2.1 Classification and Linear Discriminants
2.1 分类和线性判别器
2.2 Determining Linear Separability
2.2 确定线性可分性

1 基础概念

1.1 理论化

Training data : the data has been given to us in which we know the features of a given example as well as the corresponding labels of that example. 我们已经获得了数据，其中我们知道给定示例的特征以及该示例的相应标签。

Validation Data：Set of examples (with known labels) that are used to ensure that the classifier is
expected to generalize to novel cases 验证数据：一组具有已知标签的示例，用于确保分类器能够推广到新的案例

Test Data ：(Ideally) Data for which the labels are not known and the ML model is used to find
their labels 测试数据：（理想情况下）标签未知的数据，可以使用机器学习模型来查找其标签。

Training Set（训练集）——用于训练模型
├── Validation Set（验证集）——用于调参、模型选择
└── Test Set（测试集）——仅用于最终性能评估

Training 训练：These objects span this feature space to make a rule that allows us to classify for this particular problem. The development of this rule is called training. 这些对象跨越特征空间，形成一个规则，使我们能够针对这个特定问题进行分类。这个规则的制定过程称为训练。

1.2 数学化

标签集 label class : y ∈ { c 1 , c 2 , … , c M } y \in \{ c_1, c_2, \ldots, c_M \} y∈{c1​,c2​,…,cM​}
在上述例子中，M=3，$c_1=oranges$ , $c_2=apples$ , $c_3=mangoes$ 。

每个样本的特征向量（feature vector） :
$$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}^{(1)}\\ x^{(2)}\\ ⋮\\ x^{(d)}\end{array}\right]$$
对于一个橘子，其中 d=2，redness=1, roundness =3 （红度为1，圆度为3）
$$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right]$$
由此，我们得到最终版本的分类数据点 classified data points，X数据集，Y标签集：
X = { x 1 , x 2 , … , x N } , x i = [ x i ( 1 ) x i ( 2 ) ⋮ x i ( d ) ] X = \{ \mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_N \}, \quad \mathbf{x}_i = \begin{bmatrix} x_i^{(1)} \\ x_i^{(2)} \\ \vdots \\ x_i^{(d)} \end{bmatrix} X={x1​,x2​,…,xN​},xi​= ​xi(1)​xi(2)​⋮xi(d)​​ ​

Y = { y 1 , y 2 , … , y N } , y i ∈ { c 1 , c 2 , … , c M } Y = \{ y_1, y_2, \ldots, y_N \}, \quad y_i \in \{ c_1, c_2, \ldots, c_M \} Y={y1​,y2​,…,yN​},yi​∈{c1​,c2​,…,cM​}

2 Discriminant based classification 基于判别式的分类

Discriminant is a very specific way of developing classifier. 判别式是一个非常具体的开发分类器的方式
在这种分类中，目标是从训练数据中学习一个函数，或者，如果类别超过 2 个，则学习一组函数，这些函数可以为测试数据生成决策，从而将数据中的类别区分开来。
类别标签分配：
$$c(\mathbf{x})=\arg \underset{k=1,\dots ,M}{\max }{f}_k(\mathbf{x})$$

上述例子，类别是苹果、橘子、芒果三类，使用三个函数 $f_1(x)$， $f_2(x)$， $f_3(x)$分别对应三个标签。把一个样本代入这三个函数，得到三个值。其中最大值是哪个函数，就对应哪个标签。

2.1 Linear Classifier 线性判别式 （supervised 监督）

2.2 KNN （K=3）-Nearest Neighbor Classification 最近邻分类器

Note: K = 3构成的边界图比 K = 1更平滑smooth。

3 Linear Separability 线性可分

If data points can be separated by a linear discriminant then that dataset/classification problem is called “linearly separable” 如果数据点可以通过线性判别式分离，则该数据集/分类问题称为“线性可分”

上图不是线性可分的，因为存在左下角蓝色圆点，当无法完全区分的时候，就不属于线性可分。

从数学上讲，如果存在一个线性函数，
$$f(\mathbf{x};\mathbf{w})=w_1{x}^{(1)}+w_2{x}^{(2)}+\cdots +w_d{x}^{(d)}+b=0$$
满足，
如果标签 $y_i=+1$，则 $f(x_i;\mathbf{w})>0$
如果标签 $y_i=-1$，则 $f(x_i;\mathbf{w})<0$
这个数据集是线性可分的。

3.1 记忆与泛化

A particular issue in classification is the tradeoff between memorization vs. generalization 分类中的一个特殊问题是记忆与泛化之间的权衡
Remembering everything is not learning 记住一切并非学习
学习的真正考验在于处理相似但未见过的案例（泛化）The true test of learning is handling similar but unseen cases

左图：记忆力强（分类效果好），但泛化能力差 【过拟合】
右图：记忆力差（分类效果差），但泛化能力强