如何估计$V^{\pi }(s)$

$V^{\pi }(s)$代表我们的主体是$\pi$在当前局面$s$得分的期望值。

Monte-Carlo(MC) based approach

使用基于蒙特卡罗的方法，让我们的模型与环境做互动。我们输入一个$S_a$得到一个估计值，我们希望我们的估计值与$G_a$越接近越好，所以可以当做一个回归问题来训练我们的神经网络。
具体过程如下：

但是这个方法也有问题，这样必须等每局游戏结束，才能得到数据，如果游戏的时间特别长，使用这种方法是十分缓慢的。

Temporal-difference(TD) approach

Monte-Carlo的方法，比较把游戏进行到结束。而这种方式不需要将游戏玩到结束。
$$V^{\pi }\left(s_t\right)=V^{\pi }\left(s_{t+1}\right)+r_t$$我们可以得到$V^{\pi }\left(s_t\right)$已经$V^{\pi }\left(s_{t+1}\right)$的值，然后把这两个值的差值丢入我们的神经网络中进行计算：$$V^{\pi }\left(s_t\right)-V^{\pi }\left(s_{t+1}\right)\leftrightarrow r_t$$

两种方式比较

MC: 使用这种方式的时候方差很大，因为一场完整的游戏过程中有很多的偶然因素影响。即使你使用完全一样的策略，最后得到的$G_a$也会不一样。
TD: 因为这里训练的是$r$的值，而$r$只是单独的一步，所以它的方差会比较小。这里也有一个问题，就是你的$V$值不一定能够估计的准，因此也会造成误差。
总体来说，两种方法各有优劣。

Q-learning

$Q^{\pi }(s,a)$表示在状态$s$下采取行动$a$预计获得的收益。
Q-learning的思路就是通过与环境互动使用更好的${\pi }^{\prime }$来更新原来的$\pi$。具体过程如下：

什么是更好的$\pi$呢？定义如下：对于任意的状态$s$$$V^{{\pi }^{\prime }}(s)\ge V^{\pi }(s)$$如何寻找${\pi }^{\prime }(s)$呢？ $${\pi }^{\prime }(s)=\arg \underset{a}{\max }{Q}^{\pi }(s,a)$$实际上，${\pi }^{\prime }$并没有额外的参数或者另一个神经网络去表示，它只是依靠$Q$推导出来的。
注意： 如果动作是一个连续值的话则不适合使用这种方法。
为什么使用$Q$决定出来的${\pi }^{\prime }$一定比$\pi$好呢？具体的证明如下：$$\begin{array}{r}{V}^{\pi }(s)=Q^{\pi }(s,\pi (s))\le \underset{a}{\max }{Q}^{\pi }(s,a)=Q^{\pi }\left(s,{\pi }^{\prime }(s)\right)\end{array}$$我们可以看到对于某一步，这个规则成立，对于多步时，证明如下：
$$\begin{array}{l}{V}^{\pi }(s)\le Q^{\pi }\left(s,{\pi }^{\prime }(s)\right)\\ =E\left[r_{t+1}+V^{\pi }\left(s_{t+1}\right)\mid s_t=s,a_t={\pi }^{\prime }\left(s_t\right)\right]\\ \le E\left[r_{t+1}+Q^{\pi }\left(s_{t+1},{\pi }^{\prime }\left(s_{t+1}\right)\right)\mid s_t=s,a_t={\pi }^{\prime }\left(s_t\right)\right]\\ =E\left[r_{t+1}+r_{t+2}+V^{\pi }\left(s_{t+2}\right)\mid \dots \right]\\ \le E\left[r_{t+1}+r_{t+2}+Q^{\pi }\left(s_{t+2},{\pi }^{\prime }\left(s_{t+2}\right)\right)\mid \dots \right]\dots \le V^{{\pi }^{\prime }}(s)\end{array}$$

Q-learning技巧

Target Network

我们使用Q-learning的时候，有一个部分$$\begin{array}{l}{\mathrm{Q}}^{\pi }\left(s_t,a_t\right)=r_t+{\mathrm{Q}}^{\pi }\left(s_{t+1},\pi \left(s_{t+1}\right)\right)\end{array}$$这和之前的TD方法是类似的（同样都有$r$值）。
因为我们训练的时候不希望改变我们的Target，因为我们要拟合一个不停变化的值是相当困难的。所以我们选择固定Target的值，不改变他的参数，在这种情况下进行训练。
具体过程如下：

Exploration

在我们搜索的时候，我们使用的是如下公式$$a=\arg \underset{a}{\max }Q(s,a)$$所以没有探索到的位置的$Q$值始终为0，因而一直不会被选中（如果使用的是神经网络这种现象较弱，但是依然存在）具体如下图所示：

所以为了避免每次都做出同样的选择，我们可以采用以下的方法：
Epsilon Greedy
$$a=\{\begin{array}{cl}\arg {\max }_{a}Q(s,a),& \text{ with probability }1-\epsilon \\ \text{ random, }& \text{ otherwise }\end{array}$$其中$\epsilon$的值会随着学习的进行而衰减。
Boltzmann Exploration
$$P(a\mid s)=\frac{\exp (Q(s,a))}{{\sum }_a\exp (Q(s,a))}$$

Replay Buffer

这个方法把最近的与环境交互结果数据（不一定是同一个$\pi$出来的数据）都放到缓存区里，利用这些数据进行训练。但是使用不同的$\pi$值会不会影响我们的训练呢？结论是不会的。

算法执行过程

连续Q-learning

当动作是一个连续的向量$$a=\arg \underset{a}{\max }Q(s,a)$$这个式子就不能通过穷举计算得出，所以我们要怎样进行选择呢。
方法一会丢失精度，方法二会大幅降低速度。

方法三实现起来十分复杂。

我们还可以使用别的方法。