参考 
Reinforcement Learning, Second Edition  
An Introduction 
By Richard S. Sutton and Andrew G. Barto

强化学习与监督学习

强化学习与其他机器学习方法最大的不同，就在于前者的训练信号是用来评估（而不是指导）给定动作的好坏的。

强化学习：评估性反馈
有监督学习：指导性反馈

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价值函数

最优价值函数，是给定动作 $a$ 的期望，可以理解为理论最优
$$q_{\ast }(a)\doteq \mathbb{E}[R_t|A_t=a]$$
我们将算法对动作$a$ 在时刻$t$ 时的价值的估计记作$Q_t(a)$，我们希望它接近 $q_{\ast }(a)$

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利用（Exploit）与探索（Explore）

利用：选择最高估计价值的动作（贪心）
探索：选择非贪心的动作

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动作-价值方法（基于价值的方法）

思想：对价值进行估计，来选择动作。

采样平均方法

$$Q_t(a)\doteq \frac{t时刻前执行动作a得到的收益总和}{t时刻前执行动作a的次数}=\frac{{\sum }_{i=1}^{t-1}{R}_i{1}_{A_i=a}}{{\sum }_{i=1}^{t-1}{1}_{A_i=a}}$$

贪心动作选择

最简单的动作选择规则是选择具有最高估计值的动作，即贪心动作
$$A_t\doteq \arg \underset{a}{\max }{Q}_t(a)$$
缺点：不能持续探索（虽然可以乐观初始化在开始阶段进行探索）
乐观初始化：对于纯粹贪心策略，可以把每一个初始值$Q_0(a)$都设置得更大，从而鼓励算法在算法刚开始的时候尝试其他状态。因为一开始获得奖励之后都把$Q_0(a)$降低了。

$ϵ$-贪心方法

以小概率$ϵ$随机选择动作，$1-ϵ$ 贪心选择

两者都并不是完美的

贪心动作虽然在当前时刻看起来最好，但实际上其他一些动作可能从长远看更好
$ϵ$-贪心算法会尝试选择非贪心的动作，但是这是一种盲目的选择，因为它不大会去选择接近贪心或者不确定性特别大的动作

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增量更新、平稳/非平稳问题

为了计算效率，采用增量更新：
$$Q_{n+1}=Q_n+\frac{1}{n}[R_n-Q_n]$$

此时 $\alpha =\frac{1}{n}$，适合平稳分布的问题，但是如果 bandit 背后的分布是会变化的，那么 $\alpha$ 应该采用 $>\frac{1}{n}$ ，从而给更靠近的奖励更大的权重。

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UCB

置信度上界 (upper confidence bound, UCB)——平衡了 探索与利用
$$A_t\doteq \arg \underset{a}{\max }\left[Q_t(a)+c\sqrt{\frac{\ln t}{N_t(a)}}\right]$$

左边：利用平均奖励大的动作
右边：鼓励探索访问次数少的动作，但是同时要考虑到其他非 $a$ 的状态的访问次数，用$t$近似。每次选$a$之外的动作时，在分子上的$\ln t$增大，而 $N_t(a)$ 却没有变化，所以不确定性增加了

UCB一般来说比贪心、$ϵ$-贪心 要好。

UCB 的缺点：

1. 处理非平稳问题时，需要一些更复杂的 tricks, 不能仅仅使用这样的策略。
2. 处理不了很大的状态空间。

上下文赌博机（Contextual Bandit）

普通的赌博机：算法每一次选择新动作的时候，没有额外的环境信息。
上下文赌博机：算法每一次选择新动作的时候，有额外的环境信息。

也许你面对的是一个真正的老虎机、它的外观颜色与它的动作价值集合一一对应，动作价值集合改变的时候，外观颜色也会改变.那么，现在你可以学习一些任务相关的操作策略，例如，用你所看到的颜色作
为信号，把每个任务和该任务下最优的动作直接关联起来，比如，如果为红色， 则选择1号臂 ；如果为绿色，则选择2号臂。有了这种任务相关的策略，在知道任务编号信息时，你通常要比不知道任务编号信息时做得更好。
——《RL》

上下文赌博机介于多臂赌博机问题和完整强化学习问题之间。它与完整强化学习问题的相似点是，它需要学习一种策略，但它又与多臂赌博机问题相似，体现在每个动作只影响即时收益。

总结

在多臂赌博机问题来说，一般来说，UCB是比贪心，$ϵ$-贪心更好的