金融数据分析导论——基于R语言
机械工业出版社 作者：Ruey S. Tsay [美] 芝加哥大学

资产收益率

大多数金融研究都是针对资产收益率，而不是资产价格。
Campbell等（1997）给出了使用资产收益率的两个主要原因：

• 对于一个普通的投资者来说，资产收益率代表一个完全的、尺度自由的投资机会的总结和概括
• 资产收益率序列比价格系列更容易处理，有更好的统计特性

单期简单收益率

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-905">1+R_t[k]=\frac{P_t}{P_{t-1}}</script>
多期简单收益率
多期就是单期的相乘，分子分母约去，可以简化为
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-906">1+R_t[k]=\frac{P_t}{P_{t-k}}</script>
连续复利收益率

连续复合收益率（对数收益率）
资产的简单毛收益率的自然对数称为连续复合收益率或对数收益率（log-return）
连续复合多期收益率是它所包含的连续复合单期收益率之和；其次，对数收益率具有更容易处理的统计特性

资产组合收益率
资产组合的简单净收益率是它所包含的各项资产的简单净收益率的加权平均，其中每项资产的权重是该资产价值占资产组合总价值的百分比

红利支付
如果一项资产周期性地支付红利，我们则需要修改资产收益率的定义

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-907">R_t=\frac{P_t+D_t}{P_{t-1}}</script>
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-908">r_t=ln(P_t+D_t)-ln(P_{t-1})</script>
其中，两式分别为该参照资产的简单收益率和对数收益率， Dt D t <script type="math/tex" id="MathJax-Element-909">D_t</script>是一项资产在第t-1天和第t 天之间支付的红利

超额收益率
一项资产在t时刻的超额收益率是该项资产的收益率与某项参照资产的收益率之差。参照资产通常是无风险的，比如美国短期国债收益率。
在金融学文献中，超额收益率被认为是一个套利投资组合的盈利。

*例题1 关于多期收益率计算，对数收益率是相加，简单收益率是相乘

债券的收益和价格

当期收益率

到期收益率
当期收益率没有考虑货币的时间价值，因为它没有考虑投资者未来收到的债券利息的当前价值。因此，较为常用的债券收益是到期收益率（Yield To Maturity，YTM），不过，计算比较复杂，需要贴现。

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-940">P=\frac{C_1}{1+y}+\frac{C_2}{(1+y)^2}+……+\frac{C_k+F}{(1+y)^k}</script>
其中， F F <script type="math/tex" id="MathJax-Element-941">F</script> 为债券面值，Ci $C_i$<script type="math/tex" id="MathJax-Element-942">C_i</script> 是第i期的利息支付， y y <script type="math/tex" id="MathJax-Element-943">y</script> 为债券的到期收益率，P $P$<script type="math/tex" id="MathJax-Element-944">P</script> 为债券的价格
可以看出，到期收益率和债券价格成反比的

隐含波动率

如果期权在立即执行时给其持有人的现金流为正，称这种期权为价内期权（in-the-money）
类似的定义还有 价外期权（out-of-money） 平价期权（at-the-money）
在实践中，我们可以用观测到的股票价格和BS模型来反向推到出其波动率，这个波动率称为隐含波动率。

R软件包及其演示

R软件包安装
Quantmod软件包

#选择软件源，然后安装对应包
install.packages()

#每次使用需要载入
library(quantmod)

收益率的分布性质

统计分布及其矩的回顾
联合分布

边际分布
一个随机变量的分布函数是非递减的，对于给定的概率 p p <script type="math/tex" id="MathJax-Element-2808">p</script>，使 p≤Fx(xp) $p\le F_x(x_p)$<script type="math/tex" id="MathJax-Element-2809">p \le F_x(x_p)</script> 成立的最小实数 xp x p <script type="math/tex" id="MathJax-Element-2810">x_p</script> 称为随机变量的第 p p <script type="math/tex" id="MathJax-Element-2811">p</script> 分位数（quantile），更具体得，

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-2812">x_p=inf\{x|p \le F_x(x)\}</script>

条件分布

随机变量的矩
一个连续性随机变量X的 l l <script type="math/tex" id="MathJax-Element-2813">l</script> 阶矩定义为

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-2814">m_l=E(X^ \ell)=\int x^ \ell f(x)dx</script>
第 ℓ ℓ <script type="math/tex" id="MathJax-Element-2815">\ell</script>阶中心距定义为

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-2816">m_t=E[(X- \mu _x)^ \ell]=\int (x-\mu _x)^ \ell f(x)dx</script>
一阶矩 ———————– 均值(mean)或期望(expectation)
二阶中心矩 —————– 方差(variance）
三阶中心矩（标准化后） 偏度(skewness)
四阶中心矩（标准化后） 峰度(kurtosis)

金融数据的可视化

在研究股票的价格波动，我们一般会考虑股票的日开盘价、最高价、最低价、和收盘价
移动平均曲线（moving-average）

一些统计分布

正态分布
在金融研究中，传统的假设是：简单收益率是独立同分布的，且都服从一个固定的均值和方差的正态分布，这是的资产收益率的统计性质变得易于处理，但是有这样几点不足：

• 简单资产收益率的下界为-1，而正态分布可以取实轴上的任意值
• 如果 Rit R i t <script type="math/tex" id="MathJax-Element-3053">R_{it}</script> 是正态分布，那么多期的简单收益率是单期收益率的乘积，不再是正态分布
• 很多资产收益率都存在正的超额峰度，因为很多实证结果均不支持正态性的假设

对数正态分布
方便计算，对数后服从正态分布

稳态分布
稳态分布式正态分布的自然推广，它们在加法运算下是稳定的，这一点满足连续复合收益率的要求，而且，稳态分布能刻画股票的历史收益率所显现出来的？超额峰度

正态分布的尺度混合
在最近的股票收益率研究中，人们倾向于利用正态分布的尺度混合或有限回合，在正态分布的尺度混合假定下，对数收益率 ri r i <script type="math/tex" id="MathJax-Element-3054">r_i</script> 服从均值 μ μ <script type="math/tex" id="MathJax-Element-3055">\mu</script> 、方差为 σ2 σ 2 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-3056">\sigma ^2</script>的正态分布

多元收益率