整理：

• 图卷积的核心思想是利用『边的信息』对『节点信息』进行『聚合』从而生成新的『节点表示』
• GNN分为spectral domain和spatial domain：
  以前是谱域，涉及傅里叶变换、拉普拉斯矩阵等等（从信号与处理迁移过来的），现在逐渐转成空域，更简单一些。
  图上的空域：拓扑结构
  图上的频谱：没有一个直观的表示，只能用矩阵相乘的操作来表示。

谱域：

spectral domain（谱域）：设计中间的卷积核->好几代GCN （从傅里叶变换到拉普拉斯矩阵，到卷积）
离散卷积CNN -> 提取图拓扑结构，借助图谱的理论实现拓扑图上的卷积操作。借助于图的拉普拉斯矩阵的特征值和特征向量来研究图的性质。

1. 定义了Graph上的傅里叶变换、逆变换（从传统的傅里叶变换推广过来的）
2. 推广卷积，引入了一个卷积核的傅里叶变换 deep learning中的卷积参数$diag(\hat{h}({\lambda }_l))$
   ->四代GCN （现在都不用啦）
3. 卷积定理：函数卷积的傅里叶变换是函数傅立叶变换的乘积。（傅里叶变换有严谨的数学证明，图上没有良好的定义；因此借用傅里叶公式进行定义）

傅里叶变换是一种线性积分变换，用于信号在时域（或空域）和频域之间的变换

空域：

spatial domain（空域）：把每个顶点相邻的neighbors找出来。直接写出迭代公式，告诉我下一层是怎么变换的 （如何聚合，加权平均->添加自环… 如何考虑周到）
定义了图卷积和图聚合

总结

空间：卷积；频域：相乘
空间周期化 频域离散化
两种embedding方式，两种空间，有一一对应的关系。可以在空间上操作也可以频域上操作。

频谱是不知道长啥样的，对应一个物理含义。一开始是想利用卷积的操作，对应在非结构化的 卷积操作->GCN（图上进行卷积操作）
核心思想：卷积和聚合 信息传递的过程
不需要理解频域上的GCN，现在空域上的是主流~

图神经网络概述

青源Talk第7期|魏哲巍:图神经网络的理论基础

相关定义：

基本概念：

• 邻居矩阵 A
• 度矩阵D：刻画邻居数量
• 归一化邻接矩阵：$P=D^{-1/2}A{D}^{-1/2}$ ；值代表权重：两个节点度数开根号相乘；也是对称矩阵
  （拉普拉斯矩阵就是 $L=D-A$，归一化就是前后乘上$D^{-1/2}$，展开就是了）
• 归一化拉普拉斯矩阵：$L=I-D^{-1/2}A{D}^{-1/2}$；和$p$比： 对角线上都是1，其他地方取负数
• 节点特征矩阵：$n\times f$
  $D^{-1/2}$怎么算的：两个$D^{-1/2}$乘起来为$D^{-1}$，所以先算出来D的逆矩阵，即取倒数 开根号（对角矩阵的逆矩阵就是对角线元素的倒数）

图卷积神经网络：

1. 在图结构上聚合邻居的特征信息，进行消息传递
2. 借助神经网络训练消息传递中的权重
   $$H^{(l+1)}=\sigma (\tilde{P}{H}^{(l)}{W}^{(l)})$$

和CNN不同，权重是可以自定义的，GCN中的权重与度数相关

**图神经网络任务：**节点分类、链接预测、社区发现

滤波器（GNN的谱域解释）

通过拉普拉斯矩阵L对图信号进行操作，可以平滑噪声。

矩阵x特征向量 相当于对特征向量进行放缩，只改变大小不改变它的方向
L是对称矩阵，就可以拆成 特征向量x对角阵x特征向量的转置；其中特征向量是相互正交的

图傅里叶变换：

1. L特征分解： $L=U\Lambda U^T$ 因为L是对称矩阵嘛，可以这样拆
2. 图信号的傅里叶变换：$\hat{x}=U^{T}x$ 特征向量组成的矩阵的转置乘初始信号
3. 图信号的傅里叶逆变换：$x=U\hat{x}$

为什么叫傅里叶变换：将图信号x变化到特征向量$u_1,u_2,...,u_n$组成的正交基坐标下
和传统傅里叶变换有一个对应性， 时域上的信号

• （卷积定理）卷积的傅里叶变换等于两个图信号傅里叶变换的点积
• GCN相当于地通滤波器，叠多层会过平滑

随机游走（GNN的空域解释）

等概率
过平滑的本质：从特征出发的随机游走收敛到稳态，忘记了初始特征

网站总结

GCN 总结

• spatial domain：提取空间特征，把每个顶点的neighbors找出来
• spectral domain：借助图谱的理论实现拓扑图上的卷积操作。借助于图的拉普拉斯矩阵的特征值和特征向量来研究图的性质

常用拉普拉斯矩阵有三种

1. $L=D-A$
2. $L^{sys}=D^{-1/2}L{D}^{-1/2}$
3. $L^{rw}=D^{-1}L$