差分

一阶差分

对于一维连续或离散函数$f(x)$，在点$x$处的差分定义为
$$\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)$$
对于二维连续或离散函数$f(x,y)$，差分定义为
$$\begin{array}{rl}\Delta f_x(x,y)& =f(x+\Delta x,y)-f(x,y)\\ \Delta f_y(x,y)& =f(x,y+\Delta y)-f(x,y)\end{array}$$

二阶差分

二阶差分定义为对一阶差分的差分。
对于一维连续或离散函数$f(x)$，在点$x$处的二阶差分定义为
$$\begin{array}{rl}{\Delta }^{2}f(x)& =\Delta (\Delta f(x))\\ & =\Delta f(x+\Delta x)-\Delta f(x)\\ & =(f(x+\Delta x+\Delta x)-f(x+\Delta x))-(f(x+\Delta x)-f(x))\\ & =f(x+2\Delta x)-2f(x+\Delta x)+f(x)\end{array}$$
同理，对于二维连续或离散函数$f(x,y)$，二阶差分定义为
$$\begin{array}{rl}{\Delta }^2{f}_x(x,y)& =f(x+2\Delta x,y)-2f(x+\Delta x,y)+f(x,y)\\ {\Delta }^2{f}_y(x,y)& =f(x,y+2\Delta y)-2f(x,y+\Delta y)+f(x,y)\end{array}$$

高阶差分

对于任意阶差分，其系数满足杨辉三角的系数，只需将偶数列取负值即可。

微分

微分是差分的点差趋近于0的特殊形式。
对于一维连续函数$f(x)$，在点$x$处的微分定义为
$$df(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }f(x+\Delta x)-f(x)$$
二阶微分为
$$d^{2}f(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }f(x+2\Delta x)-2f(x+\Delta x)+f(x)$$
在离散情况下，由于关于$x,y$的差分$\Delta x,\Delta y$无法趋近于0，因此一般用$\Delta x=\Delta y=1$，也就是距离为1的差分来近似表示微分。
对于一维离散函数$f(x)$，在点$x$处的微分定义为
$$df(x)\approx f(x+1)-f(x)$$
二阶微分为
$$d^{2}f(x)\approx f(x+2)-2f(x+1)+f(x)$$

导数

对于一维连续函数$f(x)$，在点$x$处的导数定义为$f(x)$的差分与$x$的差分在$\Delta x\to 0$时的极限值：
$$f^{\prime }(x)=\frac{df(x)}{dx}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$
二阶导数为
$$f^{\prime \prime }(x)=\frac{d^{2}f(x)}{d{x}^2}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+2\Delta x)-2f(x+\Delta x)+f(x)}{(\Delta x{)}^2}$$
在OpenCV的离散情况下，由于关于$x,y$的差分$\Delta x,\Delta y$无法趋近于0，因此一般用$\Delta x=\Delta y=1$，也就是微分来近似计算导数。
即对于一维离散函数$f(x)$，导数定义为
$$f^{\prime }(x)\approx df(x)=f(x+1)-f(x)$$
二阶导数为
$$f^{\prime \prime }(x)\approx d^{2}f(x)=f(x+2)-2f(x+1)+f(x)$$

偏导数

对于二维连续或离散函数$f(x,y)$，偏导数定义为$f(x,y)$的在$x$方向或$y$方向的差分与$x$和$y$的差分在$\Delta x\to 0$和$\Delta y\to 0$时的极限值：
$$\begin{array}{rl}{G}_x(x,y)& =\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}\\ G_y(x,y)& =\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=\underset{\Delta y\to 0}{\lim }\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}\end{array}$$
二阶偏导数为
$$\begin{array}{rl}\frac{{\partial }^{2}f(x,y)}{\partial x^2}& =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+2\Delta x,y)-2f(x+\Delta x,y)+f(x,y)}{(\Delta x{)}^2}\\ \frac{{\partial }^{2}f(x,y)}{\partial y^2}& =\underset{\Delta y\to 0}{\lim }\frac{f(x,y+2\Delta y)-2f(x,y+\Delta y)+f(x,y)}{(\Delta y{)}^2}\end{array}$$
除此之外，还有二阶混合偏导数，计算遵循从右到左的顺序：
$$\begin{array}{rl}\frac{{\partial }^{2}f(x,y)}{\partial x\partial y}& =\frac{\partial }{\partial x}(\frac{\partial f(x,y)}{\partial y})\\ & =\frac{\partial }{\partial x}(\underset{\Delta y\to 0}{\lim }\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y})\\ & =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{{\lim }_{\Delta y\to 0}\frac{f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x+\Delta x,y)}{\Delta y}-\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}}{\Delta x}\\ & =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\underset{\Delta y\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x+\Delta x,y)-f(x,y+\Delta y)+f(x,y)}{\Delta x\Delta y}\\ \frac{{\partial }^{2}f(x,y)}{\partial y\partial x}& =\underset{\Delta y\to 0}{\lim }\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x+\Delta x,y)-f(x,y+\Delta y)+f(x,y)}{\Delta x\Delta y}\end{array}$$
上式中的区别为取极限的顺序，一个是先对$\Delta x$取极限，另一个是先对$\Delta y$取极限。

对于二维离散函数$f(x,y)$，偏导数定义为
$$\begin{array}{rl}{G}_x=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}& \approx d{f}_x(x,y)=f(x+1,y)-f(x,y)\\ G_y=\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}& \approx d{f}_y(x,y)=f(x,y+1)-f(x,y)\end{array}$$
二阶偏导数为
$$\begin{array}{rl}\frac{{\partial }^{2}f(x,y)}{\partial x^2}& \approx d^2{f}_x(x,y)=f(x+2,y)-2f(x+1,y)+f(x,y)\\ \frac{{\partial }^{2}f(x,y)}{\partial y^2}& \approx d^2{f}_y(x,y)=f(x,y+2)-2f(x,y+1)+f(x,y)\\ \frac{{\partial }^{2}f(x,y)}{\partial x\partial y}\approx \frac{{\partial }^{2}f(x,y)}{\partial y\partial x}& \approx f(x+1,y+1)-f(x+1,y)-f(x,y+1)+f(x,y)\end{array}$$

梯度

一阶梯度

在二维图像$f(x,y)$上，一阶导数由$f(x,y)$在$x$方向和$y$方向的偏导数计算出的梯度来表示。梯度$\nabla f$是关于$f$的向量函数：
$$G(x,y)=\nabla f(x,y)=\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial f}{\partial x}& \frac{\partial f}{\partial y}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{G}_x& G_y\end{array}\right]$$
梯度的幅值为
$$mag(G(x,y))=\sqrt{(\frac{\partial f}{\partial x}{)}^2+(\frac{\partial f}{\partial y}{)}^2}=\sqrt{G_x^2+G_y^2}$$
为方便计算，也常用近似公式
$$mag(G(x,y))\approx |\frac{\partial f}{\partial x}|+|\frac{\partial f}{\partial y}|=|G_x|+|G_y|$$
梯度的方向为
$$\varphi (G(x,y))=\arctan |\frac{G_y}{G_x}|$$

二阶梯度

二维空间中的二阶梯度是一个$2\times 2$矩阵，称为海森矩阵（Hessian matrix），定义为：
$${\Delta }^{2}f(x,y)=\left[\begin{array}{cc}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}\end{array}\right]$$

卷积

对于一维连续可积函数$f(x),g(x)$，在实数域$R$上的卷积为
$$(f\cdot g)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(x-\tau )d\tau$$
合理推广，对于二维连续可积函数$f(x,y),g(x,y)$，在实数域$R^2$上的卷积为
$$(f\cdot g)(x,y)={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }f({\tau }_x,{\tau }_y)g(x-{\tau }_x,y-{\tau }_y)d{\tau }_{x}d{\tau }_y$$
在离散有界情况下，对于一维离散函数$f(x),g(x)$，卷积定义为
$$(f\cdot g)(x)=\sum _{x_0=a}^{b}f(x_0)g(x-x_0)$$
对于二维离散函数$f(x,y),g(x,y)$，卷积定义为
$$(f\cdot g)(x,y)=\sum _{x_0=a}^b\sum _{y_0=c}^{d}f(x_0,y_0)g(x-x_0,y-y_0)$$