语音处理：滤波器筑基知识地图

参考1

参考2

最近准备深入下滤波器的基础知识，发现在AI帮助下学习蛮有意思，但有一点不好就是初学者而言难以辨别有时候AI一本正经说胡话。

个人一点经验就是要深入理解AI给出的概念间关系定义和逻辑推理，不明白的地方网页检索下交叉验证信息正确性。

还有一个感悟是，单点知识AI已经能够解释很清楚，但是脑海里的地图要构建起来，我们还可以做点工作。

基于以上两个原因，这里把个人理解后的滤波器概念关系知识地图梳理下，帮助我们迅速理解技术来龙去脉。

核心概念

类似公理的几点基本定义：因果、线性时不变、反馈、系统、卷积。

• 线性时不变系统是滤波器处理的假设基石，也即输入输出是线性关系，且任何时刻输入都能得到固定的输出。

• 反馈系统，即过去的输出会影响当前的输出。 滤波器场景，即看差分方程的右侧是否有过去时刻的输出引入，除过去的输入和当下输入外。

• 因果性，是指输出仅依赖于过去的信息，无未来信息依赖。 也即因代表过去的种的瓜，果则是种瓜后输出得到的东西。 转换到滤波器场景的处理，差分方程中即y输出不依赖未来时刻的输入或输出，即公式中左侧yn，其右侧无>n时刻的输入依赖。 冲激响应对n<0时刻，输出应为0。

• 稳定性，指的是信号正负无穷可积。在有界输入有界输出稳定性条目会看到对应连续系统的条件。

逻辑关系可视化

通过NotebookLM生成

逻辑关系因果推理

线性系统与差分方程、域变换

由于信号进入系统处理后输入与输出是线性关系，也即系统表现，输入输出就可以用差分方程来表示。但由于差分方程求取复杂、分析不便，于是有了各种域转换。

• 信号处理领域中的转换，实质几乎都是时频域转换。频域上信号解耦，物理意义清晰明确。

离散信号、模拟信号、拉普拉斯变换、Z变换

物理世界的模拟信号就是连续信号，计算机要想处理就要经过离散采样后，得到离散信号。对连续信号就拉普拉斯变换到虚轴处理，而对离散信号就Z变换到复平面处理，从而将差分方程转换为代数方程。

信号

• 模拟信号

  • 拉普拉斯变换

• 离散信号

  • Z变换
  • 差分方程到代数方程

Z变换与傅里叶变换和频率响应

Z变换的基z=r*e^(jw)，使r=1，则退化为离散傅里叶变换，转为分析其频率响应。

Z变换与传递函数

有了变换，也就有了传递函数，用来刻画该线性时不变系统的稳定性、因果性等。传递函数实质即为输出与输入的比，H=Y/X。

最小相位系统

若某系统传递函数具有因果系统且稳定，并其逆系统也是稳定的因果系统，该系统成为最小相位系统。

冲激信号与FIR、IIR

引入冲激信号作为最基础的样例，来分析系统的表现。

而系统的响应则经常分为有限冲激响应FIR，无反馈结构和无限冲激响应IIR，引入了反馈。

• 有限冲激响应FIR，无反馈结构。系统冲激响应会自然衰减到0。
• 无限冲激响应IIR，引入了反馈。系统冲激响应会自然衰减但一直持续下去（也即能收敛）。
• FIR、IIR一般都是稳定的、且因果的系统。

零极点与系统稳定性、因果性和频率响应

零点X(Z)、极点Y(Z)情况分析系统稳定性、因果性及频率响应表现。频率响应用来说明表征，我们要过滤什么，这就是滤波器的精髓了。

频率响应通过取传递函数的|H(z=e(jw))|来分析不同频点的单位幅值响应，通过Angle(H(z=e(jw)))不同频点下的相位响应。

时延与频域

时域里则涉及各种时域滤波器处理，核心优势在于，计算量小、时延低。 FFT域计算稍复杂，但处理简单，物理意义清晰明了。

知识节点

• 滤波器概念筑基
  • 线性时不变、因果系统
  • 傅里叶变换
  • S变换
  • Z变换
  • 差分方程变代数方程
  • 时域卷积与频域相乘
  • 冲激信号与阶跃信号、冲激响应
  • FIR与IIR
  • 群延迟
  • 最小相位系统
• 滤波器应用
  • biquad
  • allpass/highpass/lowpass/lowshelf/highshelf
  • peak filter
  • notch filter
  • eq

具体的节点知识展开，见博客《语音处理：必备滤波器知识概念释疑》。