前言：本文主要介绍如何以效用最大化理论为基础，推导出二项 Logit（Binary Logit）模型。

本文为系列离散选择模型（Discrete Choice Model, DCM）系列文章的第8篇。

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温馨提示：阅读本文之前，请准备好纸、笔、以及小板凳。自己动手推导一遍有助于理解。

Probit模型的建模过程回顾

在《效用最大化准则：离散选择模型的核心（Probit篇）——离散选择模型之七》一文中，我们基于效用最大化理论给出了二项Probit模型的推导过程。简单回顾一下建模的过程：

• 假设对于决策主体n面临两个备选方案i和j
• 方案i的效用
  可以表示为可以观测得到的、确定性的部分
  和一个随机项
  之和：

• 类似地，方案j的效用
  可以表示为：

• 对于决策主体 n 而言，若方案 i 的效用
  高于方案 j 的效用
  ，则 n 选取方案 i 。也就是说，n 选择方案 i 的概率
  等价于事件
  发生的概率：

• 如果令
  和
  服从均值为0、方差为
  和
  的正态分布，则
  服从均值为0、方差为
  的正态分布。在此基础上，便可以推导出Probit模型的表达形式如下面的（4）式所示。其中，
  表示标准正态分布的累积分布函数。

Probit模型的特点

从建模的角度来说，Probit模型假设随机项

但是Probit模型没有闭合解——每次算

为解决这一问题，研究者提出，若假设随机项

Gumbel分布

Gumbel分布是一种极值型分布，常被用于极端事件的估计和预测。比如某水文站，每天观测某条河道的水位，连续观测了50年；如果单独对河道每年的最高水位进行建模，就可以考虑用Gumbel分布。除此之位，Gumbel分布还被应用于地震、洪水等极端自然灾害现象的预测。

记参数为的

下图2显示了当参数

其所对应的累积分布函数（CDF）为：

从图3中可以看出：标准Gumbel分布与标准正态分布的形状大体上接近，但Gumbel分布不是对称的，其分布呈现一定的偏态。另外，Gumbel分布尾巴要比标准正态分布更肥一点。

Logistic分布

在推导二项Logit模型的表达式之前，再介绍另外一个分布：Logistic分布。

随机变量

其中，

下图4给出了参数

Logit模型的推导

先给出一条重要性质：如果随机变量

亦即，若：

• 、
  之间相互独立

则：

详细的证明过程请参见《从Gumbel分布到Logistic分布——离散选择模型之九》。

根据上面的(3)式我们知道决策主体 n 选择方案 i 的概率

在Logit模型中，我们就是假设随机效用部分

分子分母同时乘以

式中

最终，在二项Logit模型中，决策者 n 选择方案 i 的概率可以表示为：

(14)式即为二项Logit模型的表达式。图5给出了仅有一个自变量时的二项Logit和二项Probit的图像：

【本篇完】

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专栏文章列表（动态更新中...）

离散选择模型基础：

• 离散选择模型（Discrete Choice Model）简介
• 线性模型 vs. Logistic模型
• Logit究竟是个啥？
• Odds 和 Odds Ratio 的区别
• 正确打开/解读Logit模型系数的方式
• Logit模型拟合实战案例（SAS）
• Logit模型拟合实战案例（Python）

二项Logit/Probit：

• 效用最大化准则：离散选择模型的核心（Probit模型上篇）
• 效用最大化准则：离散选择模型的核心（Probit模型下篇）
• 效用最大化准则：离散选择模型的核心（二项Logit模型）
• 从Gumbel分布到Logistic分布

多项Logit（MNL）：

• 效用最大化准则：多项Logit模型（Multinomial Logit, MNL）
• 多项Logit模型（MNL）拟合实战案例（SAS篇）
• MNL的IIA特性与“红公交/蓝公交悖论”（上篇）
• MNL的IIA特性与“红公交/蓝公交悖论”（下篇）
• 如何将决策者的属性和方案属性同时放到MNL模型中？
• Logit模型中的个人属性、方案属性数据处理案例
• 为什么条件Logit模型中没有常数项，以及，你的女神会不会不喜欢你？
• Logit模型中的ASC（Alternative-Specific Constant）是指什么？

统计学相关：

• 最大似然估计（上）
• 最大似然估计（下）
• 模型中存在共线性问题，该怎么破？

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