引言

在深度学习领域中，我们经常处理的是独立同分布（i.i.d）的数据，比如图像分类、文本生成等任务，其中每个样本之间相互独立。然而，在现实生活中，许多数据具有时序结构，例如语言模型中的单词序列、股票价格随时间的变化、视频中的帧等。对于这类具有时序关系的数据，传统的深度学习模型可能无法很好地捕捉到其内在的 时间相关性 。为了解决这一问题，循环神经网络（Recurrent Neural Network, RNN）被广泛应用于处理时序数据。

为什么说反向传播算法不能处理时序数据呢？
在传统的反向传播算法中，处理静态数据时，网络的输出 $\hat{y}$ 通常只依赖于当前时刻的隐藏状态 $h$，其更新规则可以表示为：
$$h=Wx+b$$
$$\hat{y}=Vh+c$$
其中，$h$ 是隐藏状态，$x$ 是输入，$W$ 和 $V$ 是网络的参数，$b$ 和 $c$ 是偏置项。

与传统反向传播算法不同，BPTT（Back-Propagation Through Time）算法引入了时间维度，并考虑了序列数据中的时序关系。在 BPTT 中，隐藏状态 $h_t$ 的更新规则包含了当前时刻的输入 $X_t$ 和上一个时刻的隐藏状态 $h_{t-1}$，从而能够更好地捕捉到序列数据中的时间相关性。
$$h_t=f(U{X}_t+W{h}_{t-1})$$
$$\widehat{y_t}=f(V{h}_t)$$

RNN 结构与BPTT

首先，让我们来了解一下常见的循环神经网络结构。在 RNN 中，隐藏状态会随着时间步的推移而更新，并在每个时间步生成一个输出。这种结构允许网络捕捉到序列数据中的时间相关性，使得其在时序任务中表现出色。

一个常见的RNN结构如下所示：

在RNN中，参数U、V和W是共享的，这意味着它们在每个时间步都保持不变。这意味着它们的值在整个模型运行过程中 始终保持一致 。

BPTT算法概述

前向传播

在 RNN 中，前向传播阶段通过计算隐藏状态和输出来生成预测结果。

$$h_t=f(U{X}_t+W{h}_{t-1})$$

$$\widehat{y_t}=f(V{h}_t)$$

损失函数

这些结果与真实标签之间的差异通过损失函数来衡量，我们的目标是最小化这个损失函数。整个网络的损失值$L$是每个时刻损失值$L_t$的求和，其中$L_t$是关于预测值$\widehat{y_t}$的函数。

$$L_t=f(\widehat{y_t})$$
$$L=\sum _{i=1}^T{L}_t$$

损失函数 $L$ 可以表示为：

1. 均方误差（MSE）：
   $$L=\sum _{t=1}^T\frac{1}{2}(y_t-{\hat{y}}_t{)}^2$$
   这里，我们计算每个时间步的输出 $y_t$ 与真实输出 ${\hat{y}}_t$ 之间的平方误差，并将所有时间步的误差求和。
2. 交叉熵损失：
   $$L=-\sum _{t=1}^T[{\hat{y}}_t\log (y_t)+(1-{\hat{y}}_t)\log (1-y_t)]$$
   这里，我们计算每个时间步的输出 $y_t$ 与真实输出 ${\hat{y}}_t$ 之间的交叉熵损失，并将所有时间步的损失求和。

反向传播

接下来，我们使用BPTT算法（随时间反向传播，Back-Propagation Through Time，BPTT）进行反向传播。在这一步中，我们计算损失函数对参数U、V和W的偏导数，以便更新参数以最小化损失。

为什么要使用整个序列的损失函数L对参数U、V和W求导呢？

这是因为我们的目标是最小化整个序列的损失。在梯度下降算法中，梯度指向了损失函数增长最快的方向。因此，通过对整个序列的损失函数求导，我们可以找到在参数空间中使得损失函数逐步减小的方向，然后通过反向传播来更新参数。

由于RNN处理的是时序数据，因此需要基于时间进行反向传播，这也是BPTT名称的由来。尽管BPTT是在时序数据上进行反向传播，但本质上它仍然是反向传播算法，因此求解每个时间步的梯度是该算法的核心操作。

梯度计算

我们以一个长度为3的时间序列为例，展示对于参数U、V和W的偏导数的计算过程。

首先看看前向传播的计算

隐藏层输出：
$$h_t=f(U{X}_t+W{h}_{t-1})$$

为什么“RNN的隐藏状态更新规则是 $h_t=f(U{X}_t+W{h}_{t-1})$”？

从数学角度来看，这个更新规则是由RNN的结构决定的。在RNN中，隐藏状态
$h_t$ 是

• 由当前时间步的输入 $X_t$
• 前一个时间步的隐藏状态 $h_{t-1}$

组合而成的。通过线性变换 $U{X}_t+W{h}_{t-1}$，加上激活函数 $f$ 的作用，得到了新的隐藏状态 $h_t$。这个结构使得RNN能够记忆之前的信息并将其应用于当前的预测任务中。

输出层：
$$\widehat{y_t}=f(V{h}_t)$$

• $h_t$ 是隐藏状态
• $\widehat{y_t}$ 是输出值
• $X_t$ 输入的序列
• $f$是激活函数

将上面的RNN用数学表达式来表示就是
$$\{\begin{array}{l}{h}_1=f\left(U{x}_1+W{h}_0\right)\\ {\hat{y}}_1=f\left(V{h}_1\right)\end{array}$$
$$\{\begin{array}{l}{h}_2=f\left(U{x}_2+W{h}_1\right)\\ {\hat{y}}_2=f\left(V{h}_2\right)\end{array}$$
$$\{\begin{array}{l}{h}_3=f\left(U{x}_3+W{h}_2\right)\\ {\hat{y}}_3=f\left(V{h}_3\right)\end{array}$$

针对$t=3$时刻，求U，V，W的梯度（偏导），使用链式法则得到：

$$\frac{\partial L_3}{\partial V}=\frac{\partial L_3}{{\hat{y}}_3}\times \frac{\partial {\hat{y}}_3}{\partial V}$$

$$\frac{\partial L_3}{\partial W}=\frac{\partial L_3}{\partial {\hat{y}}_3}\times \frac{\partial {\hat{y}}_3}{\partial h_3}\times \frac{\partial h_3}{\partial W}+\frac{\partial L_3}{\partial {\hat{y}}_3}\times \frac{\partial {\hat{y}}_3}{\partial h_3}\times \frac{\partial h_3}{\partial h_2}\times \frac{\partial h_2}{\partial W}+\frac{\partial L_3}{\partial {\hat{y}}_3}\times \frac{\partial {\hat{y}}_3}{\partial h_3}\times \frac{\partial h_3}{\partial h_2}\times \frac{\partial h_2}{\partial h_1}\times \frac{\partial h_1}{\partial W}$$

$$\frac{\partial L_3}{\partial U}=\frac{\partial L_3}{\partial {\hat{y}}_3}\times \frac{\partial {\hat{y}}_3}{\partial h_3}\times \frac{\partial h_3}{\partial U}+\frac{\partial L_3}{\partial {\hat{y}}_3}\times \frac{\partial {\hat{y}}_3}{\partial h_3}\times \frac{\partial h_3}{\partial h_2}\times \frac{\partial h_2}{\partial U}+\frac{\partial L_3}{\partial {\hat{y}}_3}\times \frac{\partial {\hat{y}}_3}{\partial h_3}\times \frac{\partial h_3}{\partial h_2}\times \frac{\partial h_2}{\partial h_1}\times \frac{\partial h_1}{\partial U}$$

其实这个时候我们就可以看出，W和U两个参数的需要追溯之前的历史数据，参数V只需关注目前

所以，我们可以根据t3时刻的偏导，来计算任意时刻对U，V，W的偏导

对于V的偏导

对于V的偏导，我们直接将3替换成t即可：
$$\frac{\partial L_t}{\partial V}=\frac{\partial L_t}{{\hat{y}}_t}\times \frac{\partial {\hat{y}}_t}{\partial V}$$

对于W的偏导

对于W的偏导，在$t=3$的时刻有三项，那么对应的在T时刻就有T项

$$\frac{\partial L_t}{\partial W}=\sum _{k=1}^t\frac{\partial L_t}{\partial \widehat{y_t}}\times \frac{\partial \widehat{y_t}}{\partial h_t}\times \frac{\partial h_t}{\partial h_k}\times \frac{\partial h_k}{W}$$

其中的$\frac{\partial h_t}{\partial h_k}$，我们可以进行展开：

例如在$k=1$时，$\frac{\partial h_3}{\partial h_1}=\frac{\partial h_3}{\partial h_2}\times \frac{\partial h_2}{\partial h_1}$

所以我们推导得到以下式子：
$$\frac{\partial h_t}{\partial h_k}=\frac{\partial h_t}{\partial h_k}\times \frac{\partial h_{t-1}}{\partial h_{t-2}}\times ...\times \frac{\partial h_{t-k+1}}{\partial h_k}$$

也就是等于：
$$\frac{\partial h_t}{\partial h_k}=\prod _{i=k+1}^t\frac{\partial h_i}{\partial h_{i-1}}$$

所以，
$$\frac{\partial L_t}{\partial W}=\sum _{k=1}^t\frac{\partial L_t}{\partial \widehat{y_t}}\times \frac{\partial \widehat{y_t}}{\partial h_t}\times (\prod _{i=k+1}^t\frac{\partial h_i}{\partial h_{i-1}})\times \frac{\partial h_k}{W}$$

对于U的偏导

同样的，我们也可以得到对于U的偏导

$$\frac{\partial L_t}{\partial U}=\sum _{k=1}^t\frac{\partial L_t}{\partial \widehat{y_t}}\times \frac{\partial \widehat{y_t}}{\partial h_t}\times (\prod _{i=k+1}^t\frac{\partial h_i}{\partial h_{i-1}})\times \frac{\partial h_k}{U}$$

为什么U也是这样的链式求导？
$$h_t=f(U{X}_t+W{h}_{t-1})$$
U也是通过链式法则求导的，因为隐藏状态$h_t$是由$U$、$X_t$和$h_{t-1}$共同决定的。因此，当我们计算损失函数关于U的偏导数时，需要考虑$h_t$对$U$的影响，而$h_t$又依赖于$h_{t-1}$，因此需要使用链式法则进行求导。

当前我们得到了是t时刻的导数，现在我们需要推广到整个网络中的损失值对U，V，W的偏导

总的损失值

因为和的导数等于导数，所以我们可以直接将$L={\sum }_{i=1}^T{L}_t$前面的求和符号提出来
所以有，
$$\frac{\partial L}{\partial W}=\sum _{i=1}^T\frac{\partial L_t}{\partial W}$$

现在我们只需要将前面求得的t时刻的带入即可，
$$\frac{\partial L}{\partial W}=\sum _{i=1}^T\sum _{k=1}^t\frac{\partial L_t}{\partial \widehat{y_t}}\times \frac{\partial \widehat{y_t}}{\partial h_t}\times (\prod _{i=k+1}^t\frac{\partial h_i}{\partial h_{i-1}})\times \frac{\partial h_k}{W}$$

同样的，对于U，我们得到：
$$\frac{\partial L}{\partial U}=\sum _{i=1}^T\sum _{k=1}^t\frac{\partial L_t}{\partial \widehat{y_t}}\times \frac{\partial \widehat{y_t}}{\partial h_t}\times (\prod _{i=k+1}^t\frac{\partial h_i}{\partial h_{i-1}})\times \frac{\partial h_k}{U}$$

对于V，我们得到：

$$\frac{\partial L}{\partial V}=\sum _{i=1}^T\frac{\partial L_t}{{\hat{y}}_t}\times \frac{\partial {\hat{y}}_t}{\partial V}$$

梯度爆炸和梯度消失问题

在W和U中，存在一个连乘 ${\prod }_{i=k+1}^t\frac{\partial h_i}{\partial h_{i-1}}$；也就是说，会出现指数级别的问题；

如果$\frac{\partial h_i}{\partial h_{i-1}}>1$的话，那么连乘的结果可能会快速增长，导致梯度爆炸。

如果$\frac{\partial h_i}{\partial h_{i-1}}<1$的话，连乘的结果会迅速衰减到零，导致梯度消失

我们来求解一下关于$\frac{\partial h_i}{\partial h_{i-1}}$数学上的表示：

因为$h_t=f(U{X}_t+W{h}_{t-1})$，所以我们可以得到
$$\frac{\partial h_i}{\partial h_{i-1}}=f^{\prime }\times W$$

因为$f^{\prime }\in [0,0.25]$（假设为Sigmoid函数），所以说

• 如果 $W<4$，那么连乘很多次后，导致梯度消失
• 如果 $W>4$，那么连乘很多次后，导致梯度爆炸

为什么 $f^{\prime }\in [0,0.25]$？

$f$ 是Sigmoid函数，其导数 $f^{\prime }$ 的取值范围在0到0.25之间。

Sigmoid函数的导数表达式为 $f^{\prime }(x)=f(x)(1-f(x))$，其中 $f(x)$ 的取值范围在0到1之间。因此，$f^{\prime }(x)$ 的最大值为 $0.25$，在 $x=0.5$ 时取得。
如图所示

解决梯度消失和梯度爆炸的方法

为了缓解梯度消失和梯度爆炸问题，可以采用以下几种常见的方法：

1. 梯度裁剪（Gradient Clipping）：

   • 将梯度的绝对值限制在某个阈值范围内，防止梯度爆炸。
   • 例如，当梯度超过某个阈值时，将其裁剪到这个阈值。

2. 正则化方法：

   • 使用L2正则化（权重衰减）防止过度活跃的神经元。
   • 增加权重更新时的惩罚项，控制权重值不至于过大。

3. 批归一化（Batch Normalization）：

   • 对每个时间步的隐藏状态进行归一化，稳定训练过程。
   • 通过归一化，控制每个时间步的输出范围，防止梯度过大或过小。

4. 调整激活函数：

   • 选择适当的激活函数（如ReLU、Leaky ReLU等），防止梯度消失和爆炸。
   • 例如，Leaky ReLU 在负区间也有非零导数，避免了完全的梯度消失问题。

为什么很小的梯度无法更新权重并导致无法捕捉长期依赖关系？

当梯度非常小时，反向传播的权重更新公式：

$$\Delta W=-\eta \cdot \frac{\partial L}{\partial W}$$

梯度项 $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial W}$ 会非常小。这里，$\eta$ 是学习率。当梯度接近零时，权重更新 $\Delta W$ 也会接近零。这意味着神经网络的权重几乎不会发生变化，导致模型无法从训练数据中学习到有用的信息，从而无法有效捕捉长期依赖关系。