系列笔记：
【强化学习的数学原理】课程笔记–1（基本概念，贝尔曼公式）
【强化学习的数学原理】课程笔记–2（贝尔曼最优公式，值迭代与策略迭代）
【强化学习的数学原理】课程笔记–3（蒙特卡洛方法）
【强化学习的数学原理】课程笔记–4（随机近似与随机梯度下降，时序差分方法）
【强化学习的数学原理】课程笔记–6（Actor-Critic方法）

值函数近似

回忆前面章节所介绍的各种强化学习算法，在求解 state value 和 action value 时：
$$v_{\pi }=\left[v_{\pi }(s_1),v_{\pi }(s_2),\cdots ,v_{\pi }(s_n)\right]$$

$$q_{\pi }=\left[\begin{array}{cccc}{q}_{\pi }(s_1,a_1)& q_{\pi }(s_1,a_2)& \cdots & q_{\pi }(s_1,a_m)\\ q_{\pi }(s_2,a_1)& q_{\pi }(s_2,a_2)& \cdots & q_{\pi }(s_2,a_m)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ q_{\pi }(s_n,a_1)& q_{\pi }(s_n,a_2)& \cdots & q_{\pi }(s_n,a_m)\end{array}\right]$$

都是对上述一维或者二维向量 （后面统称 tabular）里的值一个个求解的。这样在实际使用中有一个问题，当 state space 以及 action space 非常大时，需要求解以及储存的未知量都会非常大。为了缓解这样的情况，因此提出了 值函数近似 的想法（NOTE：前面基于 tabular 的求解是精确求解，而这里的值函数是 近似 求解，相当于为了减少计算/存储量，牺牲了一定的精度）

一个例子

下面我们看一个例子，首先看一下用前面精确求解时得到的准确结果：

前面基于 tabular 的算法，求到的结果即是 $(b)$。这里为了方便理解，我们将 $(b)$ 中的 tabular 画成了图像 $(c)$，其中的底面对应的是 (state_index, action_index)。

那么值函数近似，即想拟合 $(c)$ 中的图像。这里的图像明显是个高阶的曲面，且阶数约高，拟合得越好（因为高阶函数总可以拟合低阶的函数），但一味追求高阶会使得计算复杂度上升，相当于又回到了 tabular 的算法 （事实上，只要阶数够高，值函数是可以完全拟合 tabular 算法的）。所以下面我们进行几个实验，将阶数从低往高逐渐提升，来看值函数近似的效果：

线性值函数近似可以写成：
$$\hat{v}(s,w)={\varphi }^T(s)w\varphi (s),w\in {\mathbb{R}}^{n\times 1}$$
其中 ${\varphi }^T(s)$ 是特征函数，用于描述函数的形式，例如：是直线，平面，还是 n 阶曲面。 $w$ 则是要求的参数

图中从左到右，函数的阶分别为 1 阶，2 阶，3 阶：
$$\begin{array}{rl}{\varphi }^{(1)}(s)& =[1,x,y]\\ {\varphi }^{(2)}(s)& =[1,x,y,x^2,y^2,xy]\\ {\varphi }^{(3)}(s)& =[1,x,y,x^2,y^2,xy,x^3,y^3,x^{2}y,x{y}^2]\end{array}$$

可以看到，阶数越高，对图像 $(c)$ 的拟合越好，这意味着值函数近似求到的策略与最优策略越接近，但同时需要求解的参数也更多了（$dim(w)$ 分别为 3，6，10）。

泛化性

同时由于值函数近似的建模方式，在之前的 tabular-based 算法中，我们需要对每个 state 都访问足够多次，才能获得每个 state 较为准确的 state value，但值函数的建模方式，使得每个样本对于参数 $w$ 的修改，都能作用于其他的 state，所以值函数近似相比 tabular-based 算法有更强的泛化性。

特征函数 $\varphi (s)$ 的选择

从上面的例子也不难发现，其实特征函数 $\varphi (s)$ 的选择是非常 nontrival 的，如果特征函数的选择与实际的情况差别比较大，是很难学到好的 policy 的，这也是实际中，当问题比较复杂且先验知识比较小时，往往会选择神经网络来作为特征函数，因为神经网络具有可以拟合任何函数的效力（see：为什么神经网络可以拟合任何函数）。当然这种情况下，$\hat{v}(s,w)$ 就不再能写成 $\hat{v}(s,w)={\varphi }^T(s)w$ 这样线性的形式了。

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TD 算法的值函数近似形式

首先给出 目标函数
$$J(w)=E[(v_{\pi }(S)-\hat{v}(S,w){)}^2]$$
由梯度下降：
$$w_{k+1}=w_k-{\alpha }_k{\nabla }_{w}J(w_k)$$
$$\begin{array}{rl}{w}_{k+1}& =w_k-{\alpha }_k{\nabla }_{w}J(w_k)\\ & =w_k-{\alpha }_{k}E[{\nabla }_w(v_{\pi }(S)-\hat{v}(S,w_k){)}^2]\\ & =w_k+2{\alpha }_{k}E[(v_{\pi }(S)-\hat{v}(S,w_k)){\nabla }_w\hat{v}(S,w_k)]\end{array}$$
用 SGD 算法，则有：
$$w_{t+1}=w_t+{\alpha }_t(v_{\pi }(s_t)-\hat{v}(s_t,w_t)){\nabla }_w\hat{v}(s_t,w_t)$$
其中 ${\alpha }_t$ 等于上面的 $2{\alpha }_k$。但这里有一个问题，$v_{\pi }$ 就是我们要求的，所以它实际是未知的，跟深度学习一样，这里用样本来替代 golden truth $v_{\pi }(s_t)$。与上一章类似，这里根据样本来更新参数也分成两种办法：

• 蒙特卡洛方法：先采一条 episode $(s_0,r_1,s_1,r_2,...)$，记 $g_t$ 为其中从 $s_t$ 出发的 trajectory 的 disounted return，那么：
  $$w_{t+1}=w_t+{\alpha }_t(g_t-\hat{v}(s_t,w_t)){\nabla }_w\hat{v}(s_t,w_t)$$

• TD 方法：每拿到一个样本 $(s_t,r_t,s_{t+1},r_{t+1})$，TD target 为：${\bar{v}}_t=r_{t+1}+\gamma v_t(s_{t+1})$，这里就用 ${\bar{v}}_t$ 来近似 $v_{\pi }(s_t)$， 迭代式变成：
  $$w_{t+1}=w_t+{\alpha }_t(r_{t+1}+\gamma {\hat{v}}_t(s_{t+1})-\hat{v}(s_t,w_k)){\nabla }_w\hat{v}(s_t,w_k)$$

NOTE：TD 方法中，用样本 $r_{t+1}+\gamma {\hat{v}}_t(s_{t+1})$ 代表 golden truth 会导致一个问题，即模拟的这个 golden truth 永远也不会逃出特征函数 $\varphi (s)$ 的特征空间（因为样本就是当前 Policy 生成的，而当前 Policy 的 state value， 是用我们假设的特征空间中的向量表示的），由于特征空间是根据先验给定的，不一定与实际情况相符 ，所以使用上述 TD 方法，实际求解的是：
$$J(w)=E((\hat{v}(w)-M{v}_{\pi }(w){)}^2)$$
其中 $M$ 是将所有向量投影至特征函数展开的特征空间的投影矩阵

这样 当特征空间无法表达真实的 $v_{\pi }$ 时，会出现：在样本上训练误差不断减少甚至到0，但与 optimal state value 对比计算的 state value error 却在下降到一定程度后就无法再继续下降了。eg:

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Sarsa, Q-learning 的值函数近似形式

Sarsa 与上述 TD 算法的区别在于，它是直接求解 action value 的，回忆 Sarsa 的 tabular 形式：
$$q_{t+1}(s_t,a_t)=q_t(s_t,a_t)-{\alpha }_t(s_t,a_t)[q_t(s_t,a_t)-(r_{t+1}+\gamma q_t(s_{t+1},a_{t+1}))]$$
其值函数形式为：
$$w_{t+1}=w_t+{\alpha }_t[r_{t+1}+\gamma \hat{q}(s_{t+1},a_{t+1},w_t)-\hat{q}(s_t,a_t,w_t)]{\nabla }_w\hat{q}(s_t,a_t,w_t)$$
算法：

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同理，Q-learning 的 tabular 形式：
$$q_{t+1}(s_t,a_t)=q_t(s_t,a_t)-{\alpha }_t(s_t,a_t)[q_t(s_t,a_t)-(r_{t+1}+\gamma \underset{a}{\max }{q}_t(s_{t+1},a))]$$
其值函数形式为：
$$w_{t+1}=w_t+{\alpha }_t[r_{t+1}+\gamma \underset{a}{\max }\hat{q}(s_{t+1},a_{t+1},w_t)-\hat{q}(s_t,a_t,w_t)]{\nabla }_w\hat{q}(s_t,a_t,w_t)$$
算法：

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Deep Q-learning

Deep Q-learning 是将深度学习应用于上述 Q-learning 值函数形式的算法，其中有一些非常经典的实践技巧值得一看。跟 Q-learning 一样，其目标函数：
$$J(w)=E[(R+\gamma \underset{a}{\max }\hat{q}(S^{\prime },a,w)-\hat{q}(S,A,w){)}^2]$$
实际也相当于在求贝尔曼最优公式，因为上式为0时，也就等价于：
$$q(s,a)=E[R_{t+1}+\gamma \underset{a}{\max }q(S_{t+1},a)|S_t=s,A_t=a]$$

但在对 $J(w)$ 求导时有一个难点：${\max }_a\hat{q}(S^{\prime },a,w)$ 首先不一定是可微的，其次要求这一项的复杂度也非常高（要求对所有可能的 action 都进行求解），最后这一项的梯度往往非常不稳定，不利于模型的收敛。因此 DQN 引入了 target network 的概念：在一定时期内，将 target nerwork 的参数 $w_T$ 固定住，认为是常值，而只对当前步的 $\hat{q}(S,A,w)$ 求导。然后每隔一段时间，再将 main network 中更新到的 $w$ 赋给 $w_T$ 。即
$${\nabla }_{w}J(w)=-E[(R+\gamma \underset{a}{\max }\hat{q}(S^{\prime },a,w)-\hat{q}(S,A,w)){\nabla }_w\hat{q}(S,A,w)]$$

NOTE：实际使用中，由于深度学习一般是 mini-batch 进行训练的，因此上式的更新实际也是 mini-batch，而不是单个样本。

experience replay

DQN 中还用到了一种叫 experience replay 的采样技术，即对于样本 $(s_t,a_t,r_{t+1},s_{t+1})$，在使用时无需再像之前算法当中那样，根据其在 trajectory 中的顺序来取。而是可以将样本都打散之后，在样本集中随机采样一批来进行迭代更新。这样做的好处是：

1. 打破时间相关性：强化学习环境中的连续经验通常是高度相关的，这会导致模型在训练时的高方差和低效率。通过随机采样，经验回放打破了这种时间相关性，使得训练样本更加独立同分布，从而提高了模型的训练稳定性和效率。
2. 提高数据利用率：传统的 Q-learning 在每次更新时仅使用最新的经验，可能会浪费之前收集到的宝贵经验。而经验回放可以重用过去的经验，从而提高数据的利用率，使得训练更加高效。（由于 DQN 同时还叠加了值函数近似对样本的高效使用，因此达到同样的效果，其需要的样本量会比普通 Q-learning 小很多，eg：1000 vs 100,000）

DQN 算法：

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策略梯度方法（Policy Gradient）

Policy gradient 的想法与 value approximation 类似，只是针对的对象变成了 Policy，将原来 tabular-based 的策略：
$$\pi =\left[\begin{array}{cccc}\pi (a_1|s_1)& \pi (a_2|s_1)& \cdots & \pi (a_m|s_1)\\ \pi (a_1|s_2)& \pi (a_2|s_2)& \cdots & \pi (a_m|s_2)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \pi (a_1|s_n)& \pi (a_2|s_n)& \cdots & \pi (a_m|s_n)\end{array}\right]$$

改成了基于函数的：
$$\pi (a|,s,\theta )=\frac{e^{h(s,a,\theta )}}{{\sum }_{a^{\prime }}{e}^{h(s,a^{\prime },\theta )}}$$
因为 策略函数通常也是直接用深度学习来表征了，因此在最后一层使用 softmax，即为给定 state 时，每个 action 的概率（softmax 经常用于表征概率分布：因为既能保证概率和为1，又能保证所有的概率值为正）。图例：

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Policy Gradient 的目标函数

最优策略的目标函数 $J(\theta )$，依然需要借助最优化 state value / action value 来表达，但不同于之前 valued-based 的算法，这里需要一个统一的标量来表征可以使得所有的 state value / action value 都最大。

目标函数 1

优化 state value，一个自然的想法是 average state value：
$${\bar{v}}_{\pi }=\sum _{s}d(s)v_{\pi }(s)$$
这里 $d(s)$ 既 state 的分布，可以分为两种情况：

1. $d(s)$ 与 $\pi$ 无关：例如，出现在所有的 state 的概率都相同，即 $d(s_i)=\frac{1}{|S|}$
2. $d(s)$ 与 $\pi$ 相关：这种情况常用的是 马尔可夫过程的平稳分布

第一章 中提到过强化学习一般都假设满足马尔可夫条件：
$$\begin{array}{rl}P(s_{t+1}|a_{t+1},s_t,...,a_1,s_0)& =P(s_{t+1}|a_{t+1},s_t)\\ P(r_{t+1}|a_{t+1},s_t,...,a_1,s_0)& =P(r_{t+1}|a_{t+1},s_t)\end{array}$$
而对于一个有穷状态空间的马尔可夫链，记 $d_k$ 为走了 $k$ 步后，state 的概率分布。如果满足该马尔可夫链满足 不可约性，那么它存在唯一的平稳分布 $d$，满足：$$\underset{k\to \infty }{\lim }{d}_k=d_{\pi }$$，即 系统在长时间运行后，各状态之间的转移会趋于稳定，即各状态之间会以固定的概率分布进行转移。 由上式，可得：$$d_{\pi }^T{P}_{\pi }=d_{\pi }^T$$
其中 $P_{\pi }$ 是马尔可夫链的转移矩阵，$[P_{\pi }{]}_{i,j}$ 表示从 agent 从 $s_i$ 移动到 $s_j$ 的概率。

• 不可约性：即对所有的 state，$s_j$ 和 $s_j$ ，总存在一个有限的 k，使得 k 步后可以从 $s_i$ 走到 $s_j$，即：$[P_{\pi }^k{]}_{i,j}>0$
  \quad
  不可约性要求 policy 是探索性的，因为贪婪策略无法保证从一个 state 出发，可以在有限步内到达任意另一个 state；并且要避免出现"循环"的情况，否则上述 $k\to \infty$

这里 ${\bar{v}}_{\pi }={\sum }_{s}d(s)v_{\pi }(s)$ 中 $d(s)$ 采用平稳分布的原因也是：在进入平稳运行后，$d(s_i)$ 更大的 state，表明有更大的概率走到这个位置，那么在计算 ${\bar{v}}_{\pi }$ 时，自然应该多给这个 state 一些权重。

等价表达式
除了上述表示，${\bar{v}}_{\pi }$ 还有一些等价的表示方法：

1. $$\begin{array}{rl}{\bar{v}}_{\pi }& =\sum _{s}d(s)v_{\pi }(s)\\ & =\sum _{s}d(s)E[R_1+\gamma R_2+{\gamma }^2{R}_3+...|S_0=s]\\ & =\sum _{s}d(s)E[\sum _{t=0}^{\infty }{\gamma }^t{R}_{t+1}|S_0=s]\\ & =E[\sum _{t=0}^{\infty }{\gamma }^t{R}_{t+1}]\end{array}$$
2. $${\bar{v}}_{\pi }=d^T{v}_{\pi }$$ 其中
   $$\begin{array}{rl}{v}_{\pi }& =[\cdots ,v_{\pi }(s),\cdots {]}^T\in {\mathbb{R}}^{|S|}\\ d& =[\cdots ,d(s),\cdots {]}^T\in {\mathbb{R}}^{|S|}\end{array}$$

目标函数 2

另一个目标函数是 average one-step reward 为基础：
$${\bar{r}}_{\pi }=\sum _{s}d(s)r_{\pi }(s)$$
其中 $d(s)$ 与上面相同，而 $$r_{\pi }(s)=\sum _a\pi (a|s,\theta )r(s,a)=E_{A\sim \pi (s,\theta )}[r(s,A)|s]$$

即 state s 所有可能的 action 的期望 reward

等价形式
${\bar{r}}_{\pi }$ 有一些更常见的等价形式：

1. $${\bar{r}}_{\pi }=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}E[\sum _{t=0}^{n-1}{R}_{t+1}]$$
   Proof: 由 Cesaro mean 定理：

   Cesaro mean 定理
   如果 { a k } n = 1 ∞ \{a_k\}_{n=1}^{\infin} {ak​}n=1∞​ 收敛且满足 $$\underset{k\to \infty }{\lim }{a}_k=a^{\ast }$$
   那么 { 1 n ∑ k = 1 n a k } n = 1 ∞ \{\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k\}_{n=1}^{\infin} {n1​∑k=1n​ak​}n=1∞​ 也收敛，且$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_k=a^{\ast }$$

   因此 $$\begin{array}{rl}\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}E[\sum _{t=0}^{n-1}{R}_{t+1}|S_0=s_0]& =\underset{t\to \infty }{\lim }E[R_{t+1}|S_0=s_0]\\ & =\underset{t\to \infty }{\lim }\sum _{s}E[R_{t+1}|S_t=s]P^{(t)}(s|s_0)(P^{(t)}(s|s_0)指从s_0出发t步后走到s的概率)\\ & =\sum _s{r}_{\pi }(s)d(s)(由于\underset{t\to \infty }{\lim }{P}^{(t)}(s|s_0)=d(s))\\ & ={\bar{r}}_{\pi }\end{array}$$

2. $${\bar{r}}_{\pi }=d^T{r}_{\pi }$$
   其中
   $$\begin{array}{rl}{r}_{\pi }& =[\cdots ,r_{\pi }(s),\cdots {]}^T\in {\mathbb{R}}^{|S|}\\ d& =[\cdots ,d(s),\cdots {]}^T\in {\mathbb{R}}^{|S|}\end{array}$$

综上：

两种目标函数的同一性

可证：$${\bar{r}}_{\pi }=(1-\gamma ){\bar{v}}_{\pi }$$

Proof：由贝尔曼公式$$v_{\pi }=r_{\pi }+\gamma P_{\pi }{v}_{\pi }$$
因此
$$\begin{array}{rl}{d}_{\pi }^T{v}_{\pi }& =d_{\pi }^T{r}_{\pi }+\gamma d_{\pi }^T{P}_{\pi }{v}_{\pi }\\ \Rightarrow {\bar{v}}_{\pi }& ={\bar{r}}_{\pi }+\gamma d_{\pi }^T{v}_{\pi }(由平稳分布的性质：d_{\pi }^T{P}_{\pi }=d_{\pi }^T)\\ {\bar{v}}_{\pi }& ={\bar{r}}_{\pi }+\gamma {\bar{v}}_{\pi }\end{array}$$

因此使得 ${\bar{v}}_{\pi }$ 最大的 $\theta$ 同样也会使得 ${\bar{r}}_{\pi }$ 最大，在最优化问题中，这两个统计量等价。

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Policy Gradient 目标函数的梯度

首先给出各种目标函数梯度的统一形式，后面再依次证明梯度确实符合这个形式：

Policy Gradient 目标函数梯度的统一形式

$${\nabla }_{\theta }J(\theta )=\sum _s\eta (s)\sum _a{\nabla }_{\theta }\pi (a|s,\theta )q_{\pi }(s,a)$$
上式的一个等价形式：$${\nabla }_{\theta }J(\theta )=E_{S\sim \eta ,A\sim \pi (S,\theta )}[{\nabla }_{\theta }\ln \pi (A|S,\theta )q_{\pi }(S,A)]$$

Proof：
$$\begin{array}{rl}{\nabla }_{\theta }J(\theta )& =\sum _s\eta (s)\sum _a{\nabla }_{\theta }\pi (a|s,\theta )q_{\pi }(s,a)\\ & =E_{S\sim \eta }[\sum _a{\nabla }_{\theta }\pi (a|S,\theta )q_{\pi }(S,a)]\\ & =E_{S\sim \eta }[\sum _a\pi (a|S,\theta ){\nabla }_{\theta }\ln \pi (a|S,\theta )q_{\pi }(S,a)](因为{\nabla }_{\theta }\ln \pi (a|S,\theta )=\frac{{\nabla }_{\theta }\pi (a|S,\theta )}{\pi (a|S,\theta )})\\ & =E_{S\sim \eta ,A\sim \pi (S,\theta )}[{\nabla }_{\theta }\ln \pi (A|S,\theta )q_{\pi }(S,A)]\end{array}$$

discounted case 情形下的目标函数梯度

当 $\gamma \in (0,1)$ 时，由于 ${\bar{r}}_{\pi }=(1-\gamma ){\bar{v}}_{\pi }$，因此可以只求 ${\nabla }_{\theta }{\bar{v}}_{\pi }$ ，这里首先给出 $v_{\pi }$ 的梯度：$${\nabla }_{\theta }{v}_{\pi }(s)=\sum _{s^{\prime }}\sum _{k=0}^{\infty }{\gamma }^k[P_{\pi }^k{]}_{s{s}^{\prime }}\sum _a{\nabla }_{\theta }\pi (a|s^{\prime },\theta )q_{\pi }(s^{\prime },a)$$

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Proof：
$$\begin{array}{rl}{\nabla }_{\theta }{v}_{\pi }(s)& ={\nabla }_{\theta }[\sum _a\pi (a|s,\theta )q_{\pi }(s,a)]\\ & =\sum _a[{\nabla }_{\theta }\pi (a|s,\theta )q_{\pi }(s,a)+\pi (a|s,\theta ){\nabla }_{\theta }{q}_{\pi }(s,a)]\end{array}$$
由于
$$\begin{array}{rl}{\nabla }_{\theta }{q}_{\pi }(s,a)& ={\nabla }_{\theta }[\sum _{r}P(r|s,a)r+\gamma \sum _{s^{\prime }}P(s^{\prime }|s,a)v_{\pi }(s^{\prime })]\\ & =0+\gamma \sum _{s^{\prime }}P(s^{\prime }|s,a){\nabla }_{\theta }{v}_{\pi }(s^{\prime })\end{array}$$
因此：
$$\begin{array}{rl}{\nabla }_{\theta }{v}_{\pi }(s)& =\sum _a[{\nabla }_{\theta }\pi (a|s,\theta )q_{\pi }(s,a)+\pi (a|s,\theta )\gamma \sum _{s^{\prime }}P(s^{\prime }|s,a){\nabla }_{\theta }{v}_{\pi }(s^{\prime })]\\ & =\sum _a{\nabla }_{\theta }\pi (a|s,\theta )q_{\pi }(s,a)+\gamma \sum _{s^{\prime }}P(s^{\prime }|s){\nabla }_{\theta }{v}_{\pi }(s^{\prime })\\ & =\sum _a{\nabla }_{\theta }\pi (a|s,\theta )q_{\pi }(s,a)+\gamma \sum _{s^{\prime }}[P_{\pi }{]}_{s{s}^{\prime }}{\nabla }_{\theta }{v}_{\pi }(s^{\prime })\\ & =u(s)+\gamma \sum _{s^{\prime }}(P_{\pi }\otimes I_m){\nabla }_{\theta }{v}_{\pi }(s^{\prime })(记u(s)=\sum _a{\nabla }_{\theta }\pi (a|s,\theta )q_{\pi }(s,a))\end{array}$$

上式可以求解：
$$\begin{array}{rl}{\nabla }_{\theta }{v}_{\pi }(s)& =\sum _{s^{\prime }}(I_{nm}-\gamma P_{\pi }\otimes I_m{)}^{-1}u(s^{\prime })\\ & =\sum _{s^{\prime }}(I_n\otimes I_m-\gamma P_{\pi }\otimes I_m{)}^{-1}u(s^{\prime })\\ & =\sum _{s^{\prime }}[(I_n-\gamma P_{\pi }{)}^{-1}\otimes I_m]u(s^{\prime })\\ & =\sum _{s^{\prime }}[(I_n-\gamma P_{\pi }{)}^{-1}{]}_{s{s}^{\prime }}u(s^{\prime })\\ & =\sum _{s^{\prime }}[(I_n-\gamma P_{\pi }{)}^{-1}{]}_{s{s}^{\prime }}\sum _a{\nabla }_{\theta }\pi (a|s^{\prime },\theta )q_{\pi }(s^{\prime },a)\\ & =\sum _{s^{\prime }}[I+\gamma P_{\pi }+{\gamma }^2{P}_{\pi }^2+\cdots {]}_{s{s}^{\prime }}\sum _a{\nabla }_{\theta }\pi (a|s^{\prime },\theta )q_{\pi }(s^{\prime },a)\\ & =\sum _{s^{\prime }}\sum _{k=0}^{\infty }{\gamma }^k[P_{\pi }^k{]}_{s{s}^{\prime }}\sum _a{\nabla }_{\theta }\pi (a|s^{\prime },\theta )q_{\pi }(s^{\prime },a)\end{array}$$

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下面求解 ${\bar{v}}_{\pi }$ 的梯度 ，先给结论：

当 $\gamma$ 靠近 1 时，
$$\begin{array}{rl}{\nabla }_{\theta }{\bar{r}}_{\pi }(s)& =(1-\gamma ){\nabla }_{\theta }{\bar{v}}_{\pi }(s)\\ & \approx \sum _s{d}_{\pi }(s)\sum _a{\nabla }_{\theta }\pi (a|s,\theta )q_{\pi }(s,a)\\ & =E_{S\sim d_{\pi },A\sim \pi (S,\theta )}[{\nabla }_{\theta }\ln \pi (A|S,\theta )q_{\pi }(S,A)]\end{array}$$

Proof：
$$\begin{array}{rl}{\nabla }_{\theta }{\bar{v}}_{\pi }(s)& ={\nabla }_{\theta }[\sum _s{d}_{\pi }(s)v_{\pi }(s)]\\ & =\sum _s{\nabla }_{\theta }{d}_{\pi }(s)v_{\pi }(s)+\sum _s{d}_{\pi }(s){\nabla }_{\theta }{v}_{\pi }(s)\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中
$$\begin{array}{rl}\sum _s{d}_{\pi }(s){\nabla }_{\theta }{v}_{\pi }(s)& =(d_{\pi }^T\otimes I_m)v_{\pi }(s)\\ & =(d_{\pi }^T\otimes I_m)[(I_n-\gamma P_{\pi }{)}^{-1}\otimes I_m]u(s)\\ & =[d_{\pi }^T(I_n-\gamma P_{\pi }{)}^{-1}]\otimes I_{m}u(s)\\ & =\frac{1}{1-\gamma }{d}_{\pi }^T\otimes I_{m}u(s)(因为d_{\pi }^T(I_n-\gamma P_{\pi })=d_{\pi }^T-\gamma d_{\pi }^T)\\ & =\frac{1}{1-\gamma }\sum _s{d}_{\pi }(s)\sum _a{\nabla }_{\theta }\pi (a|s,\theta )q_{\pi }(s,a)\end{array}$$

当 $\gamma \to 1$ 时，$(1)$ 式中第二项占主导，第一项相对第二项可以忽略不计，因此：
$$\begin{array}{rl}{\nabla }_{\theta }{\bar{r}}_{\pi }(s)& =(1-\gamma ){\nabla }_{\theta }{\bar{v}}_{\pi }(s)\\ & \approx \sum _s{d}_{\pi }(s)\sum _a{\nabla }_{\theta }\pi (a|s,\theta )q_{\pi }(s,a)\end{array}$$

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undiscounted case 情形下的目标函数梯度

此时 $\gamma =1$，可以证明，此时上述约等号变成等号，即：

$$\begin{array}{rl}{\nabla }_{\theta }{\bar{r}}_{\pi }(s)& =(1-\gamma ){\nabla }_{\theta }{\bar{v}}_{\pi }(s)\\ & =\sum _s{d}_{\pi }(s)\sum _a{\nabla }_{\theta }\pi (a|s,\theta )q_{\pi }(s,a)\\ & =E_{S\sim d_{\pi },A\sim \pi (S,\theta )}[{\nabla }_{\theta }\ln \pi (A|S,\theta )q_{\pi }(S,A)]\end{array}$$

详细推导见 强化学习的数学原理

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蒙特卡洛 policy gradient ( REINFORCE 算法)

根据上述推导，Policy gradient 的迭代式是：
$$\begin{array}{rl}{\theta }_{t+1}& ={\theta }_t+\alpha {\nabla }_{\theta }J({\theta }_t)\\ & ={\theta }_t+\alpha E[{\nabla }_{\theta }\ln \pi (A|S,{\theta }_t)q_{\pi }(S,A)]\end{array}$$

由于真实的 $q_{\pi }(S,A)$ 未知，如果是根据之前介绍的 蒙特卡洛方法 用样本来模拟，则称为 REINFORCE 算法:

$$\begin{array}{rl}{\theta }_{t+1}& ={\theta }_t+\alpha {\nabla }_{\theta }\ln \pi (a_t|s_t,{\theta }_t)q_{\pi }(s_t,a_t)\\ & ={\theta }_t+\alpha \frac{{\nabla }_{\theta }\pi (a_t|s_t,{\theta }_t)}{\pi (a_t|s_t,{\theta }_t)}{q}_{\pi }(s_t,a_t)\\ & ={\theta }_t+\alpha \frac{q_{\pi }(s_t,a_t)}{\pi (a_t|s_t,{\theta }_t)}{\nabla }_{\theta }\pi (a_t|s_t,{\theta }_t)\\ & ={\theta }_t+\alpha {\beta }_t{\nabla }_{\theta }\pi (a_t|s_t,{\theta }_t)(这里记{\beta }_t=\frac{q_{\pi }(s_t,a_t)}{\pi (a_t|s_t,{\theta }_t)})\end{array}$$
上述迭代式有两个结论：

1. 当 ${\beta }_t\ge 0$ 时，上式是梯度上升，因此 $\pi (a_t|s_t,{\theta }_{t+1})\ge \pi (a_t|s_t,{\theta }_t)$，即新的 policy 会更倾向于选择 $a_t$；而当 ${\beta }_t<0$ 时，上式是梯度下降，$\pi (a_t|s_t,{\theta }_{t+1})<\pi (a_t|s_t,{\theta }_t)$，因此新的 policy 会更不倾向于选择 $a_t$
2. 再分析 ${\beta }_t$ 的构成：$${\beta }_t=\frac{q_{\pi }(s_t,a_t)}{\pi (a_t|s_t,{\theta }_t)}$$ 首先 ${\beta }_t$ 与 $q_{\pi }(s_t,a_t)$ 成正比，因此 $q_{\pi }(s_t,a_t)$ 越大，即样本中 $a_t$ 的 action value 越大，${\beta }_t$ 越大（因此新的 policy 会更倾向于选择 $a_t$，make sense）。但另一方面，${\beta }_t$ 与 $\pi (a_t|s_t,{\theta }_t)$ 成反比，即当前策略选择 $a_t$ 的概率越大，那么更新后的策略反而会减少选择 $a_t$ 的概率，这是由于 Policy gradient 方法都是 on-policy 的（由于样本中的 $a_t$ 需依赖当前策略 $\pi$），这样的话，可以保持策略的 exploration。

如何采样
理论上来说，应该是 $S\sim d_{\pi },A\sim \pi (A|S,\theta )$，其中 $d_{\pi }$ 是 $\pi$ 的平稳分布（即运行很多步后的样本），$\pi (A|S,\theta )$ 是当前的策略。但实际使用中，由于标准的做法效率比较低，实际是根据当前的 $\pi (\theta )$ 先采一个 episode，再利用这个 episode 中的数据更新一波：

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Reference：
1.强化学习的数学原理