Adam算法

Adam算法在RMSProp算法基础上对小批量随机梯度也做了指数加权移动平均。Adam算法可以看做是RMSProp算法与动量法的结合。

算法内容

Adam算法使用了动量变量${\mathbf{v}}_t$和RMSProp算法中小批量随机梯度按元素平方的指数加权移动平均变量${\mathbf{s}}_t$，并在时间步0将它们中每个元素初始化为0。

• 给定超参数$0\le {\beta }_1<1$（算法作者建议设为0.9）

时间步$t$的动量变量${\mathbf{v}}_t$即小批量随机梯度${\mathbf{g}}_t$的指数加权移动平均：

$${\mathbf{v}}_t\leftarrow {\beta }_1{\mathbf{v}}_{t-1}+(1-{\beta }_1){\mathbf{g}}_t.$$

和RMSProp算法中一样，给定超参数$0\le {\beta }_2<1$（算法作者建议设为0.999）， 将小批量随机梯度按元素平方后的项${\mathbf{g}}_t\odot {\mathbf{g}}_t$做指数加权移动平均得到${\mathbf{s}}_t$：

$${\mathbf{s}}_t\leftarrow {\beta }_2{\mathbf{s}}_{t-1}+(1-{\beta }_2){\mathbf{g}}_t\odot {\mathbf{g}}_t.$$

由于我们将${\mathbf{v}}_0$和${\mathbf{s}}_0$中的元素都初始化为0， 在时间步$t$我们得到

$${\mathbf{v}}_t=(1-{\beta }_1)\sum _{i=1}^t{\beta }_1^{t-i}{\mathbf{g}}_i$$

将过去各时间步小批量随机梯度的权值相加，得到
$$(1-{\beta }_1)\sum _{i=1}^t{\beta }_1^{t-i}=1-{\beta }_1^t$$

需要注意的是，当$t$较小时，过去各时间步小批量随机梯度权值之和会较小。

例如，当${\beta }_1=0.9$时，${\mathbf{v}}_1=0.1{\mathbf{g}}_1$。为了消除这样的影响，对于任意时间步$t$，我们可以将${\mathbf{v}}_t$再除以$1-{\beta }_1^t$，从而使过去各时间步小批量随机梯度权值之和为1。这也叫作偏差修正。在Adam算法中，我们对变量${\mathbf{v}}_t$和${\mathbf{s}}_t$均作偏差修正：

$${\hat{\mathbf{v}}}_t\leftarrow \frac{{\mathbf{v}}_t}{1-{\beta }_1^t},$$

$${\hat{\mathbf{s}}}_t\leftarrow \frac{{\mathbf{s}}_t}{1-{\beta }_2^t}.$$

接下来，Adam算法使用以上偏差修正后的变量${\hat{\mathbf{v}}}_t$和${\hat{\mathbf{s}}}_t$，将模型参数中每个元素的学习率通过按元素运算重新调整：

$${\mathbf{g}}_t^{\prime }\leftarrow \frac{\eta {\hat{\mathbf{v}}}_t}{\sqrt{{\hat{\mathbf{s}}}_t}+ϵ},$$

其中$\eta$是学习率，$ϵ$是为了维持数值稳定性而添加的常数，如$10^{-8}$。和AdaGrad算法、RMSProp算法以及AdaDelta算法一样，目标函数自变量中每个元素都分别拥有自己的学习率。最后，使用${\mathbf{g}}_t^{\prime }$迭代自变量：

$${\mathbf{x}}_t\leftarrow {\mathbf{x}}_{t-1}-{\mathbf{g}}_t^{\prime }.$$

实现Adam优化算法

def get_data_ch7():  
    data = np.genfromtxt('data/airfoil_self_noise.dat', delimiter='\t')
    data = (data - data.mean(axis=0)) / data.std(axis=0)
    return torch.tensor(data[:1500, :-1], dtype=torch.float32), \
        torch.tensor(data[:1500, -1], dtype=torch.float32) # 前1500个样本(每个样本5个特征)

%matplotlib inline
import torch
import sys

features, labels = get_data_ch7()

def init_adam_states():
    v_w, v_b = torch.zeros((features.shape[1], 1), dtype=torch.float32), torch.zeros(1, dtype=torch.float32)
    s_w, s_b = torch.zeros((features.shape[1], 1), dtype=torch.float32), torch.zeros(1, dtype=torch.float32)
    return ((v_w, s_w), (v_b, s_b))

def adam(params, states, hyperparams):
    beta1, beta2, eps = 0.9, 0.999, 1e-6
    for p, (v, s) in zip(params, states):
        v[:] = beta1 * v + (1 - beta1) * p.grad.data
        s[:] = beta2 * s + (1 - beta2) * p.grad.data**2
        v_bias_corr = v / (1 - beta1 ** hyperparams['t'])
        s_bias_corr = s / (1 - beta2 ** hyperparams['t'])
        p.data -= hyperparams['lr'] * v_bias_corr / (torch.sqrt(s_bias_corr) + eps)
    hyperparams['t'] += 1

使用学习率为0.01的Adam算法来训练模型。

def train_ch7(optimizer_fn, states, hyperparams, features, labels,
              batch_size=10, num_epochs=2):
    # 初始化模型
    net, loss = linreg, squared_loss
    
    w = torch.nn.Parameter(torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, size=(features.shape[1], 1)), dtype=torch.float32),
                           requires_grad=True)
    b = torch.nn.Parameter(torch.zeros(1, dtype=torch.float32), requires_grad=True)

    def eval_loss():
        return loss(net(features, w, b), labels).mean().item()

    ls = [eval_loss()]
    data_iter = torch.utils.data.DataLoader(
        torch.utils.data.TensorDataset(features, labels), batch_size, shuffle=True)
    
    for _ in range(num_epochs):
        start = time.time()
        for batch_i, (X, y) in enumerate(data_iter):
            l = loss(net(X, w, b), y).mean()  # 使用平均损失
            
            # 梯度清零
            if w.grad is not None:
                w.grad.data.zero_()
                b.grad.data.zero_()
                
            l.backward()
            optimizer_fn([w, b], states, hyperparams)  # 迭代模型参数
            if (batch_i + 1) * batch_size % 100 == 0:
                ls.append(eval_loss())  # 每100个样本记录下当前训练误差
    # 打印结果和作图
    print('loss: %f, %f sec per epoch' % (ls[-1], time.time() - start))
    set_figsize()
    plt.plot(np.linspace(0, num_epochs, len(ls)), ls)
    plt.xlabel('epoch')
    plt.ylabel('loss')

train_ch7(adam, init_adam_states(), {'lr': 0.01, 't': 1}, features, labels)

也可以使用pytorch内置的optim.Adam实现：

train_pytorch_ch7(torch.optim.Adam, {'lr': 0.01}, features, labels)