就实现了我们的需求，我们的策略实现了提升 (policy improvement)

3.2 策略提升的证明

        ~~~~~~~        策略提升理论的证明过程如下：

$$\begin{array}{rlr}{v}_{\pi }(s)& \le q_{\pi }(s,{\pi }^{\prime }(s))& \\ & =\mathbb{E}[R_{t+1}+\gamma v_{\pi }(S_{t+1})|S_t=s,A_t={\pi }^{\prime }(s)]& \\ & ={\mathbb{E}}_{{\pi }^{\prime }}[R_{t+1}+\gamma v_{\pi }(S_{t+1})|S_t=s]& \\ & \le {\mathbb{E}}_{{\pi }^{\prime }}[R_{t+1}+\gamma q_{\pi }(S_{t+1},{\pi }^{\prime }(S_{t+1}))|S_t=s]& \\ & ={\mathbb{E}}_{{\pi }^{\prime }}[R_{t+1}+\gamma {\mathbb{E}}_{{\pi }^{\prime }}[R_{t+2}+\gamma v_{\pi }(S_{t+2})|S_{t+1},A_t={\pi }^{\prime }(s+1)]|S_t=s]& \\ & ={\mathbb{E}}_{{\pi }^{\prime }}[R_{t+1}+\gamma R_{t+2}+{\gamma }^2{v}_{\pi }(S_{t+2})|S_t=s]& \\ & \le {\mathbb{E}}_{{\pi }^{\prime }}[R_{t+1}+\gamma R_{t+2}+{\gamma }^2{R}_{t+3}+{\gamma }^3{v}_{\pi }(S_{t+3})|S_t=s]& \\ & ⋮& \\ & \le {\mathbb{E}}_{{\pi }^{\prime }}[R_{t+1}+\gamma R_{t+2}+{\gamma }^2{R}_{t+3}+{\gamma }^3{R}_{t+4}+\cdots |S_t=s]& \\ & =v_{{\pi }^{\prime }}(s)& \end{array}$$
公式解读：
$$q_{\pi }(s,{\pi }^{\prime }(s))=\mathbb{E}[R_{t+1}+\gamma v_{\pi }(S_{t+1})|S_t=s,A_t={\pi }^{\prime }(s)]$$
        ~~~~~~~        这部分将价值函数展开，采用不等式：$q_{\pi }(s,{\pi }^{\prime }(s))\ge v_{\pi }(s)$。将$v_{\pi }(s)$替换为$q_{\pi }(s,{\pi }^{\prime }(s))$，之后对每个状态$s$都进行替换，得到策略提升的证明结果！

4. 策略迭代

        ~~~~~~~        综合上面两部分讲，为了得到更好的策略，策略的评估 (Evaluation) 以及策略的提升 (improvement) 都非常重要。寻求一个最优策略意味着要反复利用这两点。
        ~~~~~~~        两者的反复组合就是策略迭代 (policy iteraction) 的过程。其变化过程可以表示为：
$${\pi }_0\stackrel{E}{\to }{v}_{{\pi }_0}\stackrel{I}{\to }{\pi }_1\stackrel{E}{\to }{v}_{{\pi }_1}\stackrel{I}{\to }{\pi }_2\stackrel{E}{\to }\cdots \stackrel{I}{\to }{\pi }_{\ast }\stackrel{E}{\to }{v}_{\ast }$$
公式解读： 本质上来说，策略迭代包括了两个部分，第一部分是针对给的的策略$\pi$，可以通过 Bellman 方程评估最优的价值函数，而通过上章内容，借助最优价值函数，我们可以对重新制定更好的策略${\pi }^{\prime }$…如此重复，就可以得到最优价值函数。
        ~~~~~~~        策略迭代的流程图 如下所示：

图4 策略迭代的流程图

5. 价值迭代

        ~~~~~~~        策略迭代的缺陷在于策略评估需要进行多次迭代。而我们其实是不需要等带价值函数 收敛的，对价值函数的迭代仅进行一次的迭代行为称为 价值迭代 (policy evaluation is stopped after just one sweep)，价值迭代的示意图如下：

价值迭代的流程图

6.动态规划的扩展

原位动态规划(In-place dynamic programming)
        ~~~~~~~        直接原地更新下一个状态的v值，而不像同步迭代那样需要额外存储新的v值。在这种情况下，按何种次序更新状态价值有时候会比较有意义。
重要状态优先更新(Priortised Sweeping)
        ~~~~~~~        对于那些重要的状态先更新

写在最后

        ~~~~~~~        关于这本《Reinforcement Learning: An Introduction》的英文原书，确实很难，自己看的也比较慢，希望可以继续坚持。希望能够和更多人一起交流！

链接: 这是《Reinforcement Learning: An Introduction》习题答案的链接，是一个博主自己写的。
链接: 这是《Reinforcement Learning: An Introduction》的代码示例，这个比较厉害.