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        大家说神经网络的训练，本身是一个黑盒操作，主要一部分原因就是其中的训练，很多时候没有办法做出合理性解释。也就是说，不知道为什么要按照这个方向去进行收敛，这个方向收敛对最终特征的形成有什么作用，很多时候都是不知道的。假设有这么一个模型，即y=f(x)。这个函数，或者说模型，其实是预先设定好的框架。但是里面的参数是未知的，我们有的只是一堆数据，当下的工作就是用这堆数据把模型里面的参数训练好，使得它最大程度上符合y=f(x)的要求。

1、从数据中学习

        不管是简单的方程，还是复杂的方程，使用神经网络的目的都是为了训练里面的参数。并且，相比较传统的y=f(x)来说，神经网络的方程，参数要多得多，可能是几百万、几亿个。这么多的参数，是不可能人工去拟合的，只能靠很多很多的数据去训练获得。所以，本质上神经网络是一种数据驱动式的学习方式。

        如上图所说，最早的学习，都是人工去直接建模，想办法解决。后来变成了人工设计特征，利用svm这些算法去进行分类处理。最新的神经网络，则直接让机器自己去寻找特征。这就是所谓的端到端，说的就是输入和输出之间，没有人为参与的痕迹。

        大家看到的卷积，比如之前所说的 (784)*(784*m)*(m*n)*(n*p)*...*(z*10) * (10*1)，中间不停地变换和修正，就是一个找特征的过程。至于是不是真的存在可解释的特征，这一点待定。

2、构建残差方程

        要想让神经网络训练起来，那么有必要构建一个残差方程。这个残差方程，有的地方叫损失函数，其实是一个意思。就是说，我们构建的方程，必须要保证预测结果和实际结果的误差最小。用数学方程表示，你可以是绝对值最小，可以是平方差最小，可以是四方差最小等等，这都是可以的。只是目前都习惯用均方误差来构建残差方程。

        当前，还有一种交叉熵，也是出现在很多场合使用的。

        前面我们说过，很多时候，神经网络的训练都是一批一批进行。这里的一批，就是从训练数据找出若干个进行训练，那么这样的话，上面的交叉熵就会变成这样，

        有了这个残差方程，我们的神经网络训练就算有了一个基础和目标。因为训练的最终目的，就是为了让预测结果和实际结果，尽量地吻合。

3、梯度下降

        既然准备好了残差方程，那么怎么解这个残差方程呢，答案就是梯度下降的办法。所谓的梯度，就是对应参数的导数。什么是梯度下降呢，就是说参数调整的方向，要和当前的梯度值相反，当然中间还有一个学习率、初始值的问题。

        某一个点，如果当前的梯度值 > 0，代表它正处在增长的方向，那么这个时候参数就要往左移动一下。但是，如果当前的梯度值 < 0，代表它正处在下降的方向，那么这个时候参数就要往右移动一下。y=f(x)当中一般有多少参数需要训练，就要进行多少次梯度的计算。

        当然梯度是神经网络的概念，从数学的角度来说，梯度就是导数的意思。

4、直接法求解导数

        导数，如果用数学的概念，就是某个参数在某一个方向的切线，或者是切面，或者是更高维度的某个微分结果。如果是比较简单的函数，类似于y=wx+b，那么方程对x的导数就是w本身。或者y=x**2，那么导数就是2x本身，不再是一个常数了。

        当然，计算导数不会这么简单。如果中间出现套娃的情况，怎么处理呢？比如y=t**2，t = wx+b，这种情况下怎么对x求导？

        遇到这种情况，其实也不用紧张，我们一般是先对t进行求导，然后t对x进行求导，这样两个数相乘，就是y对x的求导结果。比如这里，y对x的求导结果就是2(wx+b)*w。

5、数值法求导

        除了直接法求导之外，还可以通过数值法进行求导。还是上面y=t**2，t=wx+b的例子，这种情况下，可以让x=x+delta_x，看看y发生了多大的改变，这个时候，delta_y/delta_x就是我们所需要的导数，

def numerical_diff1(f,x):
    h=10e-50
    return (f(x+h)-f(x))/h

        但是实际运行的时候，我们会发现，但数据位于（-e-6，e-6）之间的时候，都会被认为是0，所以这个方程需要进行修改成这样，

def numerical_diff(f,x):
    h=1e-4
    return (f(x+h)-f(x))/h

6、偏导数的求解

        当方程当中多于一个参数的时候，就要求解偏导数。偏导数看上去复杂，其实只要把其他参数在计算的时候，看成是常量即可。比如，如果y=x0*x1，那么y对x0的导数就是x1，y对x1的导数就是x0，就是这个道理。

        再举一个例子，如果y=x0**2+x1**2，这种情况下，y对x0的导数就是2x0，对x1的导数就是2x1，和对方参数完全没有关系。当然这是直接法求解偏导数，如果是数值法，其实也是可以求解出来的。

7、再从偏导数回到残差方程

        我们一路从残差方程讲到偏导数，本质上还是要把概念弄清楚，最终还是为了求解残差方程。相信有了这一路的讲解，至少可以解决简单的残差方程问题，比如某一个曲线的匹配。类似于下面这段代码，就是一段曲线的匹配，

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Gradient descent fitting for quadratic curve:
    y = k1 * x^2 + k2 * x + k3
Compatible with Python 2 and Python 3
"""

import time
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


def fit_quadratic_gd(x, y, lr=1e-4, epochs=5000, verbose=True):
    """
    Fit parameters k1, k2, k3 for y = k1*x^2 + k2*x + k3 using gradient descent.

    Args:
        x: 1D numpy array
        y: 1D numpy array
        lr: learning rate
        epochs: number of iterations
        verbose: print training info

    Returns:
        k1, k2, k3, loss_history
    """
    x = np.asarray(x, dtype=float)
    y = np.asarray(y, dtype=float)
    n = len(x)

    # Initialize parameters
    k1, k2, k3 = 0.0, 0.0, 0.0
    loss_history = []

    for epoch in range(epochs):
        # Forward
        y_pred = k1 * x**2 + k2 * x + k3
        error = y_pred - y
        loss = np.mean(error**2)
        loss_history.append(loss)

        # Gradients
        grad_k1 = (2.0 / n) * np.sum(error * x**2)
        grad_k2 = (2.0 / n) * np.sum(error * x)
        grad_k3 = (2.0 / n) * np.sum(error)

        # Parameter update
        k1 -= lr * grad_k1
        k2 -= lr * grad_k2
        k3 -= lr * grad_k3

        if verbose and (epoch % max(1, epochs // 10) == 0 or epoch < 10):
            print("epoch %5d  loss=%.6f  k1=%.6f  k2=%.6f  k3=%.6f" %
                  (epoch, loss, k1, k2, k3))

    return k1, k2, k3, np.array(loss_history)


if __name__ == "__main__":
    # Generate sample data
    np.random.seed(int(time.time()))
    x = np.linspace(-5, 5, 100)
    true_k1, true_k2, true_k3 = 0.5, -1.2, 3.0
    y_true = true_k1 * x**2 + true_k2 * x + true_k3
    y = y_true + np.random.normal(0, 1.0, size=x.shape)

    # Fit
    k1, k2, k3, loss_hist = fit_quadratic_gd(x, y, lr=1e-4, epochs=100000)

    print("\nFitted parameters:")
    print("k1 = %.6f,  k2 = %.6f,  k3 = %.6f" % (k1, k2, k3))

    # Plot result
    plt.figure(figsize=(8, 4))
    plt.scatter(x, y, s=10, label="data")
    plt.plot(x, y_true, 'g--', label="true")
    plt.plot(x, k1 * x**2 + k2 * x + k3, 'r', label="fit")
    plt.legend()
    plt.show()

        运行起来，效果就是这样的，

        对应的训练过程就是这样的，

C:\Users\feixiaoxing\Desktop\python_ai\exer>C:\Python27\python curve.py
epoch     0  loss=79.119580  k1=0.017962  k2=-0.002021  k3=0.001444
epoch     1  loss=75.874032  k1=0.035454  k2=-0.004038  k3=0.002857
epoch     2  loss=72.793869  k1=0.052489  k2=-0.006051  k3=0.004240
epoch     3  loss=69.870567  k1=0.069078  k2=-0.008062  k3=0.005594
epoch     4  loss=67.096043  k1=0.085233  k2=-0.010069  k3=0.006919
epoch     5  loss=64.462632  k1=0.100966  k2=-0.012072  k3=0.008217
epoch     6  loss=61.963061  k1=0.116287  k2=-0.014072  k3=0.009488
epoch     7  loss=59.590434  k1=0.131207  k2=-0.016069  k3=0.010732
epoch     8  loss=57.338212  k1=0.145738  k2=-0.018062  k3=0.011951
epoch     9  loss=55.200191  k1=0.159888  k2=-0.020052  k3=0.013144
epoch 10000  loss=1.685333  k1=0.572827  k2=-1.188331  k3=1.803164
epoch 20000  loss=1.122635  k1=0.525252  k2=-1.188331  k3=2.528632
epoch 30000  loss=1.026787  k1=0.505617  k2=-1.188331  k3=2.828047
epoch 40000  loss=1.010460  k1=0.497513  k2=-1.188331  k3=2.951621
epoch 50000  loss=1.007679  k1=0.494168  k2=-1.188331  k3=3.002622
epoch 60000  loss=1.007206  k1=0.492788  k2=-1.188331  k3=3.023672
epoch 70000  loss=1.007125  k1=0.492218  k2=-1.188331  k3=3.032359
epoch 80000  loss=1.007111  k1=0.491983  k2=-1.188331  k3=3.035945
epoch 90000  loss=1.007109  k1=0.491886  k2=-1.188331  k3=3.037425

Fitted parameters:
k1 = 0.491846,  k2 = -1.188331,  k3 = 3.038035