摘要——在毫米波通信中，需要大型天线阵列通过与其他窄波束对准来实现高功率增益，这给在发射（Tx）和接收（Rx）两端高效地在角度域搜索最佳波束方向带来了挑战。由于穷举搜索非常耗时，分层搜索被广泛接受以降低其复杂性，且其性能高度依赖于码本设计。在本文中，我们为分层码本（hierarchical codebook design）设计提出了两个基本准则，并通过联合利用子阵列和去激活（关闭）天线处理技术，设计出一种高效的分层码本，并给出了其闭式表达式。我们在不同的系统和信道模型下对码本性能进行了评估。结果表明，我们提出的码本优于现有备选方案。

索引术语——毫米波通信，毫米波，码本设计，分层搜索。

I. 引言

毫米波（mmWave）通信因其丰富的频谱资源而成为下一代无线通信的一项有前途的技术，其容量远超现有的无线局域网（WLAN）和当前的蜂窝移动通信。事实上，毫米波通信作为下一代 WLAN [1]-[7] 和移动蜂窝通信 [8]-[16] 中的一项重要候选技术，已受到越来越多的关注。毫米波通信的一个根本挑战是由于其极高的载波频率（30-60 GHz）导致的高路径损耗。为了弥补这一显著的链路预算差距，通常需要联合的 Tx/Rx 波束赋形来带来大的天线阵列增益，这又需要一个大的 Tx/Rx 天线阵列尺寸（例如，一个 36x36 的天线阵列尺寸已在 [41] 中使用）。幸运的是，由于毫米波频率的波长很小，大型天线阵列可以被封装在一个很小的区域内。

在毫米波域，混合信号组件的高功耗以及昂贵的射频（RF）链，使得在传统的多输入多输出（MIMO）系统中实现数字基带波束赋形变得即便不是不可能，也是非常困难的。因此，通常首选模拟波束赋形，其中所有天线共享一个射频链，并对它们的权重具有恒定振幅（CA）约束[4], [6], [17], [18]。此外，为了实现多流/多用户传输，也提出了混合模拟/数字预编码结构[9], [12], [13]，其中少量的射频链连接到一个大型天线阵列。无论采用模拟波束赋形还是混合预编码结构，由于大型天线阵列的存在，逐项估计信道状态信息（CSI）的成本都很高，因此需要一种更高效的天线训练算法。

对于混合预编码结构，由于毫米波信道在角度域通常是稀疏的，研究人员提出了基于压缩感知（CS）的信道估计方法来估计多径分量（MPCs）的到达角（steering angles）[9], [16], [19]–[21]，

• 其中[19]用于点对点多流传输，
• [20]用于多用户传输，
• 而[21]基于具有虚拟阵元的天线阵列表示，进一步增强了[19]中的信道估计。

对于模拟波束赋形结构，现有两种不同的方法。

• 在[4], [6], [7], [22]中，采用了一种迭代的波束赋形训练方法，即通过固定另一端的波束赋形向量来交替优化一端（发射机或接收机）的波束赋形向量，并通过重复交替来逐次迭代地提高波束赋形增益。
• 另一方面，在[17], [18], [23]中，采用了一种切换波束赋形方法（ a switched beamforming approach），其中波束搜索空间（分别在发射机和接收机端）由一个包含多个码字的码本表示，通过搜索各自的码本找到最佳的发射/接收波束。两种方法各有千秋，在不同的应用中可能都有用。

在本文中，我们专注于单流传输的切换波束赋形。这是因为单流波束赋形实际上是在极低的信噪比（SNR）条件下实现容量的关键[24]。此外，单流波束赋形可以很容易地扩展到更复杂的混合结构中。

对于预编码情况[19]。对于切换波束赋形，可以采用穷举搜索算法，该算法顺序测试角度域中的所有波束方向，并找到最佳的发射/接收波束赋形码字对。这个方法在概念上很简单。然而，由于毫米波通信的候选波束方向数量通常很大，总体的搜索开销是令人望而却步的。为了提高搜索效率，可以定义一个分层码本[3], [17], [18], [25]–[27]。例如，可以定义一个由少量粗/低分辨率波束（或扇区）组成的粗略码本，覆盖预期的角度范围；同时可以定义一个由大量精细/高分辨率波束组成的精细码本，覆盖相同的预期角度范围，并且一个粗略波束可能具有与多个精细波束总和相同/相似的覆盖范围。然后，可以在码本的层次结构上执行“分而治之”的搜索，首先在低分辨率码本级别找到最佳扇区（或粗略波束），然后在包含最佳低分辨率波束的最佳高分辨率波束的码本中找到最佳的精细波束。

切换波束赋形方案的性能，包括搜索时间和成功率，高度依赖于分层码本的设计。在[17], [18]中，虽然提出了使用更宽波束来加速波束搜索，但并未研究展宽波束的设计方法。通过对两个具有较窄波束的码字求和可以生成具有更宽波束的码字，但这样一来，恒定振幅（CA）约束就不再满足。在[26]中，提出了一种子阵列方法，通过将子阵列的波束指向略有间隙的方向来展宽波束。然而，文章并未明确设计一个完整的分层码本，并且这种方法可能不适用于设计非常宽或全向的波束。

• 在[19]中，采用混合预编码结构来塑造更宽的波束，利用了稀疏重构方法，但只有当射频（RF）链的数量很大且角度范围内的深零点出现时，才能形成高质量的宽波束。
• 在[27]中，利用天线去激活（antenna deactivation）设计了一个二叉树结构的分层码本，其中更宽的波束是通过关闭部分天线生成的。然而对于非常宽或全向波束来说，开启的有源天线数量很少了，这可能限制其在毫米波通信中的应用，因为每个天线的传输功率是有限的。

在本文中，我们首先为任意分层码本设计提出了两个基本准则，然后通过联合利用 子阵列 和 去激活（关闭）天线处理技术，设计出一种高效的分层码本。我们提供了生成该码本的闭式表达式。在所提出的方法中，

• 子阵列的波束指向大间隙方向（widely-gapped directions）以展宽波束，这与[26]有着本质的不同；
• 并且去激活操作作用于子阵列，而不是像[27]那样作用于单个天线。

据我们所知，这是首次提出这两个准则以及联合子阵列和去激活的码本设计。性能评估在视距（LOS）和非视距（NLOS）信道下进行，并且同时考虑总传输功率和单天线传输功率模型的情况下进行的。结果表明，我们提出的码本优于现有备选方案，尤其是在单天线发射功率受限的情况下。

II. SYSTEM AND CHANNEL MODELS

III. HIERARCHICAL CODEBOOK DESIGN

在本节中，我们设计一个由具有不同波束宽度的码字（或角权重向量 Angular Weight Vectors ，AWVs）组成的分层码本，这有助于在寻找强或最强多径分量（MPC）的导向向量时提高搜索效率。需要指出的是，基于毫米波（mmWave）信道的具体结构，码本设计是在角度域建立码字之间的关系，以加速波束搜索。因此，码本设计实际上与瞬时信道响应无关。当实践中需要波束赋形进行数据传输时，需要基于设计的码本启动波束搜索过程，以为给定的信道找到合适的波束赋形权重（导向向量）。对于不同的信道，码本是相同的，但根据信道响应，搜索到的最优导向向量是不同的。

尽管一些文献[25]–[27]和一些标准，如 IEEE 802.15.3c 和 IEEE 802.11ad [3], [17], [18]，已经为波束搜索提出了一些分层搜索方案，但据我们所知，目前还没有提出判断一个码本是否合适的准则，并且为毫米波通信提供闭式表达式的完整分层码本也很少。在本节中，我们首先提出两个用于设计分层码本的基本准则，然后基于所提出的准则，联合利用子阵列和去激活技术设计一个码本。

A. 两个准则

在介绍这两个准则之前，我们首先在这里介绍两个定义。令 $A(\mathbf{w},\Omega )$ 表示波束 $\mathbf{w}$ 在角度 $\Omega$ 上的波束增益，其定义为

$$A(\mathbf{w},\Omega )=\sqrt{N}\mathbf{a}(N,\Omega {)}^{\mathrm{H}}\mathbf{w}=\sum _{n=1}^N[\mathbf{w}{]}_n{e}^{-\mathrm{j}\pi (n-1)\Omega },$$

其中 $ N $ 是 $ \mathbf{w} $ 中元素的数量。

令 $ CV(\mathbf{w}) $ 表示角权重向量（AWV）$ \mathbf{w} $ 在角度域上的波束覆盖范围，其数学表达式为：

C V ( w ) = { Ω ∣ ∣ A ( w , Ω ) ∣ > ρ max ⁡ ω ∣ A ( w , ω ) ∣ } ( 13 ) CV(\mathbf{w}) = \{\Omega \mid |A(\mathbf{w}, \Omega)| > \rho \max_{\omega} |A(\mathbf{w}, \omega)| \} \quad (13) CV(w)={Ω∣∣A(w,Ω)∣>ρωmax​∣A(w,ω)∣}(13)

其中 $ \rho $ 是一个在 $ (0, 1) $ 范围内的因子，用于确定 $ \mathbf{w} $ 的波束覆盖范围。很容易发现，随着 $ \rho $ 变大，覆盖范围会变小。当 $ \rho = 1/\sqrt{2} $ 时，该波束覆盖范围就是众所周知的 3dB 波束宽度。不同的码本设计方法可能具有不同的 $ \rho $ 值，并且同一码本中具有不同波束宽度的码字也可能具有不同的 $ \rho $ 值。

分层搜索就是分层级的搜索，即码本内的角权重向量（AWVs）根据其波束宽度进行分层。具有较低层级的 AWV 拥有较宽的波束宽度。令 $ \mathbf{w}(k, n) $ 表示第 $ k $ 层中的第 $ n $ 个码字（或 AWV），两个准则表述如下。

准则1：每一层内所有码字的波束覆盖范围的并集应覆盖整个角度域，即
$${\cup }_{n=1}^{N_k}\mathcal{C}\mathcal{V}(\mathbf{w}(k,n))=[-1,1],k=0,1,\dots ,K,$$
其中 $N_k$ 是第 $k$ 层的码字数量， $K$ 是层的最大索引（共有 $K+1$ 层）。

准则2：某一层内任意一个码字的波束覆盖范围，应被下一层中若干个码字的波束覆盖范围的并集所覆盖，即
$$\mathcal{C}\mathcal{V}(\mathbf{w}(k,n))\subseteq {\cup }_{m\in {\mathcal{J}}_{k,n}}\mathcal{C}\mathcal{V}(\mathbf{w}(k+1,m)),k=0,1,\dots ,K-1(15)$$
其中 ${\mathcal{J}}_{k,n}$ 是一个索引集合，其内的索引对应于第 $k$ 层的第 $n$ 个码字在第 $(k+1)$ 层中的子码字。为方便起见，我们称 $\mathbf{w}(k,n)$ 为 父码字，而称 { w ( k + 1 , m ) ∣ m ∈ J k , n } \{\mathbf{w}(k+1, m) \mid m \in \mathcal J_{k,n}\} {w(k+1,m)∣m∈Jk,n​} 为 $\mathbf{w}(k,n)$ 的 子码字。

很明显，准则1保证了完全覆盖，即在波束搜索过程中不会漏掉任何角度；而准则2则在码字之间建立了一种树状关系，从而实现了分层搜索。如果每个父码字都有 $M$ 个子码字，那么就其波束覆盖范围而言，码本中的所有码字在角度域构成了一个 $M$ 叉树。在这种情况下，可以很容易地通过在接收机和发射机两端使用树搜索算法来实现分层搜索，具体如下[19], [27]。

分层搜索：初始阶段，我们将发射机固定在全向模式下，并运行一个持续 ${\log }_M(N_R)$ 个阶段的 $M$ 叉树搜索，以找到最佳的接收码字。然后，我们将接收机固定在已找到的最佳接收码字所对应的方向模式下，并运行一个持续 ${\log }_M(N_T)$ 个阶段的 $M$ 叉树搜索，以找到最佳的发射码字。在每个阶段，我们都有 $M$ 个候选码字，它们是上一阶段找到的父码字的 $M$ 个子码字。

我们需要逐一测试所有这 $M$ 个码字，以找到最佳的一个，并将其作为下一阶段搜索的新父码字。因此，Tx/Rx联合训练的搜索时间（测试次数）为

$$T=M{\log }_M{N}_T+M{\log }_M{N}_R.\text{\hspace{1em}(16)}$$

在下一小节中，我们将设计一个 $M=2$ 的码本，原因是当 $M=2$ 时，码本树是一个典型的二叉树，并且天线数量通常是2的幂，这在天线阵列设计中很常用。尽管如此，将所提出的方法扩展到 $M$ 的其他取值是直接了当的。

B. The Deactivation Approach

作为联合子阵列和去激活方法的基础，我们在本小节中首先介绍去激活（DEACT）方法来设计一个二叉树码本，其波束覆盖范围如图2所示。该码本有 ${\log }_2(N)+1$ 层，层级索引从 $k=0$ 到 $k={\log }_2(N)$，第 $k$ 层的码字数量为 $N_k=2^k$。这里 $N$ 表示任意阵列的天线数量。此外，我们在发射机端有 $N=N_T$，在接收机端有 $N=N_R$。此外，我们有

$$\begin{array}{l}\mathcal{C}\mathcal{V}(\mathbf{w}(k,n))=\mathcal{C}\mathcal{V}(\mathbf{w}(k+1,2n-1))\cup \mathcal{C}\mathcal{V}(\mathbf{w}(k+1,2n))\\ k=0,1,\dots ,\left({\log }_2(N)-1\right),n=1,2,3,\dots ,2^k\end{array}\text{\hspace{1em}(17)}$$

在我们的方法中，我们定义

$$\mathcal{C}\mathcal{V}(\mathbf{a}(N,\Omega ))=\left[\Omega -\frac{1}{N},\Omega +\frac{1}{N}\right]\text{\hspace{1em}(18)}$$

这意味着导向向量的波束宽度为 $2/N$，中心在角度 $\Omega$ 处[24]。换句话说，在导向向量 $\mathbf{a}(N,\Omega )$ 的波束覆盖范围内，它在角度 $\Omega$ 处具有最大波束增益，而在角度 $\Omega \pm 1/N$ 处具有最小波束增益。因此，我们可以为我们的码本计算 $\rho$ 的值

$$\begin{array}{rl}\rho =& \left|\frac{\mathbf{a}(N,\Omega -1/N{)}^{\mathrm{H}}\mathbf{a}(N,\Omega )}{\mathbf{a}(N,\Omega {)}^{\mathrm{H}}\mathbf{a}(N,\Omega )}\right|\\ & \text{ or }\left|\frac{\mathbf{a}(N,\Omega +1/N{)}^{\mathrm{H}}\mathbf{a}(N,\Omega )}{\mathbf{a}(N,\Omega {)}^{\mathrm{H}}\mathbf{a}(N,\Omega )}\right|\\ =& \frac{1}{N}\left|\sum _{n=1}^N{e}^{\mathrm{j}\pi (n-1)/N}\right|.\end{array}\text{\hspace{1em}(19)}$$

尽管 $\rho$ 的值取决于 $N$，但当 $N$ 很大时，例如 $N\ge 8$ 时，给定 $\rho \approx 0.64$。当 $N$ 很小时，例如 $N=4$ 时，我们得到 $\rho \approx 0.65$。

注意到最后一层的 $N$ 个码字总共覆盖了 $[-1,1]$ 的角度范围，这意味着所有这些码字必须具有最窄的波束宽度 $2/N$ 和不同的导向角。换句话说，最后一层中的码字应该是导向向量，其角度在 $[-1,1]$ 内均匀采样。因此，我们有 $\mathcal{C}\mathcal{V}(\mathbf{w}({\log }_2(N),n))=[-1+\frac{2n-2}{N},-1+\frac{2n}{N}]$，其中 $n=1,2,\dots ,N$。利用最后一层码字的波束覆盖范围，我们可以按层级索引降序依次获得其他层码字的覆盖范围，即获得 $\mathcal{C}\mathcal{V}(\mathbf{w}({\log }_2(N)-1,n))$，$\mathcal{C}\mathcal{V}(\mathbf{w}({\log }_2(N)-2,n))$，…，$\mathcal{C}\mathcal{V}(\mathbf{w}(0,n))$。最终，所有码字的波束覆盖范围可以统一写为

$$\begin{gathered} \mathcal{C}\mathcal{V}(\mathbf{w}(k,n))=\left[-1+\frac{2n-2}{2^k},-1+\frac{2n}{2^k}\right], \\ k=0,1,2,\dots ,{\log }_{2}N,n=1,2,3,\dots ,2^k.\text{\hspace{1em}(20)} \end{gathered}$$

将式(20)与式(18)进行比较，可以清楚地看到当

$$\mathbf{w}(k,n)={\left[\mathbf{a}{\left(2^k,-1+\frac{2n-1}{2^k}\right)}^T,0_{(N-2^k)\times 1}^T\right]}^T\text{\hspace{1em}(21)}$$

时，式(20)成立。这正是在[27]中提出的去激活方法，其中第 $k$ 层中激活天线的数量为 $2^k$，而其他天线则全部关闭。图3展示了当 $N=128$ 时DEACT方法的一个波束方向图示例。从该图中我们发现 $\mathbf{w}(0,1)$ 的波束覆盖范围恰好是 $\mathbf{w}(1,1)$ 和 $\mathbf{w}(1,2)$ 的并集，而 $\mathbf{w}(1,1)$ 的波束覆盖范围又是 $\mathbf{w}(2,1)$ 和 $\mathbf{w}(2,2)$ 的并集。

C. The Joint Sub-Array and Deactivation Approach

值得注意的是，对于去激活方法，当 $k$ 很小时，激活天线的数量很少，甚至在 $k=0$ 时只有1个。这极大地限制了毫米波设备的最大总传输功率。通常，我们希望激活天线的数量尽可能大，这样可以传输更高的功率，因为在毫米波通信中，单天线的发射功率通常是有限的。为了实现这一目标，我们在这里考虑联合使用子阵列和去激活方法。由于该方法的关键是“通过单射频子阵列实现波束展宽”（ Beam Widening via Single RF Subarray），我们将其称为BMW-SS。

我们还希望设计一个码本，其波束覆盖范围如图2所示。根据式(18)，在第$k$层，每个码字都有一个$2/2^k$ 的波束宽度。对于最后一层的码字，我们可以根据式(21)采用导向向量。与最后一层的码字相比，较低层中的码字具有更宽的波束，并且根据式(20)，同一层中的码字具有相同的波束宽度但不同的导向角。因此，在码本设计中有两个基本任务，即沿着所需方向旋转波束和按所需因子展宽波束。我们首先介绍波束旋转。

1. 波束旋转：波束旋转可以根据以下定理来实现。

定理1：$\mathcal{C}V(\mathbf{w}\odot \sqrt{N}\mathbf{a}(N,\psi ))=\mathcal{C}V(\mathbf{w})+\psi$，其中 $\odot$ 表示逐元素乘积（也称为哈达玛积），$N$ 是 $\mathbf{w}$ 的元素数量，$\psi$ 是任意角度。$\mathcal{A}+\psi$ 是一个新的角度集，其元素是角度集 $A$ 中的元素加上 $\psi$。


证明 请参见附录A，并且该定理不仅可以用于BMW-SS方法，也可以用于其他码本设计方法。
定理1意味着，给定任意码字 $\mathbf{w}$，我们可以通过 $\mathbf{w}\odot \sqrt{N}\mathbf{a}(N,\psi )$ 将其波束覆盖范围 $\mathcal{C}\mathcal{V}(\mathbf{w})$ 旋转 $\psi$。这个定理有助于在找到某一层中的一个码字后，设计出该层中所有其他的码字。为解释这一点，我们需要强调，根据式(20)，同一层中的所有码字具有相同的波束宽度但不同的导向角，这意味着可以假设所有码字的波束覆盖范围在角度域中具有相同的形状但不同的偏移量。因此，只要我们知道它们之间的角度间隙，就可以根据定理1基于一个码字获得另一个码字。特别地，假设我们找到了第 $k$ 层的第一个码字 $\mathbf{w}(k,1)$。根据式(20)，我们确实知道第 $k$ 层中第 $n$ 个码字，即 $\mathbf{w}(k,n)$，与 $\mathbf{w}(k,1)$ 之间的角度间隙是 $\frac{2n-2}{2^k}$，其中 $n=2,3,\dots ,2^k$。然后，我们可以根据定理1（见下方的推论1）基于 $\mathbf{w}(k,1)$ 获得该层中的所有其他码字。

推论1：给定第 $k$ 层的第一个码字 $\mathbf{w}(k,1)$，该层所有其他的码字都可以通过将 $\mathbf{w}(k,1)$ 分别旋转 $\frac{2n-2}{2^k}$ (其中 $n=2,3,\dots ,2^k$) 来找到，即 $\mathbf{w}(k,n)=\mathbf{w}(k,1)\odot \sqrt{N}\mathbf{a}(N,\frac{2n-2}{2^k})$。

证明：为证明此推论，我们需要证明，根据式(20)，当 $\mathbf{w}(k,n)=\mathbf{w}(k,1)\odot \sqrt{N}\mathbf{a}(N,\frac{2n-2}{2^k})$ 时，有 $\mathbf{w}(k,n)\in \mathcal{W}(N)$ 和 $\mathcal{C}\mathcal{V}(\mathbf{w}(k,n))=[-1+\frac{2n-2}{2^k},-1+\frac{2n}{2^k}]$。由于

$$\begin{array}{rl}[\mathbf{w}(k,n){]}_i& =[\mathbf{w}(k,1)\odot \sqrt{N}\mathbf{a}(N,\frac{2n-2}{2^k}){]}_i\\ & =[\mathbf{w}(k,1){]}_i{e}^{j\pi (i-1)\frac{2n-2}{2^k}},\end{array}\text{\hspace{1em}(22)}$$

我们有 $|[\mathbf{w}(k,n){]}_i|=|[\mathbf{w}(k,1){]}_i|$。由于 $\mathbf{w}(k,1)\in \mathcal{W}(N)$，$\mathbf{w}(k,n)\in \mathcal{W}(N)$ …

此外，$\mathbf{w}(k,1)$ 的波束覆盖范围是 $[-1,-1+\frac{2}{2^k}]$。根据定理1，

$$\begin{array}{rl}\mathcal{C}\mathcal{V}(\mathbf{w}(k,n))& =\mathcal{C}\mathcal{V}\left(\mathbf{w}(k,1)\odot \sqrt{N}\mathbf{a}\left(N,\frac{2n-2}{2^k}\right)\right)\\ & =\mathcal{C}\mathcal{V}(\mathbf{w}(k,1))+\frac{2n-2}{2^k}\\ & =\left[-1,-1+\frac{2}{2^k}\right]+\frac{2n-2}{2^k}\\ & =\left[-1+\frac{2n-2}{2^k},-1+\frac{2n}{2^k}\right].\end{array}\text{\hspace{1em}(23)}$$

2. 波束展宽：剩下的任务是为每一层展宽波束。给定一个 $N$ 元阵列，我们通常期望波束宽度为 $2/N$。然而，这个波束宽度实际上是通过将发射功率集中在一个特定的角度 ${\Omega }_0$ 上实现的，即通过选择AWV来最大化 $|A(\mathbf{w},{\Omega }_0)|$。直观上，如果我们设计AWV以将发射功率分散到不同且间隔较宽的角度上，波束宽度就可以被展宽。更具体地说，如果一个大型天线阵列被分成多个子阵列，并且这些子阵列指向间隔足够大的方向，那么就可以形成一个更宽的波束。

为说明这一点，我们将 $N$ 天线阵列分成 $M$ 个子阵列，每个子阵列有 $N_S$ 个天线，即 $N=M{N}_S$。此外，我们让 ${\mathbf{f}}_m=[\mathbf{w}{]}_{(m-1)N_S+1:m{N}_S}$，${\left[{\mathbf{f}}_m\right]}_n=[\mathbf{w}{]}_{(m-1)N_{\mathrm{S}}+n},m=1,2,\dots ,M$。${\mathbf{f}}_m$ 可以看作是第 $m$ 个子阵列的子AWV。因此，$\mathbf{w}$ 的波束增益可以写作

$$\begin{array}{rl}A(\mathbf{w},\omega )& =\sum _{n=1}^N[\mathbf{w}{]}_n{e}^{-j\pi (n-1)\omega }\\ & =\sum _{m=1}^M\sum _{n=1}^{N_S}[\mathbf{w}{]}_{(m-1)N_S+n}{e}^{-j\pi ((m-1)N_S+n-1)\omega }\\ & =\sum _{m=1}^M{e}^{-j\pi (m-1)N_S\omega }\sum _{n=1}^{N_S}[{\mathbf{f}}_m{]}_n{e}^{-j\pi (n-1)\omega }\\ & =\sum _{m=1}^M{e}^{-j\pi (m-1)N_S\omega }A({\mathbf{f}}_m,\omega ),\end{array}\text{\hspace{1em}(24)}$$

这意味着 $\mathbf{w}$ 的波束增益可以看作是各个 ${\mathbf{f}}_m$ 的波束增益的并集。根据式(18)，通过分配 ${\mathbf{f}}_m=e^{j{\theta }_m}\mathbf{a}(N_S,-1+\frac{2m-1}{N_S})$，其中 $e^{j{\theta }_m}$ 可以看作是第 $m$ 个子阵列的具有单位范数的标量系数，第 $m$ 个子阵列的波束覆盖范围为 $\mathcal{C}\mathcal{V}({\mathbf{f}}_m)=[-1+\frac{2m-2}{N_S},-1+\frac{2m}{N_S}]$，其中 $m=1,2,\dots ,M$。因此，$\mathbf{w}$ 的波束覆盖范围为

$$\mathcal{C}\mathcal{V}(\mathbf{w})=\bigcup _{m=1}^M\mathcal{C}\mathcal{V}({\mathbf{f}}_m)=\left[-1,-1+\frac{2M}{N_S}\right]=\left[-1,-1+\frac{2M^2}{N}\right],\text{\hspace{1em}(25)}$$

即，通过使用子阵列技术，波束宽度被展宽了 $M^2$ 倍，其中一个展宽因子 $M$ 来自子阵列的数量，而另一个因子 $M$ 来自子阵列尺寸的减小。

然而，在上述过程中，不同子阵列之间的相互影响没有被考虑进去。在 ${\mathbf{f}}_m=e^{j{\theta }_m}\mathbf{a}(N_S,-1+\frac{2m-1}{N_S})$ 的情况下，我们有

$$\begin{gathered} A(\mathbf{w},\omega ){|}_{{\mathbf{f}}_m=e^{j{\theta }_m}\mathbf{a}\left(N_S,-1+\frac{2m-1}{N_S}\right)} \\ =\sqrt{N_S}\sum _{m=1}^M{e}^{-j\pi (m-1)N_S\omega }{e}^{j{\theta }_m}\times \mathbf{a}\left(N,\frac{2m-1}{N_S}\right).\text{\hspace{1em}(26)} \end{gathered}$$

由于导向向量具有当 $m\ne n$ 时 $\mathbf{a}(N_S,-1+\frac{2m-1}{N_S}{)}^H\mathbf{a}(N_S,-1+\frac{2n-1}{N_S})=0$ 的性质，${\mathbf{f}}_m$ 在角度 $-1+\frac{2m-1}{N_S}$ 上的波束增益受其他 ${\mathbf{f}}_n$ 的影响很小。可以清楚地看到 $|A(\mathbf{w},-1+\frac{2m-1}{N_S})|=\sqrt{N_S}$，对于 $m=1,2,\dots ,M$，这意味着在角度 $\omega =1+\frac{2m-1}{N_S}$ 上的波束增益是显著的。

此外，为了减少波束波动，要求这些覆盖区域在角度域的交点，即 $\omega =-1+\frac{2n}{N_S}$，$n=1,2,\dots ,M-1$，也具有高波束增益，这可以通过调整系数 $e^{j{\theta }_m}$ 来实现。具体来说，我们有(28)，显示在页面底部，其中在(a)我们使用了当 $|{\omega }_1-{\omega }_2|>2/N_S$ 时 $\mathbf{a}(N_S,{\omega }_1{)}^H\mathbf{a}(N_S,{\omega }_2)$ 很小可以忽略的事实，在(b)我们利用了本文中 $N_S$ 是偶数的条件。为了最大化 $|A(\mathbf{w},\omega ){|}^2$，我们面临问题

$$\underset{\Delta \theta }{\mathrm{maximize}}|f(N_S,\Delta \theta ){|}^2,\text{\hspace{1em}(27)}$$

其解为 $\Delta \theta =(2k-\frac{N_S-1}{N_S})\pi$，其中 $k\in \mathbb{Z}$。因此，我们可以选择 ${\theta }_m=-jm\frac{N_S-1}{N_S}\pi$，这满足 $\Delta \theta =\pi$，以减少波束的波动。

总之，通过使用子阵列方法并设置 ${\theta }_m=-jm\frac{N_S-1}{N_S}\pi$，对于 $m=1,2,\dots ,M$，我们获得一个码字 $\mathbf{w}$，其波束宽度为 $\frac{2M}{N_S}=\frac{2M^2}{N}$。如果我们联合使用子阵列和去激活方法，我们可以通过设置

$${\mathbf{f}}_m=\{\begin{array}{ll}{e}^{-jm\frac{N_S-1}{N_S}\pi }\mathbf{a}(N_S,-1+\frac{2m-1}{N_S}),& m=1,2,\dots ,N_A,\\ 0_{N_S\times 1},& m=N_A+1,N_A+2,\dots ,M.\end{array}\text{\hspace{1em}(29)}$$

来获得波束宽度为 $\frac{2N_A}{N_S}=\frac{2M{N}_A}{N}$ 的码字，其中 $N_A$ 是激活子阵列的数量。

3. 码本生成：回想一下，我们需要设计码字 $\mathbf{w}(k,n)$，其在第 $k$ 层的波束宽度为 $2/2^k$。

当 $k={\log }_2(N)$ 时，我们有 $\mathbf{w}({\log }_2(N),n)=\mathbf{a}(N,-1+\frac{2n-1}{N})$，其中 $n=1,2,\dots ,N$。
当 $k={\log }_2(N)-\ell$ 时，其中 $\ell =1,2,\dots ,{\log }_2(N)$，我们遵循以下步骤来计算 $\mathbf{w}(k,n)$:

• 将 $\mathbf{w}(k,1)$ 分成 $M=2^{\lfloor (\ell +1)/2\rfloor }$ 个子阵列，每个子阵列有 $m=1,\dots ,M$ 个天线。$[\cdot ]$ 是向下取整操作。
• 根据(29)设置 ${\mathbf{f}}_m$，其中如果 $\ell$ 是奇数，$N_A=M/2$，如果 $\ell$ 是偶数，$N_A=M$。
• 根据推论1，我们有 $\mathbf{w}(k,n)=\mathbf{w}(k,1)\odot \sqrt{N}\mathbf{a}(N,\frac{2n-2}{2^k})$，其中 $n=2,3,\dots ,2^k$。
• 归一化 $\mathbf{w}(k,n)$。

图4展示了在 $N=128$ 的情况下BMW-SS方法的波束方向图示例。从该图中我们发现 $\mathbf{w}(0,1)$ 的波束覆盖范围恰好是 $\mathbf{w}(1,1)$ 和 $\mathbf{w}(1,2)$ 的并集，而 $\mathbf{w}(1,1)$ 的波束覆盖范围又是 $\mathbf{w}(2,1)$ 和 $\mathbf{w}(2,2)$ 的并集。将图3中所示的DEACT的波束方向图与图4进行比较，可以观察到，尽管BMW-SS存在小范围的波动，但BMW-SS的波束在其覆盖角度内显得比DEACT的波束更平坦。

另一方面，对于BMW-SS，所有码字要么是全部天线激活，要么是半数天线激活，这在最大总传输功率方面显示出比DEACT显著的优势，特别是对于低层码字。图5在单天线发射功率模型下，对BMW-SS、DEACT以及[19]中的方法（称为稀疏）的波束方向图进行了比较，其中所有激活天线的权重都具有单位幅度。从该图中，我们发现由于利用了更多的激活天线，BMW-SS提供了比DEACT高得多的波束增益。此外，对于稀疏码本（ Sparse codebook），当射频链的数量很少时，其宽波束的覆盖范围内存在很深的波谷（sink），并且射频链数量越少，波谷问题越严重，这与[19]中的结果（见其中的图5）是一致的。显然，如果一个多径分量（MPC）的离开角（AoD）或到达角（AoA）正好处于波谷的角度，该码字就无法检测到该MPC，从而导致MPC的漏检。相比之下，BMW-SS没有这样深的波谷。

值得注意的是，所设计码本的相应分层搜索最终将在两端都收敛到最后一层的码字，即一个导向向量。我们可以发现最后一层的角度分辨率是 $2/N$。因此，所设计的码本只是一个粗略码本，而相应的搜索方法是粗略搜索，就像[27]中的一样。如果需要更高的角度分辨率，一个由导向向量构成的、具有比 $2/N$ 更小采样间隙的精细码本是必要的。详情请参见[27]。

D. Generalization

1. 对于混合预编码结构：在本文中，我们采用了一个模拟波束赋形结构，并且所提出的两个准则和BMW-SS方法都是基于模拟波束赋形结构的。然而，它们对于混合预编码结构是自然可行的，因为模拟波束赋形结构可以看作是混合预编码结构的一个分支[19]。为了通过混合预编码结构实现多流传输，需要搜索多个多径分量（MPCs）的离开角（AoDs）和到达角（AoAs）。本文中的搜索过程可以被应用于搜索每个单一MPC的AoD和AoA。事实上，从单流传输到多流传输的类似扩展已在[19]中被研究过。

2. 对于其他类型的天线阵列：在本文中我们采用了一个ULA（均匀线性阵列）模型。还存在其他类型的天线阵列，例如UPA（均匀平面阵列）和UCA（均匀圆形阵列）。所提出的准则和BMW-SS方法可以很容易地扩展到UPA模型。对于一个典型的二维栅格UPA，其包含 $m\times n$ 个单元，其导向向量可以表示为两个分别具有 $m\times 1$ 和 $n\times 1$ 个元素的ULA的导向向量的克罗内克积[26]。因此，搜索过程以及码本设计可以扩展到UPA模型，并将在未来的工作中进行研究。
   
   另一方面，对于UCA模型，这两个准则也是可行的，但准则1中的波束覆盖范围应扩展到二维角度范围，包括方位角和仰角。然而，所提出的BMW-SS方法很难扩展到UCA模型，因为导向向量的元素之间的关系改变了。根据所提出的准则为UCA模型设计一个新的码本确实会很有趣。

3. 对于任意数量的天线单元：在本文中，我们要求ULA的单元数量($N$)是 $M^p$，其中 $p$ 是某个正整数，因为BMW-SS方法需要将阵列或子阵列分成 $M$ 个更小的子阵列。对于一个具有任意数量单元的ULA，如果 $N$ 不是 $M$ 的整数次幂，则子阵列技术是不可行的。因此，所提出的方法不能扩展到具有任意数量天线的ULA。在实践中有两种可能的选择。一种是在设计系统时选择一个 $N$ 是 $M$ 的整数次幂的ULA，这在系统规划中是合理的，因为波束赋形方法应该被考虑进去。另一种是利用 $M^{\lfloor {\log }_{M}N\rfloor }$ 个天线进行BMW-SS波束赋形，同时 deactivating 其他天线。之后，可以利用所有激活的天线进行进一步的波束微调。