基于物理信息神经网络PINN求解PDE-python代码
首先研究一类非常一般的偏微分方程，用下式边界和初始状态表示1. 泊松方程Poisson equation：泊松方程是线性椭圆偏微分方程，其形式为2. Allen-Cahn方程：一个半线性抛物型偏微分方程3. 半线性Schrödinger方程：一个形式为复值的非线性双曲偏微分方程首先研究1D、2D和3D空间中的泊松方程。考虑的每一个方程都有一个解析解，可以用它来评估FEM和PINN近似的精度。通过对
引言
相信各位小伙伴都听过物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Networks，PINN）的大名。PINN是一种将物理定律与深度学习相结合的创新算法。它的核心思想是让神经网络在训练过程中不仅依赖数据，还遵循已知的物理规律（如微分方程、守恒定律等），从而提升模型的预测能力和泛化性。在多物理场耦合、流体力学、材料科学、地球物理、生物医学等领域大放异彩。
那么，物理信息神经网络PINN真的杀疯了吗？
近期论文在一个系统的计算研究中比较了PINN和有限元FEM方法。采用这两种方法来数值求解各种线性和非线性偏微分方程：1D、2D和3D的泊松，1D的Allen-Cahn，1D和2D的半线性Schrödinger。然后比较计算成本和近似精度。
偏微分方程简要介绍
首先研究一类非常一般的偏微分方程，用下式边界和初始状态表示
1. 泊松方程Poisson equation：泊松方程是线性椭圆偏微分方程，其形式为
2. Allen-Cahn方程：一个半线性抛物型偏微分方程
3. 半线性Schrödinger方程：一个形式为复值的非线性双曲偏微分方程
首先研究1D、2D和3D空间中的泊松方程。考虑的每一个方程都有一个解析解，可以用它来评估FEM和PINN近似的精度。通过对同一类型的PDE在不同维度上的比较，也可以得出PDE维度对成本和精度的影响。结果表明：FEM解决方案在相同或更高的精度下更快，PINN在某些高维环境下的效率更好。PINN开辟了许多有趣的新研究方向，特别是当用于解决这种高维pde或将pde与数据相结合时的分析，PINNs既具有挑战性又非常有趣。
参考文献
Tamara G Grossmann, Urszula Julia Komorowska, Jonas Latz, Carola-Bibiane Schönlieb, Can physics-informed neural networks beat the finite element method?, IMA Journal of Applied Mathematics, Volume 89, Issue 1, January 2024, Pages 143–174, https://doi.org/10.1093/imamat/hxae011
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