条件概率公式（定义）

$P(A|B)=\frac{P(A,B)}{P(B)}$
条件概率公式是定义，无法进行公式推导
条件概率$P(A|B)$指在事件$B$发生的条件下，事件$A$发生的概率
联合概率$P(A,B)$指事件A、事件B同时发生的概率

全概率公式（定理）

$P(A)={\sum }_{i}P(A|B_i)P(B_i)$

推导过程

• 样本空间的划分：假设$B_1,B_2,B_3,...,B_n$是样本空间$S$的一个划分，即它们互斥（$P(B_i,B_j)=0$对于所有$i\ne j$）且它们的并集是整个样本空间（${\sum }_{i=1}^{n}P(B_i)=1$）
• 事件$A$的表示：由于$B_1,B_2,B_3,...,B_n$是样本空间$S$的划分，事件$A$可以表示为$A$与每个$B_i$的交集的并集，即：$P(A)={\sum }_{i=1}^{n}P(A,B_i)$
• 条件概率的定义：根据条件概率的定义，$P(A,B)=P(A|B)P(B)$，$P(A)={\sum }_{i=1}^{n}P(A,B_i)={\sum }_{i=1}^{n}P(A|B_i)P(B_i)$

贝叶斯公式（定理）

含义

我们需要在证据$B$出现的条件下，计算假设$A$ 成立的概率
公式：$P(A|B)=\frac{P(B|A)}{P(B)}P(A)$
名词定义：

• $P(A|B)$，表示后验概率，即目标概率，指的是在证据B出现之后，得到的概率
• $P(A)$，表示先验概率，指的是在证据$B$出现之前，预先得到的概率
• $\frac{P(B|A)}{P(B)}$，表示可能性函数
  • $P(B|A)$，表示似然概率，是在假设$A$成立的条件下证据$B$出现的概率，即似然概率。
  • $P(B)$，表示边缘概率，是证据$B$出现的概率。
  • 因此，$\frac{P(B|A)}{P(B)}$可以被看作是一个标准化的似然概率。如果该值大于1，说明边缘概率$B$的引入，增大$A$的发生概率$\frac{P(B|A)}{P(B)}P(A)>P(A)$；反之，减少$A$的发生概率$\frac{P(B|A)}{P(B)}P(A)<P(A)$。

推导过程

1. 根据条件概率公式，有
   $P(A|B)=\frac{P(A,B)}{P(B)}$
   $P(B|A)=\frac{P(A,B)}{P(A)}$
2. 按照上述等式，有
   $P(A,B)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)$
3. 进一步推导，有
   $P(A|B)=\frac{P(B|A)}{P(B)}P(A)$
4. 根据全概率公式，将$P(B)={\sum }_{i}P(B|A_i)P(A_i)$带入，贝叶斯公式有一种新的形式
   $P(A|B)=\frac{P(B|A)}{P(B)}P(A)=\frac{P(B|A)}{{\sum }_{i}P(B|A_i)P(A_i)}P(A)$

贝叶斯公式应用案例

假设M国有10000人，有100个罪犯，9900个正常人。罪犯零元购的概率是90%，正常人零元购的概率是5%。现在发生一起零元购事件，请问是正常人零元购的概率是多少？

• 首先有两个事件，分别是罪犯或正常人事件A，以及零元购事件B
• 求解目标：$P(A=正常人|B)$，代入贝叶斯公式，有$P(A=正常人|B)=\frac{P(B|A=正常人)}{P(B|A=正常人)P(A=正常人)+P(B|A=罪犯)P(A=罪犯)}P(A=正常人)$
• 已知：
  • 正常人零元购概率是5%，等价于$P(B|A=正常人)=0.05$
  • 罪犯零元购概率是80%，等价于$P(B|A=罪犯)=0.9$
  • M国有10000人，有100个罪犯，9900个正常人，等价于$P(A=罪犯)=\frac{100}{10000}=0.01$，$P(A=正常人)=\frac{9900}{10000}=0.99$
• 求解贝叶斯公式：$$\begin{array}{c}\begin{array}{rl}P(A=正常人|B)& =\frac{P(B|A=正常人)}{P(B|A=正常人)P(A=正常人)+P(B|A=罪犯)P(A=罪犯)}P(A=正常人)\\ & =\frac{0.05}{0.05\ast 0.99+0.9\ast 0.01}\ast 0.99=0.8461\end{array}\end{array}$$ 从计算的结果来看，尽管正常人零元购可能性较低，但正常人占比多，所以正常人零元购的概率还是很大的。