一、误差准则函数与随机梯度下降：

数学一点将就是，对于给定的一个点集（X，Y），找到一条曲线或者曲面，对其进行拟合之。同时称X中的变量为特征（Feature)，Y值为预测值。

如图：

一个典型的机器学习的过程，首先给出一组输入数据X，我们的算法会通过一系列的过程得到一个估计的函数，这个函数有能力对没有见过的新数据给出一个新的估计Y，也被称为构建一个模型。

我们用X1、X2...Xn 去描述feature里面的分量，用Y来描述我们的估计，得到一下模型：

我们需要一种机制去评价这个模型对数据的描述到底够不够准确，而采集的数据x、y通常来说是存在误差的（多数情况下误差服从高斯分布），于是，自然的，引入误差函数：

关键的一点是如何调整theta值，使误差函数J最小化。J函数构成一个曲面或者曲线，我们的目的是找到该曲面的最低点：

假设随机站在该曲面的一点，要以最快的速度到达最低点，我们当然会沿着坡度最大的方向往下走（梯度的反方向）

用数学描述就是一个求偏导数的过程：

这样，参数theta的更新过程描述为以下：

   （α表示算法的学习速率）

二、不同梯度下降算法的区别：

• 梯度下降：梯度下降就是我上面的推导，要留意，在梯度下降中，对于的更新，所有的样本都有贡献，也就是参与调整.其计算得到的是一个标准梯度。因而理论上来说一次更新的幅度是比较大的。如果样本不多的情况下，当然是这样收敛的速度会更快啦~

• 随机梯度下降：可以看到多了随机两个字，随机也就是说我用样本中的一个例子来近似我所有的样本，来调整，因而随机梯度下降是会带来一定的问题，因为计算得到的并不是准确的一个梯度，容易陷入到局部最优解中

• 批量梯度下降：其实批量的梯度下降就是一种折中的方法，他用了一些小样本来近似全部的，其本质就是我1个指不定不太准，那我用个30个50个样本那比随机的要准不少了吧，而且批量的话还是非常可以反映样本的一个分布情况的。

三、算法实现与测试：

通过一组数据拟合 y = theta1*x1 +theta2*x2

求解结果： 但如果对输入数据添加一些噪声

求解结果为：

可见在有噪声的情况下，要及时调整模型误差精度、迭代次数上限，一期达到我们的需求。